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11直线、平面垂直的判定及其性质教师版


直线、平面垂直的判定及其性质
一、基础知识 1.线面垂直判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面 垂直. 注意:(1)判定定理的条件中: “平面内的两条相交直线”是关键性词语,不可忽视. (2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线 垂直,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点,则无关紧要. 2. 线面角 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点间平面 引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做 这条直线和这个平面所成的角. (1)直线与平面平行,直线在平面由射影是一条直线. (2)直线与平面垂直射影是点. (3)斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上. (4)一条直线垂直于平面,它们所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内, 它们所成的角是 0°的角. 3. 二面角 平面内的一条直线把平面分成两部分,这两部分通常称为半平面 .从一条直线出发的 两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱,这两个半平面叫做二面角 的面. 表示方法:棱为 、面分别为 的二面角记作二面角 .有时为了方便,也可在 内(棱以

外的半平面部分)分别取点 角 或

,将这个二面角记作二面角

.如果棱记作 ,那么这个二面角记作二面

在二面角的棱上任取一点, 以该点为垂足, 在两个半平面内分别作垂直于棱的射线, 则这两条构成的角叫做二面角的平面角. 二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的 二面角叫做直二面角. 4.面面垂直 两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直. 判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. 注意:平面与平面垂直的判定定理告诉我们,可以通过直线与平面垂直来证明平面与 平

面垂直.通常我们将其记为“线面垂直,则面面垂直”.因此,处理面面垂直问题处理线面垂直问题,进一步转化为处 理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直,只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面垂直即可.

5. 直线与平面垂直的性质
(1)一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行. 6. 平面与平面垂直的性质

性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 二、经典例题 1.下列命题中正确的个数是( ) ①如果直线 与平面 ②如果直线 与平面 ③如果直线 不垂直于 ④如果直线 不垂直于 A.0 答案:B 解析:当 当 与 当 与 内的无数条直线平行时, 与 不一定垂直,故①不对; 垂直,故②不对; B.1 内的无数条直线垂直,则 内的一条直线垂直,则 ,则 ,则 C.2 ; ;

内没有与 垂直的直线; 内也可以有无数条直线与 垂直. D.3

内的一条直线垂直时,不能保证 与 不垂直时, 可能与

内的无数条直线垂直,故③不对;④正确.故选 B.

【变式 1】下列说法中错误的是( ) ①如果一条直线和平面内的一条直线垂直,该直线与这个平面必相交; ②如果一条直线和平面的一条平行线垂直,该直线必在这个平面内; ③如果一条直线和平面的一条垂线垂直,该直线必定在这个平面内; ④如果一条直线和一个平面垂直,该直线垂直于平面内的任何直线. A.①② 答案:D 解析:如图所示,直线 ∴ ①错; 由于 , , ,但 ,但 ,∴ ②错; ,∴ ③错. , 面 ABCD,显然 , B.②③④ C.①②④ D.①②③

由直线与平面垂直的定义知④正确,故选 D. 2.如图所示,已知 Rt△ABC 所在平面外一点 S,且 SA=SB=SC,点 D 为斜边 AC 的中点. (1)求证:SD⊥平面 ABC; (2)若 AB=BC,求证:BD⊥平面 SAC. 证明:(1)因为 SA=SC,D 为 AC 的中点, 所以 SD⊥AC. 连接 BD. 在 Rt△ABC 中,有 AD=DC=DB, 所以∠SDB=∠SDA, 所以 SD⊥BD.

所以△SDB≌△SDA, 又 AC∩BD=D,

所以 SD⊥平面 ABC.

(2)因为 AB=BC,D 是 AC 的中点, 又由(1)知 SD⊥BD, 所以 BD⊥平面 SAC. 【变式 1】如图所示,三棱锥

所以 BD⊥AC.

所以 BD 垂直于平面 SAC 内的两条相交直线,

的四个面中,最多有________个直角三角形.

答案:4 解析:如图所示,PA⊥面 ABC.∠ABC=90°,则图中四个三角形都是直角三角形.故填 4. 【变式 2】 如图所示, 直三棱柱 的两条对角线交点为 D, 求证:CD⊥平面 BDM. 的中点为 M. 中, ∠ACB=90°, AC=1, , 侧棱 , 侧面

证明:如右图,连接 ∵ 又知 D 为其底边 ∵ 又 , ,∴

、 ,∴



,则 为等腰三角形. ∴ ∴

.

的中点, , .

. .

∵ .

为直角三角形, D 为

的中点,









, .即 CD⊥DM.



.





为平面 BDM 内两条相交直线,

∴ CD⊥平面 BDM. 的斜线, 且∠AOB=∠AOC=60°,

3. 如图所示, 已知∠BOC 在平面

内, OA 是平面

OA=OB=OC= ,BC= 解析:∵ 为正三角形, ∵ ∴

,求 OA 和平面

所成的角. ∴ △AOB、△AOC

,∠AOB=∠AOC=60°, . , ∴ ,

∴ △ABC 为直角三角形. 过 A 作 AH 垂直平面 ∵ AO=AB=AC,

同理△BOC 也为直角三角形.

于 H,连接 OH, ∴ OH=BH=CH,H 为△BOC 的外心.

∴ H 在 BC 上,且 H 为 BC 的中点.

∵ Rt△AOH 中, ∴ ∠AOH=45°.

, 即 AO 和平面

∴ 所成角为 45°. 中, 侧棱长为



【变式 1】 如图所示, 在正三棱柱 所成的角是________.

, 底面三角形的边长为 1, 则

与侧面

答案: 解析:如右图. 由题取 AC 中点 O,连接 BO.则 BO⊥平面 .





与平面

所成角.

又在

中,



. ∴





. , ,求

4.如图所示,在四面体 ABCD 中,△ABD、△ACD、△BCD、△ABC 都全等,且 以 BC 为棱,以面 BCD 和面 BCA 为面的二面角大小.

解析:取 BC 的中点 E,连接 AE、DE, ∵ AB=AC, ∴ AE⊥BC. ∴ DB=DC, ∴ DE⊥BC.

又∵ △ABD≌△ACD,AB=AC,

∴ ∠AED 为二面角 又∵ △ABC≌△BDC, 在 Rt△DEB 中,DB= 同理 在△AED 中, ∵ , .

的平面角. ∴ AD=BC=2, ,BE=1, ∴ ,







∴ ∠AED=90°.

∴ 以面 BCD 和面 ABC 为面的二面角大小为 90°. 【变式 1】已知 D、E 分别是正三棱柱 D、E、C1 的平面与棱柱的下底面 的侧棱 和 上的点,且 .求过

所成的二面角的大小.

解析:如图,在平面 则 F 是面 与面

内延长 DE 和 的公共点,

交于点 F, 为这两个平面的交线,

∴ 所求二面角就是 ∵ ∴ E、 ∵ ∴ 又面 ∴ ∴ ∴ 面 . 是二面角 . , ,而 ,且

的平面角. ,

分别 DF 和 A1F 的中点. ,

面 面

, .

的平面角,

由已知

,∴

.

5.在四面体 ABCD 中, 求证:平面 ABD⊥平面 BCD.

,AB=AD=CB=CD=AC= ,如图所示.

证明:∵ △ABD 与△BCD 是全等的等腰三角形,

∴ 取 BD 的中点 E,连接 AE、CE,则 AE⊥BD,BD⊥CE, ∴ ∠AEC 为二面角 A-BD-C 的平面角.

在△ABD 中,







.

同理

.

在△AEC 中, 由于 ,





∴ AE⊥CE,即∠AEC=90°,即二面角 A-BD-C 的平面角为 90°. ∴ 平面 ABD⊥平面 BCD.


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