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2017版高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 分层限时跟踪练41


分层限时跟踪练(四十一)
(限时 40 分钟) [基 础 练] 扣教材 练双基 一、选择题 1.直线 l:xsin 30°+ycos 150°+1=0 的斜率是( A. 3 3 B. 3 C.- 3 D.- 3 3 )

sin 30° sin 30° 3 【解析】 斜率 k=- =- =tan 30°= . cos 150° -cos 30° 3 【答案】 A 2.若方程(2m +m-3)x+(m -m)y-4m+1=0 表示一条直线,则参数 m 满足的条件是 ( ) 3 A.m≠- 2 C.m≠0 且 m≠1 【解析】 得 m=1, 故 m≠1 时方程表示一条直线. 【答案】 D 3.在等腰三角形 AOB 中,AO=AB,点 O(0,0),A(1,3),点 B 在 x 轴的正半轴上,则直 线 AB 的方程为( ) B.y-1=-3(x-3) D.y-3=-3(x-1)
? ?2m +m-3=0, 由? 2 ?m -m=0, ?
2 2 2

B.m≠0 D.m≠1

A.y-1=3(x-3) C.y-3=3(x-1)

【解析】 ∵AO=AB,∴∠AOB=∠ABO,∴kAB=-kOA=-3. ∴直线 AB 的方程为 y-3=-3(x-1). 【答案】 D 4.直线 x+(a +1)y+1=0 的倾斜角的取值范围是(
2

)

? π? A.?0, ? 4? ? ? π ? ?π ? C.?0, ?∪? ,π ? 4? ?2 ? ?
【解析】 ∵直线的斜率 k=-
2

B.?

?3π ,π ? ? ? 4 ?

?π π ? ?3π ? D.? , ?∪? ,π ? ?4 2? ? 4 ?
1 ?3π ? ,∴-1≤k<0,则倾斜角的范围是? ,π ?. a +1 ? 4 ?

1

【答案】 B 5.经过点 P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的,且截距之和最小,则直线的方 程为( ) B.2x+y-6=0 D.x-2y-7=0

A.x+2y-6=0 C.x-2y+7=0

【解析】 法一 直线过 P(1,4),代入,排除 A、D,又在两坐标轴上的截距为正,排 除 C,故选 B.

x y 1 4 ?1 4? ?b 4a? 法二 设方程为 + =1, 将 P(1,4)代入得 + =1, a+b=(a+b)? + ?=5+? + ? a b a b

?a b?

?a

b?

≥9, 当且仅当 b=2a,即 a=3,b=6 时,截距之和最小, ∴直线方程为 + =1,即 2x+y-6=0. 3 6 【答案】 B 二、填空题

x y

?1 ? 6.若三点 A(2,3),B(3,2),C? ,m?共线,则实数 m=________. ?2 ?
2-3 m-3 【解析】 由题意得 kAB= =-1,kAC= , 3-2 1 -2 2

m-3 ∵A,B,C 三点共线,∴kAB=kAC,即 =-1, 1 -2 2
9 解得 m= . 2 【答案】 9 2

7.若直线 l 与直线 y=1,x=7 分别交于点 P,Q,且线段 PQ 的中点坐标为(1,-1), 则直线 l 的斜率为________. 【解析】 设 P(x,1),Q(7,y), 则

x+7
2

=1,

y+1
2

=-1,

∴x=-5,y=-3,即 P(-5,1),Q(7,-3), -3-1 1 故直线 l 的斜率 k= =- . 7+5 3 1 【答案】 - 3

2

8. (2015?沈阳联考)已知线段 PQ 两端点的坐标分别为 P(-1, 1)和 Q(2,2), 若直线 l:

x+my+m=0 与线段 PQ 有交点,则实数 m 的取值范围是______________.
【解析】 如图所示,

直线 l:x+my+m=0 过定点 A(0,-1), 当 m≠0 时,

kQA= ,kPA=-2,kl=- . 2 m
1 1 3 ∴- ≤-2 或- ≥ . m m 2 1 2 解得 0<m≤ 或- ≤m<0; 2 3 当 m=0 时,直线 l 的方程为 x=0,与线段 PQ 有交点. 2 1 ∴实数 m 的取值范围为- ≤m≤ . 3 2

3

1

? 2 1? 【答案】 ?- , ? ? 3 2?
三、解答题 9.已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3,分别求满足下列条件的直线 l 的 方程: (1)过定点 A(-3,4); 1 (2)斜率为 . 6 4 【解】 (1)设直线 l 的方程是 y=k(x+3)+4,它在 x 轴,y 轴上的截距分别是- -

k

3,3k+4,

? 4 ? 由已知,得(3k+4)?- -3?=±6, ? k ?
2 8 解得 k1=- 或 k2=- . 3 3 故直线 l 的方程为 2x+3y-6=0 或 8x+3y+12=0. (2)设直线 l 在 y 轴上的截距为 b,则直线 l 的方程是

3

y= x+b,它在 x 轴上的截距是-6b,
由已知,得|-6b?b|=6,∴b=±1. ∴直线 l 的方程为 x-6y+6=0 或 x-6y-6=0. 10.已知两点 A(-1,2),B(m,3). (1)求直线 AB 的方程; (2)已知实数 m∈?-

1 6

? ?

3 ? -1, 3-1?,求直线 AB 的倾斜角 α 的取值范围. 3 ?

【解】 (1)当 m=-1 时,直线 AB 的方程为 x=-1; 当 m≠-1 时,直线 AB 的方程为 y-2= π (2)①当 m=-1 时,α = ; 2 ②当 m≠-1 时, 1

m+1

(x+1).

m+1∈?-
∴k= 1

? ?

3 ? ,0?∪(0, 3], 3 ? ∈(-∞,- 3]∪?

m+1

? 3 ? ,+∞?, 3 ? ?

∴α ∈?

?π ,π ?∪?π ,2π ?. ? ? ? 3 ? ?6 2? ?2

? π 2π ? 综合①②知,直线 AB 的倾斜角 α ∈? , ?. 3 ? ?6
[能 力 练] 扫盲区 提素能 1.直线 ax+by+c=0 同时要经过第一、第二、第四象限,则 a,b,c 应满足( A.ab>0,bc<0 C.ab<0,bc>0 B.ab>0,bc>0 D.ab<0,bc<0 )

【解析】 直线 ax+by+c=0 可化为 y=- x- .

a b

c b

? ? 由题意可知,? ? ?
即?
?ab>0, ? ?bc<0. ?

- <0, - >0,

a b

c b

故选 A.

【答案】 A

4

π 2.(2015?哈尔滨模拟)函数 y=asin x-bcos x 的一条对称轴为 x= ,则直线 l:ax 4 -by+c=0 的倾斜角为( A.45° C.120° ) B.60° D.135°

π ?π ? 【解析】 由函数 y=f(x)=asin x-bcos x 的一条对称轴为 x= 知,f(0)=f? ?, 4 ?2? 即-b=a,∴直线 l 的斜率为-1,∴倾斜角为 135°. 【答案】 D 3. 已知 A(3,0), B(0,4), 动点 P(x, y)在线段 AB 上移动, 则 xy 的最大值等于________. 【解析】 线段 AB 的方程为 + =1(0≤x≤3), 3 4 4 4 2 ∴y=4- x,代入 xy 得 xy=- x +4x 3 3 4? 3?2 3 =- ?x- ? +3,∴由二次函数性质知,当 x= 时,xy 的最大值等于 3. 2 3? 2 ? 【答案】 3 4.(2015?南通一模)在平面直角坐标系 xOy 中,记曲线 y=2x- (m∈R,m≠-2)在 x =1 处的切线为直线 l.若直线 l 在两坐标轴上的截距之和为 12, 则 m 的值为______________. 【解析】 因为 y′=2+ 2,所以曲线 y=2x- (m∈R,m≠-2)在 x=1 处的切线斜率 为 2+m,又 x=1 时,y=2-m,所以切线 l 的方程为 y-(2-m)=(2+m)(x-1),即 y=(2 2m 2m +m)x-2m.令 x=0,得 y=-2m,令 y=0,得 x= ,则 -2m=12,解得 m=-3 或 2+m 2+m -4. 【答案】 -3 或-4 5.如图 8?1?4 所示,射线 OA,OB 分别与 x 轴正半轴成 45°和 30°角,过点 P(1,0)作 1 直线 AB 分别交 OA,OB 于 A,B 两点,当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y= x 上时,求直线 AB 2 的方程.

x y

m x

m x

m x

图 8?1?4
5

【解】 由题意,设 A(a,a),B( 3b,b), 则 C?

b-a ?a+ 3b a+b? , , ?,又直线 AB 斜率 k= 2 ? ? 2 3b-a b-a (x-a), 3b-a b-a (1-a), 3b-a


AB 方程为 y-a=

方程过点 P(1,0),则-a=

1 a+b 1 a+ 3b 又 C 在直线 y= x 上,∴ = ? , 2 2 2 2 由①②得,a=- 3,b=3+2 3, 3- 3 ∴k= , 2



AB 方程为(3- 3)x-2y+ 3-3=0.
6.直线 l 过点 P(1,4),分别交 x 轴的正方向和 y 轴的正方向于 A,B 两点. (1)当|PA|?|PB|最小时,求 l 的方程; (2)当|OA|+|OB|最小时,求 l 的方程. 【解】 依题意,l 的斜率存在,且斜率为负. 设 l:y-4=k(x-1)(k<0).

? 4 ? 令 y=0,可得 A?1- ,0?; ?
k

?

令 x=0,可得 B(0,4-k). (1)|PA|?|PB|=

?4?2+16? 1+k2 ?k? ? ? ?k ?

4 ?1 ? 2 =- (1+k )=-4? +k?≥8(注意 k<0).

k

1 ∴当且仅当 =k 且 k<0

k

即 k=-1 时, |PA|?|PB|取最小值. 这时 l 的方程为 x+y-5=0.

? 4? ? 4? (2)|OA|+|OB|=?1- ?+(4-k)=5-?k+ ?≥9. ?
k?

?

k?

4 ∴当且仅当 k= 且 k<0,即 k=-2 时,|OA|+|OB|取最小值.

k

这时 l 的方程为 2x+y-6=0.

6


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