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江苏省苏、锡、常、镇四市2012届高三教学调研测试(二)数学试题


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苏锡常镇四市 2012 届高三教学调研测试(二)
2012.5

数学 I(正题)
一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请把答案填写在相应位置上。 1.设集合 A ? ? ? 1,1 ? , B ? ? 0 , 2 ? ,则 A∪B= . .
3 2

2.若复数 z 满足 z ? 2 ? i (1 ? i ) ( i 为虚数单位) ,则 z ?
x
2

3.已知双曲线

?

y

2

? 1 ( m ? 0 ) 的一条渐近线方程为 y ?

x ,则 m 的值为

.

m

3

4.已知某人连续 5 次投掷飞镖的环数分别是 8 ,9 , , ,8 , 则该组数据的方差 s 2 ? 10 10

.

5.如图,边长为 2 的正方形内有一个半径为 1 的半圆.向正方形内任投一点(假设该点落在正方形 内的每一点都是等可能的) ,则该点落在半圆内的概率为 .

6.已知 4 张卡片(大小,形状都相同)上分别写有 1 , 2 , 3 , 4 ,从中任取 2 张,则这 2 张卡片 中最小号码是 2 的概率为 . 7.等比数列 ?a n ? 中,若 a 3 ? 3 , a 6 ? 24 ,则 a 8 的值为 8.已知钝角 ? 满足 cos ? ? ?
3 5

. .

,则 tan(
x ? 2, x ? 2,

?
2

?

?
4

) 的值为

9.已知函数 f ( x ) ? ?
?

? f ( x ? 1 ), 3
?x

则 f (log

,

3

2 ) 的值为

.

10.已知点 P 在 ? ABC 所在平面内,若 2 PA ? 3 PB ? 4 PC ? 3 AB ,则 ? PAB 与 ? PBC 的面积的 比值为 .

11.设 m , n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,给出下列命题: (1)若 ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n ;
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(2)若 ? // ? , m ? ? , n // ? ,则 m ? n ; (3)若 ? ? ? , m ? ? , n // ? ,则 m // n ; (4)若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n . 上面命题中,所有真命题的序号为 .

12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P 在曲线 xy ? 1 ( x ? 0 ) 上,点 P 在 x 轴上的射影为 M .若
OP
2

点 P 在直线 x ? y ? 0 的下方,当

OM ? MP

取得最小值时,点 P 的坐标为

.

13.已知椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左顶点为 A ,上顶点为 B ,右焦点为 F .设线段 AB 的中

点为 M ,若 2 MA ? MF ? BF

2

? 0 ,则该椭圆离心率的取值范围为

.
m
4

14.设实数 n ? 6 ,若不等式 2 xm ? ( 2 ? x ) n ? 8 ? 0 对任意 x ? ? ? 4 , 2 ? 都成立,则 值为 .

? n
3

4

的最小

m n

二.解答题:本大题共六小题,共计 90 分。请在指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤。 15.如图, 在四边形 ABCD 中, 已知 AB ? 13 , AC ? 10 , AD ? 5 ,CD ? (1)求 cos ? BAC 的值; (2)求 sin ? CAD 的值; (3)求 ? BAD 的面积.
65 , AB ? AC ? 50 .

16.如图,在三棱锥 S ? ABC 中,平面 EFGH 分别与 BC , CA , AS , SB 交于点 E , F , G , H ,且 SA ? 平面 EFGH , SA ? AB , EF ? FG . 求证: (1) AB // 平面 EFGH ;
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(2) GH // EF ; (3) GH ? 平面 SAC .

17.如图,已知矩形油画的长为 a ,宽为 b .在该矩形油画的四边镶金箔,四个角(图中斜线区域) 装饰矩形木雕,制成一幅矩形壁画.设壁画的左右两边金箔的宽为 x ,上下两边金箔的宽为 y ,壁 画的总面积为 S . (1) 用 x , y , a , b 表示 S ;

(2) 若 S 为定值,为节约金箔用量,应使四个矩形木雕的总面积最大.求四个矩形木雕总面积 的最大值及对应的 x , y 的值.

18.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O : x ? y ? 64 ,圆 O 1 与圆 O 相交,圆心为 O 1 ( 9 , 0 ) ,且
2 2

圆 O 1 上的点与圆 O 上的点之间的最大距离为 21 .

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(1)求圆 O 1 的标准方程; (2)过定点 P ( a , b ) 作动直线 l 与圆 O ,圆 O 1 都相交,且直线 l 被圆 O ,圆 O 1 截得的弦长分别为
d , d 1 .若 d 与 d 1 的比值总等于同一常数 ? ,求点 P 的坐标及 ? 的值.

19.已知 a 为正实数,函数 f ( x ) ?

a ? x a ? x

? e ( e 为自然对数的底数).
x

(1)若 f ( 0 ) ? f (1 ) ,求 a 的取值范围; (2)当 a ? 2 时,解不等式 f ( x ) ? 1 ; (3)求函数 f ( x ) 的单调区间.

(1)
S n?m ? 1 2

已知数列 ?a n ? 的前三项分别为 a 1 ? 5 ,a 2 ? 6 ,a 3 ? 8 ,且数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n 满足
( S 2 n ? S 2 m ) ? ( n ? m ) ,其中 m , n 为任意正整数.
2

(1)求数列 ?a n ? 的通项公式及前 n 项和 S n ; (2)求满足 S n ?
2

3 2

a n ? 33 ? k 的所有正整数 k , n .
2

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数学Ⅱ(附加题)
2.选做题
A .选修 4 ? 1 :几何证明选讲

如图, 自⊙ O 外一点 P 作⊙ O 的切线 PC 和割线 PBA , C 为切点, 点 割线 PBA 交⊙ O 于 A ,B 两点,点 O 在 AB 上.作 CD ? AB ,垂足为点 D . 求证:
PC PA ? BD DC

.

B .选修 4 ? 2 :矩阵与变换

设 a , b ? R ,若矩阵 A ? ? 值.

? a ?? 1

0? ' ? 把直线 l : y ? 2 x ? 4 变换为直线 l : y ? x ? 12 ,求 a , b 的 b?

C .选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程

求椭圆 C :

x

2

?

y

2

? 1 上的点 P 到直线 l : 3 x ? 4 y ? 18 ? 0 的距离的最小值.

16

9

D .选修 4 ? 5 不等式选讲

已知非负实数 x , y , z 满足 x 2 ? y 2 ? z 2 ? x ? 2 y ? 3 z ?

13 4

,求 x ? y ? z 的最大值.

3.如图,在长方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中, AB ? 4 , AD ? 2 , AA 1 ? 2 , F 是棱 BC 的中点,点
E 在棱 C 1 D 1 上,且 D 1 E ? ? EC 1 ( ? 为实数).

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(1)当 ? ?

1 3

时,求直线 EF 与平面 D 1 AC 所成角的正弦值的大小;

(2)求证:直线 EF 不可能与直线 EA 垂直.

n n n 23.记 f n ( x , y ) ? ( x ? y ) ? ( x ? y ) ,其中 x , y 为正实数, n ? N ? .给定正实数 a , b 满足

a ?

b b ?1

.用数学归纳法证明:对于任意正整数 n , f n ( a , b ) ? f n ( 2 , 2 ).

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