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直线与平面垂直的证明.doc123


直线与平面垂直的证明 活动与探究 1 如图所示,Rt△A BC 所在平面外一点 S,且 SA=SB=SC,点 D 为斜边 AC 的中点

(1)求证:SD⊥平面 ABC; (2)若 AB=BC,求证:BD⊥平面 SAC. 思路分析:由于 D 是 AC 中点,SA=SC,则 SD 是△SAC 的高,可证△SDB≌△SDA.由 AB=BC, 则 Rt△ABC 是等

腰直角三角形, 则 BD⊥AC, 利用线面垂直的判定定理即可得证. 证明:(1)∵SA=SC,D 为 AC 的中点,∴SD⊥AC.在 Rt△AB C 中,AD=DC=BD, 又 SA=SB, ∴△ADS≌△BDS. ∴SD⊥BD.又 AC∩BD=D, ∴SD⊥平面 ABC. (2)∵BA=BC,D 为 AC 的中点,∴BD⊥AC. 又由(1)知 SD⊥BD, 于是 BD 垂直于平面 SAC 内的两条相交直线.∴BD⊥平面 SAC. 活动与探究 2 如下图,已知 AP⊥⊙O 所在平面,AB 为⊙O 的直径,C 是圆周上不同于 A,B 的任意 一点,过点 A 作 AE⊥PC 于点 E,求证:AE⊥平面 PBC.

活动与探究 2 思路分析:要证 AE⊥平面 PBC,∵AE⊥PC,只需证 AE⊥BC; 要证 AE⊥BC,只需证 BC⊥平面 PAC. 证明:∵PA⊥⊙O 所在平面,而 BC 在⊙O 所在平面内,∴PA⊥BC. 又∵AB 为⊙O 直径,∴AC⊥BC. 又 PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC.∵AE?平面 PAC, ∴BC⊥AE. 又∵AE⊥PC,BC∩PC=C, ∴AE⊥平面 PBC. 活动与探 究 3 如图所示,Rt△BMC 中,斜 边 BM=5,它在平面 ABC 上的射影 AB 长为 4,∠MBC =60° ,求 MC 与平面 CAB 所成角的正弦值.
[来源:学科网 ]

活动与探究 3 解:由题意知,A 是 M 在平面 ABC 内的射影, ∴MA⊥平面 ABC.∴MC 在平面 CAB 内的射影为 AC. ∴∠MCA 即为直线 MC 与平面 CAB 所成的角. 3 又∵在 Rt△MBC 中, BM=5, ∠MBC=60° , ∴MC=BM· sin∠MBC=5sin 60° =5× = 2 5 3. 2 在 Rt△MAB 中,MA= MB2-BA2= 52-42=3. MA 3 2 2 在 Rt△MAC 中,sin∠MCA= = = 3.即 MC 与平面 CAB 所成角的正弦值为 MC 5 5 5 3 2 3.

[来源:学科网 ZXXK]

迁移与应用 如图所示, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E 是棱 DD1 的中点. 求直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值.

迁移与应用 解:取 AA1 的中点 M,连接 EM,BM.因为 E 是 DD1 的中点,四边形 ADD1A1 为正方形,所以 EM∥AD.又在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD⊥平面 ABB1A1,所以 EM⊥平面 ABB1A1, 从而 BM 为直线 BE 在平面 ABB1A1 上的射影, ∠EBM 即为直线 BE 与平面 ABB1A1 所成 的角. 设正方体的棱长为 2,则 EM=AD=2,BE= 22+22+12=3,于是在 Rt△BEM 中, EM 2 2 sin∠EBM= = ,即直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值为 . BE 3 3

2.3.2

平面与平面垂直的判定

在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面△ABC 为等边三角形,E∈BB1,且 BE=EB1. 求证:平面 A1EC⊥平面 ACC1A1(注:侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱). 活动与探究 1 思路分析:要证明平面 A1EC⊥平面 ACC1A1,只需在平面 A1EC 内找一 条线与平面 ACC1A1 垂直.

证明:取 A1C 的中点 F,AC 的中点 G,连接 EF,FG,BG,则 GF 又 BE

1 AA . 2 1

1 AA , 2 1 ∴GF BE. ∴EF∥GB. ∵△ABC 是等边三角形, ∴BG⊥AC. ∴EF⊥AC.又 AA1⊥平面 ABC,∴AA1⊥BG. ∴EF⊥AA1. ∵AC∩AA1=A,∴EF⊥平面 ACC1A1.∵EF?平面 A1EC, ∴平面 A1EC⊥平面 ACC1A1. 2.在四棱锥 P-ABCD 中 ,若 PA⊥平面 ABCD,且四边形 ABCD 是菱形,求证:平面 PAC⊥平面 PBD.

证明面面垂直有两种基本方法:①定义法:先作(或找)出二面角的平面角,再证明该角 是 90° ;②判定定理法:在一个平面内找(或作)出一条直线,再证明该直线与另一个平面垂 直. 2.证明:∵PA⊥平面 ABCD,且 BD?平面 ABCD ∴PA⊥BD.

∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AC⊥BD.∵PA∩AC=A, ∴BD⊥平面 PAC.∵ BD?平面 PBD,∴平面 PAC⊥平面 PBD.

探究二四边形 ABCD 是正方形,PA⊥平面 ABCD,且 PA=AB. (1)求二面角 A-PD-C 平面角的度数; (2)求二面角 B-PA-D 平面角的度数; (3)求二面角 B-PA-C 平面角的度数.
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

活动与探究 2 思 路分析:(1)证明面 PAD⊥面 PCD;(2),(3)先找出二面角的平面角, 再证明该角满足平面角的定义,最后在三角形中求角的大小. 解:(1)∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥CD.又四边形 ABCD 为正方形,∴CD⊥AD.PA∩AD=A,∴CD⊥平面 PAD. 又 CD?平面 PCD, ∴平面 PAD⊥平面 PCD. ∴二面 角 A-PD-C 平面角的度数为 90° . (2)∵PA⊥平面 ABCD, ∴AB⊥PA,AD⊥PA. ∴∠BAD 为二面角 B-PA-D 的平面角.又由题意∠BAD=90° , ∴二面角 B-PA-D 平面角的度数为 90° . (3)∵PA⊥平面 ABCD , ∴AB⊥PA,AC⊥PA. ∴∠BAC 为二面角 B-PA-C 的平面角.又四边形 ABCD 为正方形,∴∠BAC=45 ° , 即二面角 B-PA-C 平面角的度数为 45° .

三、线面垂直与面面垂直的综合应用 活动与探究 3 如图,P 是矩形 ABCD 所在平面外一点,PA⊥平面 ABCD,E,F 分别是 AB,PD 的中 点,又二面角 P-CD-B 为 45°.

(1)求证:AF∥平面 PEC; (2)求证:平面 PEC⊥平面 PCD. 活动与探究 3 思路分析:(1)取 PC 中点 G,可证 AF∥EG;(2)证明 AF⊥平面 PCD, 则 EG⊥平面 PCD,可得平面 PEC⊥平面 PCD. 证明:(1)取 PC 的中点 G;连接 EG,FG.∵F 是 PD 的中点,
[来源 :学科网 ZXXK]

1 1 CD.又 AE CD, 2 2 ∴AE FG.∴四边形 AEGF 是平行四边形.∴AF∥EG. 又 AF?平面 PEC,EG?平面 PEC,∴AF∥平面 PEC. (2)∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥CD.又∵CD⊥AD,且 PA∩AD=A, ∴CD⊥平面 PAD. ∴CD⊥AF,CD⊥PD. ∴∠PDA 是二面角 P-CD-B 的平面角,即∠PDA=45° . 又∵PA⊥AD,F 是 PD 中点, ∴AF⊥PD.∵PD∩CD=D, ∴AF⊥平面 PCD. ∵AF∥EG,∴EG⊥平面 PCD. ∵EG?平面 PEC, ∴平面 PEC⊥平面 PCD. ∴FG

如图所示, 在四棱锥 S-ABCD 中, 底面四边形 ABCD 是平行四边形, SC⊥平面 ABCD, E 为 SA 的中点.求证:平面 EBD⊥平面 ABCD.

证“面面垂直”转化为“线面垂直”, 证“线面垂直”转化为 “线线垂直”,即线线垂直→线面垂直→面面垂直.

证明:如图所示,连接 AC,与 BD 交于点 F,连接 EF.因为 F 为 ABCD 对角线 AC 又 E 为 SA 的中点,所以 EF 为△SAC 的中位线,所以 EF∥SC.又 SC⊥平面 ABCD,所以 EF⊥平面 ABCD.又 EF?平面 EBD,所以平面 EBD⊥平面 ABCD. 与 BD 的交点,所以 F 为 AC 的中点

2.3.3~2.3.4

直线与平面垂直的性质、平面与平面垂 直的性质

问题导学 一、线面垂直性质的应用 活动与探究 1 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 AB 上一点,N 是 A1C 的中点,MN⊥ 平面 A1DC.

求证:(1)MN∥AD1 求证:(2)M 是 AB 的中点. ; 【问题导学】 活动与探究 1 思路分析:对于(1)要证明线线平行,要先证线面垂直,即证 AD1⊥平面 A1DC.对于(2)可利用平行的传递性加以证明. 证明:(1)∵四边形 ADD1A1 为正方形,∴AD1⊥A 1D. 又∵CD⊥平面 ADD1A1, ∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD=D, ∴AD1⊥平面 A1DC. 又∵MN⊥平面 A1DC, ∴MN∥AD1.
[来源:学 ,科 ,网 Z,X,X,K]

如图,连接 ON,在△A1DC 中,A1O=OD,A1N=NC. 1 1 ∴ON CD AB. 2 2 ∴ON∥AM.又∵MN∥OA, ∴四边形 AMNO 为平行四边形, 1 ∴ON=AM.∵ON= AB, 2 1 ∴AM= AB. 2 ∴M 是 AB 的中点. 二、面面垂直的性质的应用 活动与探究 2 如图,P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点,四边形 ABCD 是∠DAB=60° 且边长为 a 的菱形,侧面 PAD 为正三角形,其所在平面垂直于底面 ABCD.若 G 为 AD 的中点, 求证:(1)BG⊥平面 PAD; (2)AD⊥PB.
(2) [来源:学§ 科 [来源:学 |科 |网 Z|X|X|K]

活动与探究 2 思路分析:(1)可利用面面垂直的性质定理 去证明;(2)可通过垂直关系来转化. 证明:(1)连接 BD,在菱形 ABCD 中,∠DAB=60° , ∴△ABD 为正三角形.

又 G 为 AD 的中点, ∴BG⊥AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,BG?平面 ABCD, ∴BG⊥平面 PAD.

(2)∵△ PAD 为正三角形,G 为 AD 的中点,∴PG⊥A D. 由(1)知 BG⊥AD, 又 BG∩PG=G, ∴AD⊥平面 PBG. ∴AD⊥PB. 活动与探究 3 如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面. 活动与探究 3 思路分析:根据直线和平面垂直的判定定理,可在 γ 内构造两相交直线分别 与平面 α,β 垂直;或者由面面垂直的性质易在 α,β 内作出平面 γ 的垂线,再设法证明 l 与 其平行即可. 解:已知 α⊥γ,β⊥γ,α ∩β=l. 求证:l⊥γ.

证明: 方法一: 在γ内取一点 P, 作 PA 垂直α与 γ 的交线于 A, PB 垂直 β 与 γ 的交线于 B,则 PA⊥α,PB⊥β. ∵l=α∩β,∴l⊥PA,l⊥ PB.又 PA∩PB=P,且 PA?γ,PB?γ,∴l⊥γ. 方法二:在 α 内作直线 m 垂直于 α 与 γ 的交线,在 β 内作直线 n 垂直于 β 与 γ 的交线,

∵α⊥γ,β⊥ γ,∴m⊥γ,n⊥γ.∴m∥n.又 n?β,∴m∥β. 又 m?α,α∩β=l, ∴m∥l .∴l⊥γ.

迁移和应用如图,平面 PAC⊥平面 ABC,试作出二面角 P-AB-C 的平面角.

移与应用 线面垂直的综合应用就是线线垂直、线面垂直、面 面垂直的相互转化, 在解答垂直关系问题时要注意已知垂直条件, 特别是线面垂直与面面垂 直性质的应用. 解:如图,在平面 PAC 内,过点 P 作 PO⊥AC 于 O,在平面 ABC 内,过 O 作 OD⊥AB 于 D,连接 P D.则∠PDO 就是二面角 P-AB-C 的平面角,证明如下:∵PO⊥平面 ABC,

∴AB⊥PO.又∵OD⊥AB,

∴AB⊥平面 PDO, ∴AB⊥PD.∴∠PDO 满足二面角的平面角的定义,即是二面角 P-AB-C 的平面角.


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