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2017高考数学(理)一轮复习练习:第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第7讲


基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.函数 y=1- 1 的图像是( x-1 )

解析 图像. 答案

1 1 将 y=- x的图像向右平移 1 个单位,再向上平移 1 个单位,即可得到函数 y=1- 的 x-1

B ) D.[-2,0)

2.使 log2(-x)<x+1 成立的 x 的取值范围是( A.(-1,0) 解析 B.[-1,0) C.(-2,0)

在同一坐标系内作出 y=log2(-x),y=x+1 的图像,知满足条件的 x∈(-1,0),故选 A.

答案

A ax+b 的图像如图所示,则下列结论成立的是( (x+c)2 )

3.(2015· 安徽卷)函数 f(x)=

A.a>0,b>0,c<0 C.a<0,b>0,c<0 解析

B.a<0,b>0,c>0 D.a<0,b<0,c<0

函数 f(x)的定义域为{x|x≠-c},由题中图像可知-c=xP>0,即 c<0.
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b b b 令 f(x)=0,可得 x=-a,则 xN=-a,又 xN>0,则a<0,所以 a,b 异号,排除 A,D. 答案 C

4.(2014· 新课标全国Ⅰ卷)如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边 为射线 OA,终边为射线 OP,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M.将点 M 到直线 OP 的距离表 示成 x 的函数 f(x),则 y=f(x)在[0,π ]上的图像大致为( )

解析

由题图可知:当 x=

π π? ? 时,OP⊥OA,此时 f(x)=0,排除 A,D;当 x∈?0, ?时,OM= 2 2? ?

d cos x,设点 M 到直线 OP 的距离为 d,则OM=sin x,即 d=OMsin x=sin xcos x,∴f(x)=sin xcos x 1 1 =2sin 2x≤2,排除 B. 答案 C

5.(2015· 全国Ⅰ卷)设函数 y=f(x)的图像与 y=2x+a 的图像关于直线 y=-x 对称,且 f(-2)+f(-4) =1,则 a=( A.-1 解析 ) B.1 C.2 D.4

设(x,y)是函数 y=f(x)图像上任意一点,它关于直线 y=-x 的对称点为(-y,-x),由 y

=f(x)的图像与 y=2x+a 的图像关于直线 y=-x 对称,可知 (-y,-x)在 y=2x+a 的图像上,即-x=2-y+a,解得 y=-log2(-x)+a,所以 f(-2)+f(-4)=- log22+a-log24+a=1,解得 a=2,选 C. 答案 C

二、填空题 6.设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5].若当 x∈[0,5]时,f(x)的图像如图,则不等式 f(x)<0 的解集是
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________.

答案

(-2,0)∪(2,5]

7.在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 y=2a 与函数 y=|x-a|-1 的图像只有一个交点,则 a 的值为 ________. 解析 函数 y=|x-a|-1 的图像如图所示,因为直线 y=2a 与函数 y=|x-a|-1 的图像只有一个

1 交点,故 2a=-1,解得 a=-2.

答案

1 -2

8.设函数 f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的 x∈R,不等式 f(x)≥g(x)恒成立,则实数 a 的取值范 围是________ . 解析 如图,要使 f(x)≥g(x)恒成立,则-a≤1,∴a≥-1.

答案

[-1,+∞)

三、解答题 9.已知函数 f(x)=x|m-x|(x∈R),且 f(4)=0. (1)求实数 m 的值; (2)作出函数 f(x)的图像; (3)根据图像指出 f(x)的单调递减区间; (4)若方程 f(x)=a 只有一个实数根,求 a 的取值范围. 解 (1)∵f(4)=0,∴4|m-4|=0,即 m=4.
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(2)f(x)=x|x-4|

2 ?x(x-4)=(x-2) -4,x≥4, =? 2 ?-x(x-4)=-(x-2) +4,x<4.

f(x)的图像如图所示: (3)f(x)的减区间是[2,4]. (4)从 f(x)的图像可知,当 a>4 或 a<0 时,f(x)的图像与直线 y=a 只有一个交点,方程 f(x)=a 只 有一个实数根,即 a 的取值范围是(-∞,0)∪(4,+∞). 10.当 x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解 设 f(x)=(x-1)2,g(x)=logax,

在同一直角坐标系中画出 f(x)与 g(x)的图像, 要使 x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax 恒成立,只需函数 f(x)的图像在 g(x)的图 像下方即可. 当 0<a<1 时,由两函数的图像知,显然不成立; 当 a>1 时,如图,使 x∈(1,2)时, 不等式(x-1)2<logax 恒成立,只需 f(2)≤g(2), 即(2-1)2≤loga2,解得 1<a≤2. 综上可知,1<a≤2. 能力提升题组 (建议用时:20 分钟)
2 ?x +2x-1,x≥0, 11.已知函数 f(x)=? 2 则对任意 x1, x2∈R, 若 0<|x1|<|x2|, 下列不等式成立的是( ?x -2x-1,x<0,

)

A.f(x1)+f(x2)<0 C.f(x1)-f(x2)>0 解析 函数 f(x)的图像如图所示:

B.f(x1)+f(x2)>0 D.f(x1)-f(x2)<0

且 f(-x)=f(x),从而函数 f(x)是偶函数且在[0,+∞)上是增函数.
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又 0<|x1|<|x2|,∴f(x2)>f(x1),即 f(x1)-f(x2)<0. 答案 D

12.(2015· 全国Ⅱ卷)如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点.点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,记∠BOP=x,将动点 P 到 A,B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x),则 y=f(x)的图 像大致为( )

解析

π BP 法一 当点 P 位于边 BC 上时,∠BOP=x,0≤x≤ 4 ,则OB=tan x,∴BP=tan x,∴

AP= 4+tan2x, π? ? ∴f(x)=tan x+ 4+tan2x?0≤x≤ ?, 可见 y=f(x)图像的变化不可能是一条直线或线段, 排除 A, 4? ? 3π? ?π ?,则 BP+AP= BC2+CP2+ AD2+DP2= C.当点 P 位于边 CD 上时,∠BOP=x? ≤x≤ 4 ? ?4 1 ?2 ? 1+?1-tan x? + ? ? 1 ?2 ? 1+?1+tan x? . ? ?

当点 P 位于边 AD 上时, AP ?3π ? ?,则 =tan(π-x)=-tan x, ∠BOP=x? ≤ x ≤ π OA ? 4 ? ∴AP=-tan x,∴BP= 4+tan2x, ?3π ? ?, ∴f(x)=-tan x+ 4+tan2x? ≤ x ≤ π ? 4 ? 根据函数的解析式可排除 D,故选 B.
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法二

π 当点 P 位于点 C 时,x= 4 ,此时 AP+BP=AC+BC=1+ 5,当点 P 位于 CD 的中点

π 3π 时,x= 2 ,此时 AP+BP=2 2<1+ 5,故可排除 C,D,当点 P 位于点 D 时 x= 4 ,此时 AP+BP=AD+BD=1+ 5,而在变化过程中不可能以直线的形式变化,故选 B. 答案 B

13.已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x,且在[-1,3]内,关于 x 的方程 f(x) =kx+k+1(k∈R,k≠-1)有四个根,则 k 的取值范围是________. 解析 由题意作出 f(x)在[-1,3]上的示意图如图,

记 y=k(x+1)+1, ∴函数 y=k(x+1)+1 的图像过定点 A(-1,1). 记 B(2,0),由图像知,方程有四个根, 即函数 y=f(x)与 y=kx+k+1 的图像有四个交点, 故 kAB<k<0,kAB= 答案 ? 1 ? ?-3,0? ? ? 0-1 1 1 =-3,∴-3<k<0. 2-(-1)

14.(1)已知函数 y=f(x)的定义域为 R,且当 x∈R 时,f(m+x)=f(m-x)恒成立,求证 y=f(x)的图像 关于直线 x=m 对称; (2)若函数 y=log2|ax-1|的图像的对称轴是 x=2,求非零实数 a 的值. (1)证明 设 P(x0,y0)是 y=f(x)图像上任意一点, 则 y0=f(x0).又 P 点关于 x=m 的对称点为 P′, 则 P′的坐标为(2m-x0,y0). 由已知 f(x+m)=f(m-x), 得 f(2m-x0)=f[m+(m-x0)] =f[m-(m-x0)]=f(x0)=y0. 即 P′(2m-x0,y0)在 y=f(x)的图像上. ∴y=f(x)的图像关于直线 x=m 对称. (2)解 对定义域内的任意 x,
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有 f(2-x)=f(2+x)恒成立. ∴|a(2-x)-1|=|a(2+x)-1|恒成立, 即|-ax+(2a-1)|=|ax+(2a-1)|恒成立. 1 又∵a≠0,∴2a-1=0,得 a=2.

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