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高中必修一对数与对数运算教案


青年教师基本功大赛参赛教案
参赛教案基本信息 姓名 出生年月 邮政编码 联系电话 所用教科书 书名 所教册次、 所教年级 课题 高一 单元 对数与对数运算 1.整体设计思路、指导依据说明 整体设计指导依据 1 课标要求;理解对数的概念,知道自然对数和常用对数;通过阅读材料,了解对 数的发现历史以及对简化运算的作用。 2 自主探究是传统教学模式的一种补充,自主探究能够使学生成为研究问题的主 人,能够培养学生的思维能力。数学是思维的科学,思维能力是数学的核心,教学过 程的设计要能够体现教学本质;能够突出所学数学内容的本质;组织教学的过程要能 触及学生的灵魂深处。因此,课堂教学中提倡问题教学,抓住学生的认识现实,恰当 地创设问题情境,使学习者能够在课堂上进行积极有效的学习。 第一册第一单元 1990.08 834000 性别 工作单位 通讯地址 电子邮箱 人教 A 版高中数学必修 1

整体设计思路 1.教学主导方法设计:通过创设符合学生认知规律的问题情景,挖掘学生内在的 研究问题的巨大潜能,使学生在做中学,学中思,亲身体会创造过程,充分展示思维 差异,培养学生的自主探究能力,逻辑推理能力,提高学生的思维层次,掌握获取知 识的方法和途径,真正体现学生学习知识过程中的主体地位。

2.教学流程设计: 开始

创设情境,调动学生积极性 导入新课

简单介绍对数发明,对数源于指数,而对 数的发明却先于指数,激发学生学习兴趣 观察思考 理解定义 ppt 展示 全程掌控 发现问题 组织协作 自主探究 得出性质 解答疑惑 认真做题 练习强化,巩固新知 练习 1、2 设置探究,引导学生得出对数性质 典例讲解,巩固所学;例题设疑,引导学习特殊函数

学习对数定义,符号表示 对数式与指数式互化

参与思考

思维提升,思考交流 培养学生能力,思考题

归纳小结,强化思想,梳理知识结构

课后作业

读书,复习,习题





2.教学背景分析 教学内容分析:本节课是在学生学习了指数函数及其性质之后学习的,其主要内 容是对数概念及指对数互化、对数运算等内容。本节学习内容蕴含转化化归数学思想, 类比与对比等基本数学方法。对数与指数的互化是对指数函数及其性质的巩固,也是 后面学习对数函数的基础。 学生情况分析:学生在初中就已学习指数运算,在 2.1 学习了指数函数的主要性 质,对指数相关知识已很清晰;另外,学习函数时就已了解了反函数意义,对学习本 课已具备条件。 3.教学目标分析 知识与技能 理解对数的概念,了解对数与指数的关系,理解和掌握对数的性质;能进行指对 数互化并可利用对数的简单性质求值. 过程与方法 学会对数式与指数式的的互化,培养学生类比,分析,归纳的能力。 情感、态度和价值观 通过对数式与指数式的互化,培养学生的类比分析、归纳能力;在学习过程中培 养学生的探究意识;在理解指数与对数之间的内在联系的过程中,培养学生分析、解 决问题的能力. 4.教学重点、难点分析 教学重点:对数概念的理解,对数基本运算性质的运用. 教学难点:灵活运用对数与指数的互化并用对数性质求值. 5.教学过程设计 步骤 1:已知变换,抽出问题
1 { EMBED Equation.3 \* MERGEFORMAT | 2 ? 2 ,,?,? ,

抽象出:类似于?都是已知底数和幂的值,求指数. 你还能能看得出来吗?怎样求呢? 为了解决这个问题,我们引入一个新的符号表示——对数。

设计意图: 从具体的并且是已经学过的指数函数知识引入对数知识,学生易于接受;通过创 设问题,形成思维撞针,激发深层次思考,揭示课题。 步骤 2:历史介绍,激发兴趣 在 1770 年出版一部著作中,欧拉指出, “对数源于指数” 。 而早在 16、17 世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数 字计算方法成了当务之急。苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为了简化其 运算而发明了对数。与解析几何的创始、微积分的建立一同,被恩格斯称为十七世纪 数学三大成就。 对数源于指数,但对数的发明却先与指数,这成为数学史上的珍(趣)闻。 有兴趣的同学可以在课下阅读书本 68—69 页的内容,看看对数的发明史。 设计意图: 引发学生思考后,介绍对数的发明历史,涵养其人文精神,并激发学生对数学学习 的兴趣,从而推动其自主学习。 步骤 3:动脑思考,探索新知 对数的概念 若,则叫做以为底的对数, 记作: 其中— 底数,— 真数,— 对数式 说明:○| 注意底数的限制,且; 1 ○| ;并解决引入问题 2x=10x=? 2 ○| 注意对数的书写格式. 3 设计意图: (1)学习用数学语言定义对数,加深理解。通过开头问题的铺垫,学生的思维在 这里体现的异常活跃,运用所学知识解决问题,使学生真正感受成功的喜悦; (2)多媒体课件展示对数式与指数式互化的对应关系,体现化归转化的思想。 步骤 4:巩固知识,典型例题

例 1 将下列指数式写成对数式:
(1) ; (3) ; (2) ; (4)

分析 依照上述公式由左至右对应好各字母的位置关系. 解: ; (1) (2) ;
(3) ; (4) .

例2
(1) ; (3) ;

将下列对数式写成指数式:
(2) ; (4) .

分析 依照上述公式,由右至左对应好各字母的位置关系. 解: (1) ; (2) ;
(3) ; (4) . (所学不能解决,我们要来学习两种特殊对数)

设计意图: (1)及时巩固所学的知识,对数式与指数式的互化。 (2)通过在例题中设置问题,激发学生的求知欲,为接下来讲特殊对数做铺垫。 步骤 5:动脑思考,探索新知 两种特殊的对数: 常用对数 自然对数 (无理数 e=2.718 28……) 解决例 2 的问题, ; . (3)(4) 设计意图: 现学现用,学习知识是为了解决问题。掌握两种特殊对数,对今后学习有很大帮 助,要帮助学生掌握。

步骤 6:运用知识,强化练习 练习 1. 将下列各指数式写成对数式: (1) ; (2) ;

(3) ;

(4) .

2.把下列对数式写成指数式:
(1) (3) ; ;

x ? (64)

?

2 3

? (4 )
3

?

2 3

?4

2 3?( ? ) 3

? 4?2 ?
1 3 6

1 (2) 16 (4) .
1 2

设计意图:及时巩固所 数式的互化

所以( x ) ? (8)

1 6 6

1 6

学的知识, 对数式与指

? (2 ) ? 2 ? 2

步骤 7:动脑思考,探索新知 探究对数的性质
于是x ? 2

研究下列各式,, ,;通过求 x 的值,结合对数的定义,你能得到什么结论? (1)负数和零没有对数;N >0; (2)1 的对数是零: ; (3)底数的对数是 1: ; 设计意图: (1)抓住对数的定义的不放松,引导学生探究如何利用对数式与指数式互化研 究对数的性质。 (2)在学生的表述过程中重视学生的思维方式,培养学生正确处理问题的 思路,能够引导学生从对数的定义出发,得出对数的性质。

步骤 8:巩固知识,典型例题 例 3 求下列各式中 x 的值.
(1) ; (3) (2) . (4)

分析 解:

将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出 x.

(1)

(2) x ? 8,
6

(3) 10 ? 100 ? 10 ,
x 2

(4)由 ? ln e ? x, 所以 x ? ?2
2

设计意图:通过具体例子体会对数概念,理解对数性质。

步骤 9:探索思考,思维提升 (1) (2) 分析: (1) , (2)对数恒等式: 设计意图:
得 ? x ? ln e2 ,即e-x ? e2

(1)在基础题目后设置思维提升题,使学生的思维得到稳步的提高。 (2)相信学生有能力独立的获取知识,并为其创造好的学习环境,让他们自由探 索,在每一节课的学习中得到发展和提高。 步骤 10:运用知识,强化练习 课本 P64 练习第 3 题 步骤 11: 归纳小结,强化思想 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么? 设计意图: (1)回顾新知,梳理所学知识,形成知识结构。 (2)ppt 展示,说与看相结合的学习方式,加深学生对知识的理解。

6.作业与板书 板书设计: 布置作业:课本 64 页 1、2、4 一、对数概念 课题 例题 1 例题 2 例题 3 情境导入 解决情境问题 思维提升题

阅读课本 68—69 页对数的发 二、特殊对数 明。 三、对数性质

附录一 对数发明的历史
1、对数发明的背景 16 世纪前半叶,欧洲人热衷于地理探险和海洋贸易,需要更为准确的天文 知识,而天文学的研究中,需要大量烦琐的计算,特别是三角函数的连乘,天文 学家们苦不堪言。 德国数学家约翰·维尔纳首先推出了三角函数的积化和差公式,即 sinα ·sinβ =[cos(α -β )-cos(α +β )]/2 , cosα ·cosβ =[cos(α -β )+cos(α +β )]/2 . 大大简化了三角函数连乘的计算。比如,计算 sin67°34'×sin9°3',可以从 三角函数表查出 sin67°34'=0.92432418,sin9°3'=0.15729632。但随后的乘 法的计算十分烦琐,且容易出错。 (请你不用计算器,手算一下 0.92432418× 0.15729632=?,记住还要验算一遍,以保证计算正确哦! )用维尔纳的三角函数 积化和差公式,计算就大大简便了: sin67°34'×sin9°3' =cos(67°34'-9°3')-cos(67°34'+9°3') =[cos(58°31')-cos(76°37')]/2 =[0.52225052-0.23146492]/2 =0.14539280 这个公式还可以用于把任何二个数的乘法计算转为加减法计算,方法如下: 若求小于 1 的二个数 a 与 b 的乘积可以先由反三角函数表查得使 a=sinα =a ,sin β =b 的α 与β ,然后计算(α -β )和(α +β ),再由三角函数表查得 cos(α -β ) 与 cos(α +β ) ,最后应用上面的公式求出它们的一半,就得所要求的数。由于大 n 于 1 的数可用小于 1 的数乘上 10 表示,因此上面的两个公式实际上对于任意两 个数都是适宜的。 但这样做同样太繁杂了,况且还不能直接应用于除法、乘方和开方,因此, 寻找更好的计算迫在眉睫。 2、对数产生的前奏 请你观察下面两个数列,并找出规律: 1, 2, 4, 8,16,32,64,128,256,512,1024,2048, 4096,8192,16384?? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14?? 德国数学家 Stifel (1487~1567)在观察上述两个数列时,称上排的数为 “原数”, 下排的数为“代表数” (德文 Exponent) , Stifel 发现,上一排数之 间的乘、除运算结果与下一排数之间的加、减运算结果有一种对应关系。Stifel 指出: “欲求上边任两数的积(商) ,只要先求出其下边代表数的和(差) ,然后 再把这个和(差)对向上边的一个原数,则此原数即为所求之积(商)”比如, 。 计算 16×1024, 只要计算 16 的 “代表数” 4、 1024 的 “代表数” 10 之和 4+10=14,

再查出与“代表数” 14 相对应的“原数” 16384,就得到 16×1024 的乘积。 实际上, Stifel 已经掌握了对数运算法则,因为 Stifel 所谓的“代表数”,本 质上是“原数”以 2 为底的对数。 说明:上一排原数可写为以 2 为底的指数函数,则数列对为: 2 ,2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 ,2 ,2 , 2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

2

14

?? ??

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11,12,13 则 16×128 实际上就是 2 ×2 =2 =2 =2048。
4 7 4+7 11

14

此法可推广到任何二个数的乘除运算。比如计算 17951235×0.08304115,设 X Y X Y X+Y 17951235=a , 0.08304115=a ,则 17951235×0.08304115=a ×a =a 。 这里 x 是 17951235 的(以 a 为底的)对数,y 是 0.08304115 的(以 a 为底的) 对数。底 a 是可以任意指定的,我们指定 a=10,则只要查表得到这二个数的常用 对 数 ( 以 10 为 底 的 对 数 称 为 常 用 对 数 ) x=lg 17951235=7.2540943323 和 y=lg0.08304115 = -1.0807066451 , 计 算 x+y=6.1733876872 , 再 查 表 得 6.1733876872 6.1733876872 的(以 10 为底的)指数函数,10 =1490691.1983 就得到了 17951235 的乘积。 这就是后来的“对数简化运算”的方法。但由于当时没有分数指数的概念, 人们还完全想不到这样的原理。Stifel 尝试做任何两个数乘除时,遇到用数列 不能解决的情况,他感到束手无策,他说: 这个问题太狭窄了,所以不值得研究” “ , 只好“鸣金收兵” 。 3、对数的发明 对数的概念,首先是由苏格兰数学家 John Napier(纳皮尔,1550~1617)提 出的。那时候天文学是热门学科。可是由于数学的局限性,天文学家不得不花费 很大精力去计算那些繁杂的“天文数字” ,浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。 Napier 也是一位天文爱好者,他感到, “没有什么会比数学的演算更加令人烦 恼??诸如一些大数的乘、除、平方、立方、开方??因此我开始考虑??怎样 才能排除这些障碍。 经 20 年潜心研究大数的计算技术, ” 他终于独立发明了对数, 并于 1614 年出版的名著《奇妙的对数表的描述》 ("Mirifici logarithmorum canonis descriptio") ,中阐明了对数原理,后人称为纳皮尔对数(NaplogX)。 这让他在数学史上被重重地记上一笔。1616 年 Briggs(亨利·布里格斯, 1561–1630)去拜访 Napier,建议将对数改良一下以 10 为基底的对数表最为方 便,这也就是后来常用的对数了。可惜 Napier 隔年于 1617 年春天去世,后来就 由 Briggs 以毕生精力继承纳皮尔的未竟事业,他于 1619 年发表了《奇妙对数规 则的结构》 ,于书中详细阐述了对数计算和造对数表的方法,1624 年出版了《对 数算术》一书,公布了以 10 为底的 14 位对数表,并称以 10 为底的对数为常用 对数。 对数表这一惊人发明很快传遍了欧洲大陆。 开普勒利用对数表简化了行星轨 道的复杂计算。伽利略发出了豪言壮语: “给我时间、空间和对数,我可以创造 出一个宇宙来。 数学家拉普拉斯说: ” “对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿 命加倍” 。对数表曾在几个世纪内为数学家、会计师、航海家和科学家广泛使用。

今天,随着计算机的迅猛发展,对数表、计算尺就像过时的法律一样被废弃了, 但对数与指数本身已成为数学的精髓部分,也是每一个中学生必学的内容。 最早传入我国的对数著作是《比例与对数》 它是由波兰的穆尼斯 , (1611-1656)和我国的薛凤祚在 17 世纪中叶合编而成的。当时在 log2=0.3010 中,2 叫做“真数” ,0.3010 叫做“假数” ,真数与假数对列成表,故称对数表。 后来 “真数”改称为“底数” “假数”改称为“对数” , 。 当今中学数学教科书是先讲“指数” ,后以反函数形式引出“对数”的概念。 但在历史上,恰恰相反,对数概念不是来自指数,因为当时尚无分指数及无理指 数的明确概念。Briggs 曾向 Napier 提出用幂指数表示对数的建议。 最早使用指数符号的是法国数学家 Descartes (笛卡尔,1596~1650),他 n 于 1637 年用符号 a 表示正整数幂。分数指数幂在 17 世纪初开始出现,最早使 用分数指数记号的是荷兰工程师 Stevin,以后又有人将其扩展到负指数,直到 X 18 世纪初英国数学家 Newton(牛顿,1642~1727)开始使用 a 表示任意实数指数 幂.这样,指数概念才由最初的正整数指数逐步扩展到实数指数. 一直到 18 世纪,瑞士数学家 Euler (欧拉,1707~1783)才发现指数与对数 的联系,他指出“对数源出于指数” ,这个见解很快被人们接受. 4、Napier 发明对数的思想方法 假设有两个质点 P 和 Q 分别沿着线 段 AB 和射线 CD,以同样的初速运动,其 中质点 Q 沿直线 CD 匀速运动,而质点 P 在线段 AB 上任何一点的速度等于它到 端点 B 的距离。Napier 定义 CQ 为 PB 的 对数。 也就是说, X=CQ 为 Y=PB,则 X=NaplogY 设 (Naplog 是纳皮尔对数的符号) 。 当 P 和 Q 从 A 和 C 出发时,其初速度的数值等于线段 AB 的长度(设为 Y0), 此后在相等时间间隔情况下,时刻 t1,t2,t3,t4?时, Q 位于 C1,C2,C3,C4?,P 位于 A1,A2,A3,A4?。由于 Q 沿 CD 做匀速运动,C,C1,C2,C3,C4 是等距的,与端点 C 的 距离形成等差数列(0,Y0△t,2Y0△t,3Y0△t,4Y0△t,?) ,而 A,A1,A2,A3,A4,?与端点 2 B 的距离形成等比数列(Y0,Y0(2-△t)/(2+△t),Y0[(2-△t)/(2+△t)] ,Y0[(2-△t)/(2+△ 3 4 t)] ,Y0[(2-△t)/(2+△t)] ,?) 。 X 与 Y 的关系:Y=Y0[(2-△t)/(2+△t) 则可得到 Y=Y0(1/e)
X/Y0

1/(Y0△t) X

]。
1/△t

根据微积分理论,△t→0 时,(2-△t)/(2+△t)

=1/e,

Napier 认为,质点运动的时间间隔△t 应尽量小,他选择了(2-△t)/(2+△t) -7 7 =1-10 =0.9999999, 相应△t=2/(2×10 -1)) 为了避免小数的麻烦,他又规定 , 7 7 Y0=10 ,于是得到纳皮尔对数 X=Nap ㏒ Y=10 ㏑(107/Y) Napier 的核心思想是从等差数列与等比数列的关系中定义对数, Napier 没 有底的概念。 他从连续的几何量出发,定义的对数是连续的. 由数列定义的对数 是离散的。


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