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1.3函数的基本性质


1.3.1

单调性与最大(小)值

第一课时

函数单调性的概念

问题提出

德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯,对人类 的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试,得 到了以下一些数据:
时间间隔 刚记 20分 60分 8-9 1天 2天 6天 一个 t 后 后 月后

忆完 钟后 钟后 小时 后 毕 后 记忆量y 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1 (百分比)

以上数据表明,记忆量y是时间 间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这 些数据描绘出了著名的“艾宾浩 斯遗忘曲线”,如图.

y
100 80

60 40
20

o

1

2

3

t

思考1:当时间间隔t逐渐增 y 大你能看出对应的函数值y 100 80 有什么变化趋势?通过这个 60 试验,你打算以后如何对待 40 20 刚学过的知识? o 思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线” 从左至右是逐渐下降的,对此, 我们如何用数学观点进行解释?

1

2

3

t

知识探究(一)

考察下列两个函数:

(1 )

f ( x) ? x ; (2) f ( x) ? x ( x ? 0)
2

y

y

o

x o x

思考1:这两个函数的图象分别是什么?二者有何 共同特征? 思考2:如果一个函数的图象从左至右逐渐上升, 那么当自变量x从小到大依次取值时,函数值y的 变化情况如何?

思考3:如图为函数 f ( x) 在定义域 y I内某个区间D上的图象,对于该 区间上任意两个自变量x1和x2, x1 ? x2 f( x1 ) f ( x 当 时, 与 的大 o 2) 小关系如何?

y ? f ( x)
f ( x2 )
f ( x1 )
x1 x2 x

思考4:我们把具有上述特点的函数称为增函数, 那么怎样定义“函数f ( x) 在区间D上是增函数”?
f ( x)

对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 x1 , x2 的值,若当 x1 < x2 时,都有 f ( x1 ) < f ( x2 ) , 则称函数 f ( x) 在区间D上是增函数.

知识探究(二)

考察下列两个函数:

(1 )

f ( x) ? ? x ; (2) f ( x) ? x ( x ? 0)
2

y
f ( x1 ) f ( x2 ) y ? f ( x)

y

o

x

o

x

思考1:这两个函数的图象分别是什么?二者有何 共同特征?

思考2:我们把具有上述特点的 函数称为减函数,那么怎样定 义“函数 f ( x) 在区间D上是减 函数”?
f ( x)

y

y ? f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
x2 x

o

x1

对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 x1 , x2 的值,若当 x1 < x2 时,都有 f ( x1 ) > f ( x2 ) , 则称函数 f ( x) 在区间D上是减函数.

f ( x1 ) ? f ( x2 )

思考3:对于函数定义域I内某个区间D上的任意两 个自变量 x1 , x2 的值,若当 x1 ? x2 时,都有
,则函数 f ( x)在区间D上是增函数还是

减函数?

思考4:如果函数y=f(x)在区间D上是增函 数或减函数,则称函数 f ( x)在这一区间具有 (严格的)单调性,区间D叫做函数 f ( x) 的 单调区间.那么二次函数在R上具有单调性吗? 2 函数 f ( x) ? ( x ?1) 的单调区间如何?

理论迁移

例1 如图是定义在闭区间 [-5,6]上的函数y ? f ( x) 的图象,根据图象说出 y ? f ( x)的单调区间,以 及在每一单调区间上, 函数 y ? f ( x)是增函数还 是减函数.

y

-3 -5 o 1 3 6

x

k 例2 物理学中的玻意耳定律 P ? (k为正常数) V

告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V 减小时,压强p将增大. 试用函数的单调性 证明.

上的单调性.

x ?1 例3 试确定函数 f ( x ) ? 在区间 (0, ??) x

小结

利用定义确定或证明函数f(x)在给定的 区间D上的单调性的一般步骤:
1.取数:任取x1,x2∈D,且x1<x2; 2.作差:f(x1)-f(x2); 3.变形:通常是因式分解和配方; 4.定号:判断差f(x1)-f(x2)的正负; 5.小结:指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性.

作业:
P32 练习:1,2,3,4.

1.3.1

单调性与最大(小)值

第二课时

函数单调性的性质

问题提出

1. 函数在区间D上是增函数、减函数的定义是什 么? 2. 增函数、减函数的图象分别有何特征? 3. 增函数、减函数有那些基本性质?
f ( x)

知识探究(一)

对于函数 f ( x)定义域内某个区间D上的任意两 个自变量的值 x1 , x2 ,若当 x1 ? x2 时,都有 (1)f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则称函数 f ( x) 在区间D上是 增函数; (2)f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则称函数 f ( x) 在区间D上是 减函数.
f ( x)

思考1:对于函数 f ( x)定义域内某个区间D上的任意 两个自变量的值 x1 , x2 ( x1 ? x2 ),若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,
则函数 f ( x)在区间D上的单调性如何? 若
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 呢? x1 ? x2

x1 ? x2

f ( x) a?0 思考2:若函数 在区间D上为增函数, a ? f ( x) af ( x) 为常数,则函数 、 的单调性如何?

思考3:若函数 f ( x)、g ( x) 在区间D上都是增函数, 则函数 f ( x) ? g ( x) 、f ( x) ? g ( x) 在区间D上的单调性 能否确定? 思考4:若函数 f ( x)在区间D上是增函数,则函数 1 在区间D 在区间 D 上是增函数吗?函数 f ( x) f ( x) 上是减函数?

知识探究(二)

如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则 称函数 f ( x)在这一区间具有(严格的)单调性,区 间D叫做函数 f ( x)的单调区间,此时也说函数 f ( x) 在这一区间上是单调函数. 思考1:函数 f ( x) ? kx ? b 是单调函数吗? 思考2:函数 f ( x) ?| x | 在R上具有单调性吗? 其单调区间如何? 思考3:一个函数在其定义域内,就单调性而言 有哪几种可能情形?

思考4:若函数 f ( x)在区间D上具有单调性, A ? D ? B ,那么 f ( x)分别在区间A、B上具有单 调性吗? 思考5:下列图象表示的函数是增函数吗?
y
y

o 图1

x

o 图2

x

思考6:一般地,若函数 f ( x) 在区间A、B上是 单调函数,那么 f ( x) 在区间 A ? B上是单调函 数吗?

理论迁移

f ( x ? 2) ? 1的解集.

2x ?1 例 已知函数 f ( x) ? ,求不等式 x

作业: P39 习题1.3A组:1,2,4.

1.3.1

单调性与最大(小)值

第三课时

函数的最值

问题提出

1.确定函数的单调性有哪些手段和方法?

f ( x)

2.函数图象上升与下降反映了函数的单调性, 如果函数的图象存在最高点或最低点,它又 反映了函数的什么性质?

知识探究(一)

观察下列两个函数的图象:
y
M
M

y

x

o

x0
图1

o
图2

x0

x

思考1:这两个函数图象有何共同特征?

函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称?
思考2:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M, 则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小 关系如何?

思考3:设函数 f ( x) ? 1 ? x ,则 f ( x) ? 2 成立吗? f ( x) 的最大值是2吗?为什么?
2

思考4:怎样定义函数 f ( x) 的最大值?用什么符号 表示?
一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为I,如果存在 实数M满足: (1)对于任意的 x ? I , 都有 f ( x) ? M; (2)存在 x0 ? I,使得 f ( x0 ) ? M. 那么称M是函数 y ? f ( x) 的最大值,记作
f ( x)max ? M

思考5:函数的最大值是函数值域中的一个元 素吗?如果函数 f ( x) 的值域是(a,b),则函 数 f ( x) 存在最大值吗?

思考6:函数 y ? ?2 x ? 1, x ? (?1, ??) 有最大 值吗?为什么?

知识探究(二)

观察下列两个函数的图象:
y y

m

m

o

x0
图1

x

x0

o
图2

x

思考1:这两个函数图象各有一个最低点,函数图 象上最低点的纵坐标叫什么名称? 思考2:仿照函数最大值的定义,怎样定义函数 f ( x) 的最小值?

一般地,设函数 y ? f ( x)的定义域为I, 如果存在实数m满足: (1)对于任意的 x ? I , 都有 f ( x) ? m; (2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? m . 那么称m是函数 y ? f ( x)的最小值,记作

f ( x)min ? m

知识探究(三)

思考1:如果在函数 f ( x)定义域内存在x1和 x2, 使对定义域内任意x都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立,由此你能得到什么结论? 思考2:对一个函数就最大值和最小值的存在性而 言,有哪几种可能情况?

思考3:如果函数 f ( x)存在最大值,那么有几个?
思考4:如果函数 f ( x) 的最大值是b,最小值是a, 那么函数 f ( x) 的值域是[a,b]吗?

理论迁移

2 , x ? ? 2,6? ,求函数 f ( x) 例1已知函数 f ? x ? ? x ?1 的最大值和最小值.
f ? x? ? 2 , x ? 2,6 x ?1

例2(05年湖南卷)某公司在甲、乙两地销售一种 ? ? 2 品牌车,利润(万元)分别为 y1 ? 5.06x ? 0.15x 和 y2 ? 2x ,其中x为销售量(辆),若该公司在 ? ? 这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为( A ) A、45.6万元 B、45.606万元 C、45.56 万元 D、45.51万元
f ? x? ? 2 , x ? 2,6 x ?1

作业

P39 习题1.3A组:5 B组:1,2.

1.3.2 第一课时

奇偶性 函数的奇偶性

问题提出

1.研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的 需要,也是数学自身发展的必然结果. 例如事物 的变化趋势,利润最大、效率最高等,这些特性 反映在函数上,就是要研究函数的单调性及最值. 2.我们从函数图象的升降变化引发了函数的单 调性,从函数图象的最高点最低点引发了函数的 最值,如果从函数图象的对称性出发又能得到什 么性质?

知识探究(一)

考察下列两个函数:
(1) f ( x) ? ? x ;
2

(2) f ( x) ?| x | .
y o

y o

x

x

图(1)

图(2)

思考1:这两个函数的图象分别是什么?二者 有何共同特征?
思考2:对于上述两个函数,f(1)与f(-1), f(2)与f(-2),f(3)与f(-3)有什么关系?

思考3:一般地,若函数y=f(x)的图象关于y轴 对称,则f(x)与f(-x)有什么关系?反之成立 吗? f(x)=f(-x)
思考4:我们把具有上述特征的函数叫做偶函 数,那么怎样定义偶函数?

如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=f(x)成立,则称函数f(x)为偶函 数.

思考5:等式f(-x)=f(x)用文字语言怎样表 述? 自变量相反时对应的函数值相等

思考6:函数 f ( x) ? x , x ?[?1, 2]是偶函数 吗?偶函数的定义域有什么特征?
2

偶函数的定义域关于原点对称

知识探究(二)

考察下列两个函数:
(1) f ( x) ? x ;
y o 图(1) x

1 (2) f ( x) ? . x y
o x 图(2)

思考1:这两个函数的图象分别是什么?二者 有何共同特征?
思考2:对于上述两个函数,f(1)与f(-1), f(2)与f(-2),f(3)与f(-3)有什么关系?

思考3:一般地,若函数y=f(x)的图象关于坐 标原点对称,则f(x)与f(-x)有什么关系?反 之成立吗? f(x)=-f(-x)
思考4:我们把具有上述特征的函数叫做奇函 数,那么怎样定义奇函数?

如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=-f(x)成立,则称函数f(x)为奇 函数.

思考5:等式f(-x)=-f(x)用文字语言怎样表 述? 自变量相反时对应的函数值相反

思考6:函数 f ( x) ? x, x ? [?1, 2] 是奇函数吗? 奇函数的定义域有什么特征? 奇函数的定义域关于原点对称

理论迁移

例1 判断下列函数的奇偶性: 1 2 (1) f ( x) ? x ? ; (2) f ( x) ? 1 ? x . x

例2 已知定义在R上的函数f(x)满足:对任 意实数,都有 f (a ? b) ? af (b) ? bf (a)成立. (1)求f(1)和f(-1)的值; (2)确定f(x)的奇偶性.

例3 确定函数 f ( x) ? ? x ? 2 | x | ?3的单调区间.
2

y

x -1 o 1

作业:

P36练习:1,2

1.3.2

奇偶性

第二课时

函数的奇偶性的性质

问题提出

1.奇函数、偶函数的定义分别是什么?

2.奇函数和偶函数的定义域、图象分别有

何特征?

3.函数的奇偶性有那些基本性质?

知识探究(一)

思考1:是否存在函数f(x)既是奇函数又是偶 函数?若存在,这样的函数有何特征? f(x)=0 思考2:一个函数就奇偶性而言有哪几种可能 情形?

思考3:若f(x)是定义在R上的奇函数,那么 f(0)的值如何? f(0)=0

思考4:如果函数f(x)具有奇偶性,a为非零常 数,那么函数af(x),f(ax)的奇偶性如何?

思考5:常数函数 f ( x) ? a(a ? 0) 具有奇偶性吗?

知识探究(二)

思考1:如果函数f(x)和g(x)都是奇函数,那 么f(x) + g(x),f(x) - g(x), f(x)×g(x) ,f(x)÷g (x)的奇偶性如何?

思考2:如果f(x)是定义在R上的任意一个函数, 那么f(x) + f(-x),f(x) - f(-x)奇偶性如 何? f(x) + f(-x)是偶函数

f(x) - f(-x)是奇函数

思考3:二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 是偶函 数的条件是什么? 一次函数 f ( x) ? kx ? b 是奇函数的条 件是什么?
2

b=0

理论迁移

例1 已知f(x)是奇函数,且当 x ? 0时, 2 ,求当 时f(x)的解析 x?0 f ( x) ? x ? 3 x 式. 2

f ( x) ? ? x ? 3x( x ? 0)
2

例2 设函数 f ( x) ? 2 x ? mx ? 3,已知 f ( x ? 1) 是 偶函数,求实数m的值. m=-4

例3 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且对任 意实数x都有 f ( x ? 3) ? f ( x) ? 0 ,若当 x ? [?3, ?2] 1 时, f ( x) ? 2 x ,求 f ( ) 的值. 2
1 f( )?5 2

例4 已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在 (??, 0] 上是增函数,f(-2)=0,求不等式 x ? f ( x) ? 0 的解集.

(?2, 0) ? (2, ??)

作业: P39习题1.3A组:6 B组:3


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