当前位置:首页 >> 数学 >>

[原创]高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测14


考点 14
极限 ? 数学归纳法 ? 数列的极限 ? 函数的极限 ? 函数的连续性 ? 数学归纳法在数列中的应用 ? 数列的极限 ? 函数的极限 ? 函数的连续性 经典易错题会诊 命题角度 1 数学归纳法 1. (典型例题)已知 a>0,数列{an}满足 a1=a,an+1=a+
1 ,n=1,2,?. an

(Ⅰ)已知数列{an}

极限存在且大于零,求 A= lim an (将 A 用 a 表示);
n ??

(Ⅱ)设 bn=an-A,n=1,2?,证明:bn+1=(Ⅲ)若|bn|≤
1 2n

bn ; A(bn ? A)

, 对 n=1,2?都成立,求 a 的取值范围。
1 1 两边取极限得,A=a+ . 解 an A

[考场错解] (Ⅰ)由 lim an ,存在,且 A= lim an(A>0),对 aa+1=a+
n ?? n ??

得 A=

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 . 又 A>0, ∴A= . 2 2

(Ⅱ)由 an+bn+A,an+1=a+ ∴ bn?1 ? a ? A ? 即 bn ?1 ? ?

1 1 得 bn+1+A=a+ . an bn ? A

1 1 1 bn ?? ? ?? . bn ? A A bn ? A A(bn ? A)

bn 对 n=1,2?都成立。 A(bn ? A)

(Ⅲ)∵对 n=1,2,?|bn|≤
1 2 1 2

1 2
n

,则取 n=1 时, | b1 |?
3 。 2

1 1 1 ,得 | a ? (a ? a2 ? 4 |? . 2 2 2

∴ | ( a2 ? 4 ? a) |? . ? a2 ? 4 ? a ? 1 ,解得 a ?

[专家把脉] 第Ⅲ问中以特值代替一般,而且不知{bn}数列的增减性,更不能以 b1 取代 bn. [对症下药] (Ⅰ) (Ⅱ)同上。 (Ⅲ)令|b1|≤ ,得 | a ? (a ? a2 ? 4) |? . ∴|
1 2 1 a ? 4 ? a |? . 2 2 1 2 1 2 1 2

-1-

∴ a2 ? 4 ? a ? 1, 解得a ? . 现证明当 a ?
1 3 时, | bn |? n 对 n=1,2,?都成立。 2 2 1 2k
| bk | 1 1 ? ? . | A(bk ? A) | A | bk ? A | 2k

3 2

(i)当 n=1 时结论成立(已验证) 。 (ii)假设当 n=k(k≥1)时结论成立,即 | bk |?
1 ? 1 2

,那么 | bk ?1 |?

故只须证明 A | bk ? A |
a ? a2 ? 4 ? 2

,即证 A|bk+A|≥2 对 a≥ 成立
2

3 2

由于 A ?

a ?4 ?a

2

,

而当a≥ 时,而当a≥ 时, a 2 ? 4 ? a ? 1,? A ? 2. ∴ | bk ? A |? A? | bk |? 2 ?
3 2
1 2k 1 2 ? 1, 即A|bk+A|≥2. 1 2k ? 1 2k ?1 .

3 2

3 2

故当a≥ 时, | bk ?1 |? ?

即n=k+1时结论成立。 根据(i)和(ii),可知结论对一切正整数都成立。 故|bn|≤
1 2
n

对n=1,2,?都成立的a的取值范围为[ ,?? ]

3 2

2.(典型例题)已知数列{an}中,a1=3,前 n 项和 Sn 满足条件 Sn=6-2an+1.计算 a2、a3、a4,然后猜 想 an 的表达式。并证明你的结论。 [考场错解] 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1= an.因为 a1=3,所以 a2= a1= ,a3= a2= ,a4= a3= . 由此猜想 an= ① 当 n=1 时,a1=
3 21?1

1 2

1 2

3 2

1 2

3 4

1 2

3 8

3 2n ?1

(n ? N * )

=3,结论成立;
3 2
k ?1

② 假设当 n=k(k≥1)时结论成立, 即 ak=

成立, 则当 n=k+1 时, 因为 ak+1= ak, 所以
1 2
3 2
k ?1?1

1 2

ak ?1 1 ? , ak 2

k+1-1 又 a1=3,所以{an}是首项为 3 公比为 的等比数列。 由此得 ak+1=3? ( ) =

1 2

,这表明,

当 n=k+1 时结论也成立。 由①、②可知,猜想对任意 n∈N*都成立。 [专家把脉] ①应由 a1=S1=6-2a2,求得 a2= ,再由 an+1= an(n≥2)求得 a3= ,a4= ,进而由此猜想 an=
3 2 n ?1

3 2

1 2

3 4

3 8

(n∈E*).
3 2
k ?1

②用数学归纳法证明猜想时,没有利用归纳假设 ak ?

,而是根据等比列的通项公式求得

-2-

ak+1=

3 2
k ?1?1

.这种证明不属于数学归纳法。
3 2

[对症下药] 由 a1=S1=6-2a2,a1=3,得 a2= . 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1= an.将 a2= 代入得 a3= a2= ,a4= a3= ,由此猜想 an= 明猜想成立。 ①当 n=1 时,a1=
3 a1?1 ? 3 ,猜想成立; 3 2 k ?1

1 2

3 2

1 2

3 4

1 2

3 8

3 2
n ?1

(n ? N *). 下面用数学归纳法证

②假设当 n=k(k≥1)时结论成立,即 ak= ak+1= ?
1 2
3 2
k ?1

成立,则当 n=k+1 时,因为 ak+1= ak,所以

1 2

=

3 2
k

?

3 2
k ?1?1

这表明,当 n=k+1 时结论也成立。

由①,②可知,猜想对 n∈N*都成立。 3. (典型例题)已知不等式 + +?+
1 2 1 3
1 1 > [log2n],其中 n 为大于 2 的整数,[log2n]表示不超过 n 2
nan ? 1 ,n=2,3,4,?. n ? an ? 1

log2n 的最大整数。设数列{an}的各项为正,且满足 a1=b(b>0),an≤ (Ⅰ)证明:an≤
2b ,n=2,3,4,5,?; 2 ? b[log2 n]

(Ⅱ)猜测数列{an}是否有极限?如果有,写出极限的值(不必证明) ; (Ⅲ)试确定一个正整数 N,使得当 n>N 时,对任意 b>0,都有 an< . [考场错解] (1)利用数学归纳法证明不等式: an ? 1)当 a=3 时, an ?
b . 1 ? f ( n) ? b

1 5

3a2 3 3 b ? ? ? 知不等式成立。 3 2 ? a 3 ? a2 1 ?1 ? 1 1 ? f (3) ? b a2 2a1

2)假设 n=k(k≤3)时,ak≤

( k ? 1) ak k ?1 b b ? ? . 即 n=k+1 时, , 则 ak ?1 ? ( k ? 1) ? ak 1 ? k ? 1 1 ? f ( k ? 1) ? b 1 ? f (k )b ak

不等式成立。 (Ⅱ)有极限,且 linan an ? 0.
n ??

(Ⅲ) ?

2b 2 2 1 ? ,令 ? . 2 ? b[log2 n] [log2 n] [log2 n] 5

解得 n>10=1024.取 N=1024,有 an< . [专家把脉] (1)在运用数学归纳证明时,第 n-k+1 步时,一定要运用归纳假设进行不等式 放缩与转化,不能去拼凑。 [对症下药] (Ⅰ)证法 1:∵当 n≥2 时,0<an≤
man ? 1 ,∴ n ? an ? 1

1 5

-3-

1 n ? an ? 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ,即 ? ? ,于是有 an nan ? 1 an ? 1 n an an ? 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? , ? ? ,?, ? ? ,所有不等式两边相加可得 ? ? ? ??? . an a1 2 3 n a2 a1 2 a3 a2 3 an an ? 1 n

由已知不等式知,当 n≥3 时有, ∵a1<b,∴ ∴an<

1 1 1 ? ? [log2 n]. an a1 2

1 1 1 2 ? b[log2 n] ? ? [log2 n] ? . an b 2 2b

2b . 2 ? b[log2 n]

证法 2:设 f(n)= ? ? ? ? ,首先利用数学归纳法证不等式 an ? (i)当 n=3 时,由 a3 ?

1 2

1 3

1 n

b , n=3,4,5,?. 1 ? f (n)b

3a2 3 3 b ? ? ? . 知不等式成立。 3 2 ? a1 3 ? a2 1 ? f (3)b ?1 ?1 a2 2a1

(ii)假设当 n=k(k≥3)时,不等式成立,即 ak≤ 则 ak+1≤

b , 1 ? f (k )b

( k ? 1)ak k ?1 k ?1 (k ? 1)b b b ? ? ? ? ? ,即 k ?1 1 ? f (k )b 1 (k ? 1) ? ak ( k ? 1 ) ? ( k ? 1 ) f ( k ) b ? b 1 ? f ( k ? 1)b ? 1 (k ? 1) ? ?1 1 ? [ f (k ) ? ]b ak b k ?1

当 n=k+1 时,不等式也成立。 由(i) 、 (ii)知,an≤ 又由已知不等式得
an ? b 2b ? , n=3,4,5,?. 1 2 ? b [ bog2n] 1 ? [log2 n]b 2

b n=3,4,5,?. 1 ? f (n)b

(Ⅱ)有极限,且 lim an ? 0 ,
n??

(Ⅲ) ∵

2b 2 2 1 10 ? ,令 ? ,则有 log2n≥[log2n]>10, ? n>2 =1024,故取 2 ? b[log2 n] [log2 n] [log2 n] 5

N=1024,可使当 n>N 时 ,都有 an<

1 5

专家会诊 1.一般与自然数相关的命题,或有关代数恒等式的证明,三角恒等式、三角不等式、整除性、 与数列有关的问题和有关几何问题都可用数学归纳法。 2.运用数学归纳法证明时,第二步是关键、必须用到归纳假设,否则就不是数学归纳法的证 明。 考场思维训练 1 用数学归纳法证明 “(n+1)(n+2)?(n+n)=2n? 1? 3? 5?(2n-1)(n∈N+)” 时, 从 n=k 到 n=k+1, 给等式的左边需要增乘的代数式是 ( )

-4-

A. 2k ? 1 C. (2k ? 1)( 2k ? 2) k ?1

B.

2k ? 1 k ?1 2k ? 3 D. k ?1

答案: C 解析:略 2 曲线 C: xy=1(x>0)与直线 l:y=x 相交于 A1,作 A1B1⊥l 交 x 轴于 B1,作 B1A2∥l 交曲线 C 于 A2? 依此类推。 (1)求点 A1、A2、A3 和 B1、B2、B3 的坐标; 答案: A1(1,1)、 A( 2 +1, 2
3+ 2, 3- 2) 、 A( 、 B( 、 B( 、 B( 2 -1) 3 1 2,0) 2 2 2 ,0) 3 2 3 ,0)

(2)猜想 An 的坐标,并加以证明; 答案: An( n ? n ? 1, n ? n ? 1) ,证明略. (3) lim
| Bn Bn ?1 | . Bn ?1Bn 1 , an ), Bn (bn ,0). an

n??

答案:设 An(

由题图:A1(1,1) ,B1(2,0) ∵a1=1,b1=2 且
1 ? ?bn ? a ? an ? n ? ?a ? 1 ? bn ? 1(? A 在直线 y ? x ? b 上) n n n ?1 ? an ?

∴ lim

n?? |

| Bn Bn ? 1 | 2a n ?1 ? n ,分子分母乘以( n ? 1 ? n )( n ? n ? 1) ) ? lim n ?1 ? lim n?? n ? n ? 1 Bn ? 1Bn | n?? 2an
n ? n ?1 n ?1 ? n 1 ? 1? ? lim
n ??

及 lim

1 n

n ??

1 1? ? 1 n

?1

3 设数列 a1,a2,?,an,?的前 n 项的和 Sn 和 an 的关系是 Sn=1-ban无关的常数,且 b≠-1。 (1)求 an 和 an-1 的关系式; 答案: an=Sn-Sn-1=-b(an-an-1)解得 an=
1 (1 ? b)
n

1 , 其中 b 是与 n (1 ? b)n

?

1 (1 ? b)
n ?1

? ?b(an ? an?1) ?

b (1 ? b)n

(n ? 2)

b b an ? 1 ? (n ? 2) 1? b (1 ? b)n ?1

(2)猜想 an 的表达式(用 n 和 b 表示) ; 答案:∵a=S1=1-ba11 b ,? a1 ? 1? b (1 ? b)2

-5-

? an ?

b b b b [ an ? 2 ? ]? n 1? b 1? b (1 ? b) (1 ? b) n ?1 b 2 b2 ? b ?( ) an ? 2 ? 1? b (1 ? b) n ? 1 ?( ?( b 2 b b b ? b2 ) [ an ? 3 ? ] ? 1? b 1? b (1 ? b) n ?1 (1 ? b) n ?1 b 2 b ? b 2 ? b3 ) an ? 3 ? ,? 1? b (1 ? b) n ?1

由此猜想 an= ( 把 a1=
b (1 ? b)2

b n ?1 b ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?1 ) a1 ? 1? b (1 ? b)n ?1

代入上式得

? b ? b n ?1 (b ? 1) ? b ? b2 ? ? ? b ? (1 ? b)(1 ? b) n ?1 an= ? ? (1 ? b) n ?1 ? n ? n ?1 (b ? 1) ?2
n

(3)当 0<b<1 时,求极限 lim Sn .
n ??

(3).S n ? 1 ? ban ?

1 (1 ? b)
n

? 1? b ?

b ? b n ?1 (1 ? b)(1 ? b) n ?1

?

1 (1 ? b) n

答案: ? 1 ?

1 (1 ? b) n

?

b(b ? b n ?1 ) 1 n ?1 ( ) (b ? 1), 1? b 1? b
n ??

? 0 ? b ? 1时, lim b n ? 0, lim (
n ??

1 n ) ? 0,? lim S n ? 1. n ?? 1? b

命题角度 2 数列的极限 1. (典型例题)已知数列{xn}满足 x2= ( A. )
3 2
x1 1 , xn= (xn-1+xn-2),n=3,4,?.若 lim xn . =2,则 x1= n ?? 2 2

B.3

C.4
1 2

D.5
1 2 5 2 1 2 5 2
11 ,?.当 n ? ? , 由 4

[考场错解] C. ∵x1=4.∴x2=2,x3= (x1+x2)=3,x4= (2+3)= ,x5= (3+ )= 趋势可知 xn ? 2 ,故选 C [专家把脉] 通过有限项看趋势,并不能准确描述极限。

[对症下药] B 由 xn= (xn-1+xn-2)可得 2x3=x2+x1,2x4=x3+x2,2x5=x4+x3,?,2xn=xn-1+xn-2,两边相加得: 2xn+xn-1=2x2+x1,两边取极限,2x1=4+2, ∴x1=3. 2.(05,浙江高考卷) lim A.2 B.4
1? 2 ? 3 ? ?? n n2
n??

1 2

= D.0





C.

1 2

-6-

[考场错解] D lim

1? 2 ? 3 ? ?? n n
2

n??

= lim (
n??

1 n
2

?

2 n
2

?

1 1 2 1 ? ? ? ) ? lim 2 ? lim 2 ? ? ? lim ? 0. n?? n n?? n n?? n n n
2

3

[专家把脉] 无穷数列的和的极限不能求极限的和。 [对症下药] lim
(1 ? n)n 2n
2 n??

? lim

n??

n ?1 1 ? . 2n 2

3. (典型例题)已知数列{log2(an-1)}(n∈N*) 为等差数列,且 a1=3,a2=5,则
n ??

lim (

1 1 1 ? ??? )= a2 ? a1 a3 ? a2 an ?1 ? an

( ) D.
1 2

A.2

B.

3 2

C.1

[考场错解] D ∵a1=3,a2=5. ∴log2(a1-1)=1.log2(a2-1)=2. ∴an-1=2n.an=2an+1. ∴

n ??

lim

1 an ?1 ? a .
1 1 1 1 1 ? ? ?? )? ? a2 ? a1 a3 ? a2 an?1an a2 ? a1 2

故 lim (
n??

[专家把脉] 无限项数列和的极限应变成有限项数列的极限,不能求极限的和。 [对症下药] C ∵a1=3,a2=5.∴log2(a1-1)=1,log2(a2-1)=2. ∴an-1=2n,an=2n+1.
1 1 1 ? ??? a2 ? 1 a3 ? a2 an ?1 ? an

∴?

1 22 ? 21

2n ?1 ? 2n 1 1 [1 ? ( ) n ] 1 1 1 2 ? ? 2 ??? n ? 2 1 2 2 2 1? 2 2 ? 22

?

1

???

1

∴ lim (
n ??

1 1 1 ? ??? ) a2 ? a1 a3 ? a2 an ?1 ? an

1 1 [1 ? ( ) n ] 2 2 = lim =1 1 n ?? 1? 2

4 (典型例题) 计算: lim

3n ?1 ? 2n 3n ? 2n ?1

n ??

=___________。

[考场错解]

n ??

lim

3n ?1 ? 2n 3n ? 2n ?1

2 3 ? ( )n 3 = lim =1 2 n ?? 1 ? 2 ? ( )n 3

[专家把脉]

n ??

2 lim ( )n ? 0 ,而不是 1。 3
3n ?1 ? 2n 3n ? 2n ?1
1 2 n ?( ) 3 3 =3 = lim 2 n ?? 1 ? ( ) n ?1 3 3 1?

[对症下药]

n ??

lim

-7-

5 (典型例题)已知 un=an-1b+an-2b2+?+abn-1+bn(n∈N*,a>0,b>0). (Ⅰ)当 a=b 时,求数列{un}的前项 n 项和 Sn。 (Ⅱ)求 lim
n ??

un 。 u n ?1
n 2 3 n-1 n

[ 考 场 错 解 ] ( Ⅰ ) 当 a+b 时 , rn=(n+1)a . ∴ Sn=2a+3a +4a + ? +na +(n+1)a . 则 2 3 4 n n+1 aSn=2a +3a +4a +?+na +(n+1)a .两式相减: Sn=
(n ? 1)a n ? 2 ? (n ? 2)a n ?1 ? a 2 ? 2a (1 ? a)2
n ??

(Ⅱ) lim

( n ? 1) a n un a(n ? 1) = lim = lim =a. n ?? u n ?1 n ?? ua n ?1 n

[专家把脉] (Ⅰ)问运用错位相减时忽视 a=1 的情况。 (Ⅱ)a=b 是(Ⅰ)的条件,当 a≠b 时,极限显然不一定是 a. [对症下药] (Ⅰ)当 a=b 时,un=(n+1)an.这时数列{un}的前 n 项和 2 3 n-1 n Sn=2a+3a +4a +?+na +(n+1)a .① 2 3 4 n n+1 ①式两边同乘以 a,得 aSn=2a +3a +4a +?+na +(n+1)a ② 2 3 n n+1 ①式减去②式,得(1-a)Sn=2a+a +a +?+a -(n+1)a 若 a≠1,(1-a)Sn=
a(1 ? a n )
2

a (1 ? a n ) -(n+1)an+1+a 1? a

Sn=

(1 ? a) ?

?

a ? (an ? 1)a n ?1 1? a (1 ? a)2

(n ? 1)a n ? 2 ? (n ? 2) n ?1 ? a 2 ? 2a

若 a=1,Sn=2+3+?+n+(n+1)=

n(n ? 3) 2
n ??

(Ⅱ)由(Ⅰ) ,当 a=b 时,un=(n+1)an,则 lim
n n-1 n-1 n n

( n ? 1) a n un a(n ? 1) = lim = lim =a. n ? 1 n ? ? n ? ? u n ?1 n ua

当 a≠b 时,un=a +a b+?+ab +b =a [1+ ? ( )2 ? ? ? ( )n ]
b 1 ? ( )n ?1 1 u a n ?1 ? b n ?1 a =a ? (a n ?1 ? b n ?1)此时, n ? . b a?b un ?1 a n ? bn 1? a
n

b a

b a

b a

b a ? b( ) n a n ?1 ? bn ?1 un a ? a. 或 a>b>0, lim = lim = lim b n n ?? u n ?1 n ?? n ?? a n ? bn 1? ( ) a a a( )n ? b un b ? b. 若 b>a>0, lim = lim a n ?? u n ?1 n ?? ( )n ? 1 b

专家会诊 1.充分运用数列的极限的四则运算及几个重要极限① lim C=C.(C 为常数). ② lim
n ?? n ??

1 =0. n

③ lim qn=0,|q|<1.
n ??

-8-

2.对于

? 型的数列极限,分子分母同除以最大数的最高次项,然后分别求极限。 ?

3.运算法则中各个极限都应存在,都可推广到任意有限个极限的情况,不能推广到无限 个。 考场思维训练 1 若 q 为二项式( ?
x 2 1
3

x

) 的展开式的常数项,则 lim
7n ? 1 7
n ?1

8

qn ? 1 q n ?1 ? 1

n ??

=___________.

答案:1/7 解析:可求得 q=7, lim 2 已知点 A(0,

n ??

?1

?

1 . 7

2 2 2 ) 、B(0,- ) 、C(4+ ,0)其中 n 为正整数,设 Sn 为三角形 ABC 外接 n n n

圆的面积,则 lim Sn=_________.
n ??

答案:4π Rn=
1 2n ? n
2

解 析 ; 设 外 接 圆 的 半 径 为 Rn, 则 (

2 2 2 2 2 ) + ( 4+ -Rn ) =Rn , ∴ n n

?

1 ? 2所以 lim Rn ? 2, 所以 lim Sn ? 4? n?? n?? n

3 已知等比数列{xn}的各项为不等于 1 的正数,数到{yn}满足 yn=2logaxn(a>0,a≠1),设 y4=17,y7=11. (1)求数列{yn}的前多少项最大,最大为多少? 答案:由已知得,数列为关数列,y4=17,y7=11, ∴公差 d=
11 ? 17 ? ?2,? yn ? y4 ? (n ? 4)d ? 25 ? 2n,?当 1 ? n ? 12时, yn ? 0,当n ? 13时, yn ? 0,? 数列 { yn} 的 3

前 12 项最大,最大为 144. (2)设 bn=2yn,sn=b1+b2+?+bn,求 lim
sn 225
n ??

的值。

答案: ∵bn=2yn,Sn=b1+b2+?bn, ∴{bn}为等比数列.
1 4
S1 2 23 2 25 ? ? 3 1? q 3 4

且公比为 q= ,∴ lim Sn=
n ??

∴ lim

Sn 2
25

n ??

1 ? . 3
2 n-1 1 2 n

4 设 an=1+q+q +?+q (n∈N+,q≠±),An=C na1+C na+?+C nan (1)用 q 和 n 表示 An; 答案:∵q≠1, ∴an=
1 ? qn 1? q

-9-

? An ? ?

1 ? q 1 1 ? q2 2 1 ? qn n Cn ? Cn ? ? ? Cn 1? q 1? q 1? q

1 2 n 1 2 2 n n [(C1 n ? Cn ? ? ? Cn ) ? ( qCn ? q Cn ? ? ? q Cn )] 1? q 1 0 n 0 1 2 2 n n ? [(Cn ? C1 n ? ? ? Cn ) ? (Cn ? qCn ? q Cn ? ? q Cn )] 1? q 1 ? [2n ? (1 ? q) n ]( q ? 1) 1? q

(2)当-3<q<1 时,求 lim

An 的值; 2n

答案:

An 1 1? q n ? [1 ? ( ) ],? ?3 ? q ? 1, 2n 1 ? q 2

∴|

1? q |<1, 2
x ??

∴ lim

An 1 = 2n 1 ? q

命题角度 3 函数的极限 1. (典型例题)若 lim (
x ?1

a b )=1,则常数 a,b 的值为 ? 1 ? x 1 ? x2

( )

A.a=-2,b=4 C.a=-1,b=-4 [考场错解] A ∵ lim
x ?1

B.a=2,b=-4 D.a=2,b=4
a(1 ? x) ? b 1? x
2

= lim

x ?1

ax ? a ? b ? 1. 故能约去(1-x), ∴a=-2,b=4. (1 ? x)(1 ? x)

[专家把脉] (ax+a-b)中有在式(1-x)的求解中,注意 a、b 的符号。 [对症下药] C ∵ lim
a(1 ? x) ? b 1? x
2
x ?1

= lim

x ?1

ax ? a ? b ? 1. (1 ? x)(1 ? x)

故 ax+a-b 中必有因式(1-x) ,且极限为 1。故 a=-2,b=-4. 2. (典型例题)若 lim A.-1 C.1 2
x ?1

x ?1 f ( x ? 1) ? ? 1, 则 lim x ?1 f (2 ? 2 x) x ?1

( )

B.1 D.
1 2
x ?1 x ?1 1 f ( x ? 1) ? lim ? . ? 1, 则 lim x ?1 f (2 ? 2 x) x ?1 f [2( x ? 1)] 2 x ?1

[考场错解] D lim

x ?1

[考场把脉] 错误理解极限存在的条件。函数 f(x)中必有因式(x-1) 。 [对症下药] C∵ lim ∴f(x)=x. ∴ lim
x ?1

f ( x ? 1) ? 1, 故 f(x-1)=x-1. x ?1 x ?1 1 ?? . 2 ? 2x 2
1 x 2 ? 3x ? 2 ? 2 x2 ? 4 x ? 3

x ?1

3. (典型例题) lim (
x ?1

)=

( ) D.
1 6

A.-

1 2

B.

1 2

C.-

1 6

- 10 -

[考场错解] B 原式= lim

x ?1

1? x 1 1 = lim ? . x ? 1 ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) ( x ? 2)( x ? 3) 2

[专家把脉] 在运算中注意符号的变化。 [对症下药] A lim
x ?1

x ? 3 ? 2( x ? 2) 1? x ?1 1 = lim = lim ?? . ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) x ?1 ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) x ?1 ( x ? 2)( x ? 3) 2

4. (典型例题) lim A.1 6

x?3 ?9

x ??3 x 2

=

( ) C.
1 6

B.0

D. =0。

1 3

[考场错解] B 当 x→-3,x+3=0,故 lim

x?3 ?9

x ??3 x 2

[专家把脉] 求函数极限时,分母为 0 的因式应约去才可代入。 [对诊下药]A lim
1 1 ?? x??3 x ? 3 6

专家会诊 1. 求函数的极限时, 如果 x→x0 即 x0 是连续的点。 即使函数 f(x)有意义的点, 只需求 f(x0)的值。 就是函数的极限值。 2.当 f(x)在 x0 处不连续时,即 x=x0 代入后使式子 f(x)无意义,应考虑约去此因式,使之有意 义时再求 f(x0)的值,即为极限值。 3.已知函数的极限,求出函数中的系数时,应满足两个条件,即存在性与极限值同时考虑。 考场思维训练 1 设 f(x)在 x0 处可导,f(x0)=0 则 lim nf(x0n ? ??

1 )=___________. n

答案:-f’(x0) 解析: lim nf ( x0 ? )
n???

1 n

1 f ( x0 ? ) ? f ( x0 ) n = ? lim ? ? f ' ( x0 ). 1 x ??? ? n

2 lim A.
1 2

x2 ? 1 ? x ?1

n ?1 2 x 2

?

( C.0

) D.2

B.

2 3

答案: B.解析:略 3 已知 lim
x 2 ? cx ? 2 b 2 =a,且函数 y=aln x+ +c 在[1,e]上存在反函数,则 x ?2 x?2 x

( )

A.b∈(-∞,0) B.b∈(2e,+∞) C.b∈(-∞,0) ∪(2e,+∞) D.b∈(0,2e) 答案: C.解析:略 4 设 f(x)是 x 的三次多项式,已知 lim
x?2a

f ( x) f ( x) f ( x) = lim =1,试求 lim 的值。 (a 为非零常 x?3a x ? 3a x ? 2a x?4a x ? 4a

- 11 -

数). 答案:解:由于 lim 同理 f(4a)=0
f ( x) ? 1, 可知 f(2a)=0 x ? 2a

x? 2a





①②可知 f(x)必含有(x-2a)与(x-4a)有因式, 由于 f(x)是 x 的三次多项式,故可设 f(x)=A(x-2a)(x-4a)(x-C), 这里 A、C 均为选定的常数,由
x?2a

lim

f ( x) ? 1, x ? 2a

即 ③

x?2a

lim

A( x ? 2a)( x ? 4a)( x ? C) ? lim A( x ? 4a)( x ? C) ? 1, 得(2a ? 4a)(2a ? C) ? 1, x?2a x ? 2a



4a2A-2aCA=-1 同理,由于 lim

x?4a

f ( x) ? 1, 得A(4a ? 2a)(4a ? C) ? 1, x ? 4a

即 8a2A-2Aca=1 由③④得 C=3a,A= ∴ lim
1 2a


,因而f ( x) ? 1 2a2 ( x ? 2a)( x ? 4a)( x ? 3a),

2

x?3a

f ( x) 1 1 1 ? lim ( x ? 2a)( x ? 4a) ? 2 ? a ? (?a) ? ? x ? 3a x?3a 2a2 2 2a

命题角度 4 函数的连续性 1. (典型例题)极限 lim f(x)存在是函数 f(x)在点 x=x0 处连续的
x ? x0

( )

A.充分而不必要的条件 B.必要而不充分的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 [考场错解] C lim f(x)存在 ? f(x)在点 x=x0 处连续。
x ? x0

[专家把脉] lim f(x)≠f(x0)时,则 f(x)在点 x=x0 处不连续。
x ? x0

[对症下药] B ∵ lim f(x)不一定等于函数值 f(x0),而 f(x)在点 x=x0 处连续。则有
x ? x0

x ? x0

lim f(x)=f(x0)

2. (典型例题)已知函数 f(x)= lim

xn

n ?? 4 ? x n

,试判别 f(x)在定义域内是否连续,若不连续,求

出其不连续点。 [考场错解] ∵4-nx≠0, ∴xn≠4,x≠-2. ∴f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞) 。 当 x=0 时,f(x)=0,f(0)=0.故连续。故函数 f(x)在定义域内连续。

- 12 -

[专家把脉] 错把函数 f(x)= lim

xn x
n

n ?? 4 ?

当作函数 f(x)=
xn

xn 4 ? xn

.

[对症下药] (1)当|x|<1 时,f(x)= lim (2)当 x=-1 时,f(x)= lim (3)当 x>1 时,f(x)= lim (4)当 x=1 时 f(x)= lim
?0 ? ?1 ? f ( x) ? ? ?3 ? ?? 1

n ?? 4 ? x n

=0;

xn xn

n ?? 4 ? x n

不存在;
1 3

n ?? 4 ? x n

= .

xn

n ?? 4 ? x n

=-1。

?1 ? x ? 1 x ?1 x ? ?1或x ? 1

∴f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞) 。 而在定域内,x=1 时。
x ?1?

lim f(x)=0.

x ?1?

lim f(x)=-1. ∴ lim f(x)不存在。 ?
x ?1

故 f(x)在 x=1 处不连续。∴f(x)在定义域内不连续。 专家会诊 1.在判断函数的连续性时,充分运用它的重要条件,即 lim f(x)=f(x0).前提是 f(x)在 x0 处
x ? x0

的极限要存在。 2.在求函数的不连续点时,或不连续区间。首先是定义之外的点或区域一定不连续。往往只 须考虑定义域内的不连续部分。 考场思维训练 1 f(x)在 x=1 处连续,且 lim A.-1 B.0 C.1
x ?1

f ( x) =2,则 f(1)等于 x ?1

( )

D.2

答案: B.解析:略 2 lim
x ?1

x 2 ? ln(2 ? x) =____________. 4 arctan x

答案: ∴ lim

1

?

解析:利用函数的连续性,即 lim f ( x) ? f ( x0 ),
x ? x0

x2 ? sin(2 ? x) 12 ? sin(2 ? 1) 1 ? ? x ? x1 4 arctan l 4 arctan 1 ?
0 ? x ?1 x ?1 1? x ? 2 则f ( x)的连续区间为 ( )

?x ? ?1 3 设 f(x)= ? ?2 ? ?1

A. (0,2) C. (0,1)∪(1,2)

B. (0,1) D. (1,2)

- 13 -

答案: C.解析: lim f ( x) ? lim1 ? 1
x ?1? x ?1?

x ?1?

lim f ( x) ? lim ? 1,
x ?1?

x ?1

lim f ( x) ? 1 ? f (1) ?

1 2

即 f(x)D x=1 点不连续,显知 f(x)在(0,1)和(1,2)连续。 4 求函数 f(x)= ?
?x ? 1 ?log2 ( x ? 2 ) ? ( x ? 1) ( x ? 1)

的不连续点和连续区间

答案:解:不连续点是 x=1,连续区间是(-∞,1)∪(1 +∞) . 探究开放题预测 预测角度 1 数学归纳法在数列中的应用 1.已知数列{an}满足条件(n-1)an+1=(n+1)(an-1)且 a2=6,设 bn=an+n(n∈N*), (1)求{bn}的通项公式; (2)求 lim (
n ??

1 1 1 1 )的值。 ? ? ? ?? b 2 ? 2 b3 ? 2 b4 ? 2 bn ? 2

[解题思路] (1)运用归纳—猜想—证明。 (2)裂项法先求数列的和,再求和的极限。 [解答] 1.(1)当 n=1 时,代入已知式子中,得 a1=1,当 n=2 时,得 a3=6,同理可得 a4=28,再代 入 bn=an+n,得 b1=2,b2=8,b3=18, ∴猜想 bn=2n2,用数学归纳法证明:1°当 n=1 时,b1=a1+1=2.显 然成立。n=2 时,.结论成立。2°假设 n=k(k≥2)时命题成立,即 bk=2k2,即 ak+k=2k2,ak=2k2-k,则 n=k+1 时, bk+1=ak+1+k+1=
k ?1 k ?1 (2k2-k-1)+k+1=(k+1)(2k+1)+(k+1)=(k+1)(2k+2)=2(k+1)2 (ak ? 1) +k+1= k ?1 k ?1

∴当 n=k+1 时,结论成立。 由 1°、2°可知 bn=2n2. (2)原式= lim ( ?
n ??

1 6

1 1 ) ??? 2 16 2n ? 2

n ??

lim

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 lim [ (1 ? ? ? ? ? ? ? ? [ ? ?? ]? ? )] ? 2 1? 3 2 ? 4 (n ? 1)(n ? 1) 2 n ?? 2 3 2 4 3 5 n ?1 n ? 1 4

n ??

lim (1 ?

1 1 1 3 ? ? )? . 2 n n ?1 8
n , 证明:对所有正整数 k 有 m

2.设函数 f(x)对所有的有理数 m、n 都有|f(m+n)-f(m)| ≤

?
i ?1

k

|f(2k)-f(2 )| ≤

i

k (k ? 1) . 2

[解题思路] 运用数学归纳法证明。 [解答] 1°当 k=1 时, 左=0=右, 命题成立。 2°假设 k=n 时, 不等式成立, 即

?
i ?1

n

|f(2 )-f(2 )|

k

i

- 14 -



n(n ? 1) , 则 k=n+1 时, 2

?
i ?1

n ?1

|f(2 )-f(2 )|=

k+1

i

?
i ?1
i

n ?1

|f(2 )-f(2 )+f(2 )-f(2 )| ≤

k+1

i

n

i

?
i ?1

n ?1

|f(2 )-f(2 )|+

k+1

i

n(n ? 1) ,= 2

?
i ?1

n

|f(2 +2 )-f(2 )|+

k

n

n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1) =n+ = . 2 2 2

故当 k=n+1 时,命题也成立。 由 1°,2°可知原不等式成立。 预测角度 2 数列的极限 1.已知(x x ?
1 15 6 ) 的展开式的第五项等于 ,则 lim (x-1+x-2+?+x-n)等于 n ?? x 2

A.0 B.1 C.2 D.-1 [ 解题思路] 利用二项式的通项公式求出 x 的值,再求数列和的极限。
3

[解答] B T5=C46(x-1)4( x 2 )2=15x-1=

15 2

1 1 1 1 1 1 -1 -2 -n ∴x = ,∴lim(x +x +?+x )=lim( ? ? ? ? ? n )= 2 ? 1 . 1 2 4 8 2 2 1? 2
-1

∴选 B 2.设 xn= n ( n ? 1 ? n ) ,求数列{xn}的极限。 [解题思路] 由于 n , n ? 1) 的极限都不存在,所以应先将 xn 变形,使之变成极限可求的数列。 [解答] 因为 xn= n ( n ? 1 ? n ) = n xn=
1? 1 1 ?1 n

( n ? 1 ? n )( n ? 1 ? n ) n ?1 ? n

?

n n ?1 ? n

用 n 除分子和分母,得

,而 1< 1 ?

1 1 ? 1? , n n

由 1+

1 1 ? 1 得知 1 ? ? 1(n ? ?), 再应用除法运算,即求得 lim xn= lim n ?? n ?? n n
a n ?1 ? bn ?1 a n ? bn

1 1 1? ?1 n

?

1 . 2

*3.已知 a、b 是不相等的正数,若 lim A.0<b≤2 C.b≥2 B.0<b<2 D.b>2

n ??

=2,则 b 的取值范围是

( )

[解题思路] B 讨论 a 与 b 的大小后,分子、分母同除以 an?1或bn?1 ,后再求由极限值求范围。 [解答] 当 a>b 时, lim
a a ?1 ? b n ?1 a n ? bn
b 1 ? ( ) n ?1 a ? a ? 2. ? lim 1 b n n ?? 1 ? ?( ) a a a

n ??

∴0<b<2.

- 15 -

当 a<b 时, lim

a a ?1 ? b n ?1 a n ? bn

n ??

a ( ) n ?1 ? 1 b =-b<0 不可能为 2,故 a<b 不成立。 ? lim a 1 n ?? 1 ? ( )n ? b b b

∴b 的范围是(0,2) 。故选 B 预测角度 3 函数的极限 1. lim
sin3 x ? 2 sin x ? 1 ? lim (sin 2 x ? sin x ? 1) ? 1 ? ? sin x ? 1 n? n?
2 2

2.求 lim

n ?4

x ?2 . x?4
( x ? 2)( x ? 2) x?4 x ?2 = lim ? lim ? x ?4 ( x ? 4)( x ? 2) x ?4 ( x ? 4)( x ? 2) x?4

[解题思路] 将分子有理化,使分子分母极限存在。 [解答] lim ?
x ?4

1 x ?2

?

1 。 4

预测角度 4 函数的连续性 1.函数 f(x)在 x0 处有定义是 lim (fx)存在的 (
x ? x0



A.充分不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解题思路] 利用极限在某点存在性判断 [解答] D ∵函数在 x0 处有定义,但在此点处极限不一定存在,反之 也不一定,如图(1) (2) 。 2.设 f(x)= ? ?
?1 ? 1 ? x ( x ? 0) 当 a 取何值时,函数 f(x)是连续的? x ?a ? bx( x ? 0) ?
x ? x0

[解题思路] 利用连续的存在性的充要条件,即 lim (x)=f(x0),以及连续的定义。 [解答] ∵x<0 连续,x>0 连续,只须判断,当 x=0 时,函数也连续时,从而求 a 的值。 ∵f(x)在 x=0 处有定义,且 lim? f(x)=
x?0

1 2

x?0?

lim f(x)=a.

∴只有当 a= 时。 lim f(x)才存在,且值为 。
x ? x0

1 2

1 2

又∵f(0)=a

∴当 a= 时。f(x)是连续函数。

1 2

专家会诊 1.深刻理解函数 f(x)在 x0 处连续的概念,即函数 f(x)在 x0 处有定义。f(x)在 x0 处有极限。
x ? x0

lim f(x)=f(x0).函数 f(x)在 x0 处连续反映在图像上是 f(x)在 x0 处是不间断的。

2.由连续的定义,可以得到计算极限的一种方法:如果 f(x)在定义区间内是连续的,则 lim

x ? x0

- 16 -

f(x)=f(x0),只要求出函数值 f(x0)即可。 考点高分解题综合训练 1 已知 f(n)=(2n+7)?3n+9,存在自然数 m,使得对任意 n∈N,都能使 m 整除 f(n),则最大的 m 的 值为 ( ) A.30 B.26 C.36 D.6 答案: C.解析:∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36∴f(1)、f(2)、f(3)能被 36 整 除,猜想 f(n)能被 36 整流器除。 证明:n=1、2 时,由上得证,设 n=k(kl≥2)时,f(k)=(2k+7)·3 +9 能被 36 整除,则 n=k+1 k+1 k 时,f(k+1)-f(k)=(2k+9)·3 -(2k+7)·3 =(6k+27)·3 -(2k+7)·3 =(4k+20)·3 =36(k+5)·3 (k≥2) ? f (k ? 1) 能被 36 整除 ∵f(1)不能被大于 36 的数整除,∴,所求最大的 m 的值等于 36. 2 记二项式(1+2x)n 展开式的各系数和为 an,其二项系数为 b,则 lim A.1 B.-1 C.0 D. 不存在
n?? bn
k k k k-2 k

bn ? an 等于 ? an

( )

2 ( )n ? 1 bn ? an 2n ? 3n 答案: B 解析:an=3 ,bn=2 , ∴ lim ? lim n ? lim 3 ? ?1, 所以选B. n ?? bn ? an n ?? 2 ? 3n n ?? 2 n ( ) ?1 3
n n

3 ( x x ? )6 的展开式中的第五项是 A.1 B.
1 2

1 x

15 , Sn ? x?1 ? x?2 ? ? ? x?n ,则 lim Sn 等于 n ?? 2

( )

C.

1 4

D.

1 6

答案: A 解析:略 4 已知 a、b∈R,|a|>|b|,又 lim A.a>1 B.1-<a<1 答案: B 解析:略 5 若 f(x)= A.
3 2
1? x ?1
3

a n ?1 ? bn a
n

n ??

? lim

a n ?1 ? b n an

n ??

,则 a 的取值范围是

( )

C.|a|>1

D.-1<a<0 或 a>1

1? x ?1

在点 x=0 处连续,则 f(0)等于 ( C.1
?

)

B.

2 3

D.0

( 1 ? x ? 1)( 1 ? x ? 1)[3 (1 ? x) 2 ? 3 1 ? x ? 1] ( 1 ? x ? 1)[3 (1 ? x) 2 ? 3 1 ? x ? 1][3 x ? 1 ? 1] (3 1 ? x ) 2 ? 3 1 ? x ? 1

答案: A 解析:略 f(x) ?

1? x ?1 1?1?1 3 f (0) ? ? 1?1 2

6 观察下列式子: 1 ? ? ,1 ?

1 2

3 2

1 22

?

1 32

5 1 1 1 7 ?则可归纳出_________. ? ,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 4 2 3 4

- 17 -

答案::1+

3 1 2 ?1 ? 1 ? 即1 ? ? 2 2 1?1 2 (1 ? 1) 1
2

1?

1 2
2

?

1 3
2

???
? 1 3
2

1 (n ? 1)
???
2

?

1 (2 ? 1)
1
2

2

?

2? 2 ?1 2 ?1

归纳为 1+ 7 lim
x?

1 2
2

(n ? 1)

?

* 2n ? 1 (n ? N ) n ?1

?

1 ? sin x =____________. cos x

2

答案:0 解析:略 8 an 是 (3- x ) n 的展开式中 x 项的系数 (n=2, 3, 4, ?) 则 lim(
n ??

32 a
2

?

33 a
3

???

3n an

) =________。

答案:18 解析:略 9 lim (
n ??

n2 ? 1 +an+b)=3 则 a+b=__________. n ?1

答案:3 解析:略 10 已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+?+b10=145 (1)求数列{an}的通项公式 bn; 答案:解:设数列为{bn}的公差为 d 由题意知
?b1 ? 1 ?b1 ? 1 ? ?? ,? bn ? 3n ? 2 ? 10(10 ? 1) d ? 145 ?d ? 3 ?10b1 ? 2 ?

(2)设数列{an}的通项 an=loga(1+
1 3

1 )(其中 a>0 且 a≠1)记 Sn 是数列{an}的前 n 项和,试比较 Sn bn

与 logabn+1 的大小,并证明你的结论。 答案:证明:由 bn=3n-2 知 Sn=loga(1+1)+loga(1+ )+?+loga(1+
1 4
1 ) 3n ? 2

=loga[(1+1)(1+ )?(1+

1 4

1 )] 3n ? 2

而 loga bn?1 ? log a 3 3n ? 1, 于是比较Sn与 log a bn?1的大小 ? 比较(1 ? 1)(1 ? )?(1 ?

1 3

1 3

1 4

1 )与3 3n ? 1的大小 . 3n ? 2

取 n=1,有(1+1)= 3 8 ? 3 4 ? 3 3 ? 1 ? 1

取 n=2,有(1+1) (1+ )> 3 8 ? 3 7 ? 3 3 ? 2 ? 1

1 4

- 18 -

推测: (1+1) (1+ )?()1+

1 4

1 ? 3 3n ? 1(*) 3n ? 2

①当 n=1 时,已验证(*)式成立. ②假设 n=k(k≥1 时(*)式成立,即(1+1) (1+ )?(1+
1 4 1 ? 3 3k ? 1 ) 3k ? 2

则当 n=k+1 时, (1+1) (1+ )?(1+

1 4

1 1 1 )(1 ? ) ? 3 3k ? 1(1 ? ) 3k ? 2 3(k ? 1) ? 2 3k ? 1

=

3k ? 2 3 3k ? 1 3k ? 1
3k ? 2 3 ? 3k ? 1 )3 ? (3 3k ? 4 )3 3k ? 1 (3k ? 1)
2

(

(3k ? 2)3 ? (3k ? 4)(3k ? 1) 2

?

9k ? 1 (3k ? 1) 2

?0


?= 3k ? 1 (3k ? 2) ? 3 3k ? 4 ? 3 3( k ? 1) ? 1 3k ? 1 1 1 1 从而(1 ? 1)(1 ? )?(1 ? )(1 ? ) ? 3 3(k ? 1) ? 1, 4 3k ? 2 3k ? 1
3

即当 n=k+1 时, (*)式成立由①②知, (*)式任意正整数 n 都成立. 于是,当 a>1 时,Sn> logabn+1,当 0<a<1 时,Sn< logabn+1 11 已知函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),若数列:2,f(a1),f(2),?,f(an),2n+4(n∈N*)成等差数列。 (1)求数列{an}的通项 an; 答案:2n+4=2+(n+2-1)d, ∴d=2, ∴f(an)=2+(n+1-1)· 2=2n+2, ∴an=a2n+2 (2)若 0<a<1,数列{an}的前 n 项和为 Sn,求 lim Sn;
n ??

1 3

1 3

答案: lim Sn ? lim
m ??

a 4 (1 ? a 2n) 1? a
2

2

m ??

?

a4 1 ? a2

.

(3)若 a=2,令 bn=an?f(an),对任意 n∈N*,都有 bn>f-1(t),求实数 t 的取值范围。 答案: bn=an·f(an)=(2n+2)a =(n+1)·2
2n+3 2n+2

=(2n+2)·2

2n+2

·

bn ? 1 n ? 2 ? ? 4 ? 1 ? bn ? 1 ? bn . bn n ?1

∴{bn}为递增数列 ∴bn 中最小的项为 b1=2·2 =2 f-1(t)2t, ∴26>2t, ∴t<6
5 6

12 设实数 q 满足|q|<1,数列{an}满足: a1=2,a2≠0,an? an+1=-q ,求 an 表达式, 又如果 lim S2n<3,
n ??

n

求 q 的取值范围。

- 19 -

答案:解:∵a1?a2=-q,a1=2,a2≠0, ∴q≠0,a2=- , ∵anan+1=-q ,an+1·a =q·an 于是,a1=2,a3=2·q,a =2·q ?猜想: a2n+1=- qn(n ? 1,2,3,?) 综合①②,猜想通项公式为
?2 ? qk ? 1n2k ? 1时(k ? N ) ? an ? 1 ?? qkn ? 2k时(k ? N ) ? 2
nn n+2

9 2

1 2

下证: (1)当 n=1,2 时猜想成立 (2)设 n=2k-1 时,a2k-1=2·q 则 n=2k+1 时,由于 a2k+1=q·a2k-1 ∴a2k+1=2·q 即 n=2k-1 成立. 可推知 n=2k+1 也成立. 设 n=2k 时,a2k=- q ,则 n=2k+2 时,由于 a2k+2=q·a2k,所以,a2k+2=- q +1,这说明 n=2k 成立, 可推知 n=2k+2 也成立. 综合所述,对一切自然数 n,猜想都成立. 这样所求通项公式为
?2 ? qk ? 1当n ? 2k ? 1时(k ? N ) ? an ? 1 ?? qkn当n ? 2k时(k ? N ) ? 2
k k-1

1 2

k

1 2

k

S2n=(a1+a3?a2n-1)+(a2+a4+?+a2n) =2(1+q+q2+?+qn-1)- (q+q2+?+qn)
2(1 ? qn) 1 q(1 ? qn) 1 ? 9n 4 ? q ? ? )?( )( ) 1? q 2 (1 ? q) 1? 2 1 ? qn 4 ? q )( ) 1? q 2

1 2

=

由于|q|<1, ∴ lim qn ? 0, 故 lim S2n ? (
n?? n??

- 20 -

依题意知

4?q 2 ? 3 ,并注意 1-q>0,|q|<1 解得-1<q<0 或 0<q< 2(1 ? q) 5

13 若 Sn 和 Tn 分别表示数列{an}和{bn}的前 n 项和,对任意正整数 an=-2(n+1),Tn-3S=4n. (Ⅰ)求数列{bn}的通项公式; 答案:∵an=-2(n+1) ∴a1=4 d=-2 Sn=-n -3n ∴Tn=3Sn+4n=-3n -5n 当 n=1 时,T1=b1=-3-5=-8 当 n≥2 时,bn=Tn -Tn-1=-6n-2 ∴bn=-6n-2. 2 (Ⅱ)在平面直角坐标系内,直线 ln 的斜率为 bn.且与曲线 y=x 有且仅一个交点,与 y 轴交于 Dn,记 dn= | Dn?1Dn | -(2n+7)求 dn;
1 3
2 2

答案:设 ln:y=bnx+m.由 ? ?

? y ? bn x ? m 2 得x ? bn x ? m ? 0由于仅有一个公共点 . 2 ? ?y ? x

2 ∴△= bn ? 4m ? 0. ? m ? ?
2

2 bn (6n ? 2)2 2 ?? ? ?(3n ? 1)2 ? ln : y ? (?6n ? 2) x ? (3n ? 1)2 , 令 x=0 得 y=-(3n+1) 4 4
2

∴ Dn(0,-3(n+1) )Dn+1 (0,-3,(n+4) ∴ | Dn Dn?1 |? [(3n ? 4)2 ? (3n ? 1)2 ] ? 6n ? 5 ∴dn= |DnDn+1|-(2n+7)=4n-2 (Ⅲ)若 xn=
2 2 dn ?1 ? d n (n∈N)求证 lim (x +x +?+x -n)=1. 1 2 n n ?? 2d n ?1d n 2 2 dn (d ? d n ) 2 2 1 1 ?1 ? d n ? n ?1 ? ?1 ? 1? ( ? ) 2dn d n ?1 2d n d n ?1 (2n ? 1)( 2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1

1 3

1 3

1 3

答案: xn=

∴x1+x2+?+xn-n=(1- ) ? ( ? ) ? ? ? (
n ??

1 3

1 3

1 5

1 1 1 ? ) ? 1? 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

lim ( x1 ? x2 ? ? xn ? n) ? 1

14 某学生在体育训练时弄伤了膝关节,医生给开了一些消炎药,并嘱咐每天早晚 8 点各服用 一片药片,已知该药品每征 220mg,他的贤脏每次 12 小时从体内滤出这种药的 60%,如果这种 药在体内残留超过 386mg,将产生副作用。 请问: (1)该同学上午 8 时第一次服药后,到第二天早晨服药后,药在体内还残留多少? 答案:设该生第 n 次服药后,药在体内的残留量为 anmg,由题意得 a1=220, 且 an+1=0.4an+220,n∈N* ∴a2=308,a3=343.2 故到第二天早晨服药后,药在体内还残留 343.2mg

- 21 -

(2)该同学若长期服用该药,会不会产生副作用? 答案:∵an+1=0.4an+220 ∴an+1∴{an ∴an 1100 1100 ? 0.4(an ? ) 3 3
1100 }是公比为 0.4 的等比数列, 3 1100 1100 =(220)×0.4n-1 3 3 1100 1100 )×0.4n-1+ 3 3

∴an=(220lim an ?

n??

1100 ? 386 3

故长期服用此药不会产生副作用, 15 已知点集 L={(x,y)|y=m?n},其中 m=(2x-b,1),n=(1,b+1),点列 Pn(an,bn)在 L 中,P1 为 L 与 y 轴的交点,等差数列{an}的公差为 1,n∈N+. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; 答案:由 ? ?m ? (2 x ? b,1), 得y ? 2 x ? 1
?n ? (1, b ? 1) ? ?y ? m ? n

∴L:y=2x+1, ∴P1(0,1),则 a1=0,b1=1, ∴an=n-1(n∈N+),b=2n-1(n∈N+) (2)若 Cn=
5 (n ? 2), 求 lim (c1+c2+?+cn); n ?? n? | p1 pn |

答案:当 n≥2 时,Pn(n-1,2n-1),|P1Pn|= 5 (n-1)
Cn ? 5 1 1 1 ? ? ? n|P P | n ( n ? 1 ) n ? 1 n 1 n

n ??

1 1 1 1 1 1 lim (c1 ? c2 ? ? ? cn ) ? lim (1 ? ) ? ( ? ) ? ?( ? )] ? lim (1 ? ) ? 1 n ?? n ?? 2 2 3 n ?1 n n

16 已知数列{an}中,a1=1,an+1= (an+

1 2

4 )(n∈N*),且{an}存在极限。 an

(1)证明:{an}时先增后减数列,并求 an 的最大值; 答案:证明:∵a1=1,a2= (a1+
? 当n ? 2 时an ?

1 2

4 5 )? ?0 a1 2

1 4 1 4 (an ?1 ? ) ? ? 2 an ?1 ? ? 2,当且仅当an ?1 ? 2时取等号 .但若存在某一个 n?N * 2 an ?1 2 an ?1 1 4 ( an ? 1 ? )( n ? 2) 2 an ?1

当n ? 2时有, 则由an ?

得 an=an-1=?=an=a1=2,这与条件矛盾,因此,an≠2 对 n∈N*恒成立. ∴当 n≥2 时,an>2. 又 n≥2 时, an-an+1=an- (an ?
1 2 4 1 4 1 1 2 ) ? (an ? ) ? (an ? 4) ? (22 ? 4) ? 0, an 2 an 2an 2an

- 22 -

∴a1,<a2,a2<a3>?an>an+1>?>2,即{an}是行列增后减数列, (an)max=a2= . (2)已知圆锥曲线 Cn 的方程为: 求曲线 C 的面积。
2 2 答案:由上可知, an ? an ?1, 所以圆锥曲线 Cn 为椭圆.

5 2

( x ? an )2
2 an

?

( y ? an ?1)
2 an ?1

? 1(n ? N *) 设 lim Cn=C,求曲线 C 的方程并
n ??

由于{an} 存在极限,所以可设 lim an ? A, 则 lim an ? 1 ? lim an ? A.
n ?? n ?1? n n ??

又由 an>0 得 A>0,从而 A= ( A ? ) ? A ? 2.即 lim an ? 2.
n??

1 2

4 A

由 此 可 得 曲 线
( x ? 2)2 2
2

C

的 方 程 即 是

n → ∞ 时 曲 线

Cn 的 方 程 为 :

?

( y ? 2)2 22

? 1,即为以(2,2)为圆心,2为半径的圆: ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 4, 从而圆C的面积为?R 2 ? 4? .

- 23 -


相关文章:
[原创]高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测14
函数的连续性 经典易错题会诊 命题角度 1 数学归纳法 1. (典型例题)已知 a>0,数列{an}满足 a1=a,an+1=a+ 1 ,n=1,2,?. an (Ⅰ)已知数列{an}极限...
[原创]高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测16
如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 [原创]高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测16 暂无评价|0人阅读|0...
高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测(下)
高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测(下)_数学_高中教育_教育专区。高中数学...14 极限 经典易错题会诊 命题角度 1 数学归纳法 命题角度 2 数列的极限 命题...
[原创]高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测15
利用导数求函数的极值勤最值 经典易错题会诊 命题角度 1 导数的概念与运算 1. (典型例题)设 f0(x)=sinx,f1(x)=f’0(x),f2(x)=f’1(x),?,fn+1(...
[原创]高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测13
高中数学经典易错题会诊... 15页 免费 【书稿】高中数学总复习... 236页 1...2 14 .同理P( B) ? . 3 15 ( 2 )由( 1 )知 A 与 B 相互独立,...
[原创]高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测12
[原创]高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测12_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 [原创]高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测12_...
[原创]高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测1
经典易错题会诊 命题角度 1 集合的概念与性质 2 1. (典型例题 )设全集 U=R,集合 M= {x|x> 1} , P={ x|x > 1 } ,则下列关系中正确的是 ( ) ...
[原创]高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测3
[原创]高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测3 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报...14 设 f(x)= 21 1? x ? lg (-1<x<1). 11x ? 12 1? x (1)...
[原创]高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测5
如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 [原创]高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测5 暂无评价|0人阅读|0次...
高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测(上)
高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测(上)_数学_高中教育_教育专区。经典易错...f ( x) ? f (14 ? x) 周期函数. 又 f(3)=f(1)=0,而 f(7)=f...
更多相关标签: