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【创新设计】2015-2016学年高中数学 1.2.2同角三角函数的基本关系课时作业 新人教A版必修4


1.2.2

同角三角函数的基本关系

课时目标 1.理解同角三角函数的基本关系式.2.会运用平方关系和商的关系进行化简、 求 值和证明.

1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:____________________. π (2)商数关系:____________(α ≠kπ + ,k∈Z). 2 2.同角三角函数基本关系式的变形 2 2 (1)sin α +cos α =1 的变形公式: 2 2 sin α =________;cos α =________; 2 (sin α +cos α ) =____________________; 2 (sin α -cos α ) =________________; 2 2 (sin α +cos α ) +(sin α -cos α ) =______; sin α ·cos α =______________________=________________________. sin α (2)tan α = 的变形公式:sin α =________________;cos α =______________. cos α

一、选择题 2 4 2 2 1.化简 sin α +cos α +sin α cos α 的结果是( ) 1 1 3 A. B. C.1 D. 4 2 2 2 2 4 2.若 sin α +sin α =1,则 cos α +cos α 等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3 4 3.若 sin α = ,且 α 是第二象限角,则 tan α 的值等于( 5 4 3 3 4 A.- B. C.± D.± 3 4 4 3 1 1+2sin α cos α 4.已知 tan α =- ,则 的值是( ) 2 2 2 sin α -cos α 1 1 A. B.3 C.- D.-3 3 3 5 1 ,则 tan α + 的值为( 2 tan α A.-4 B.4 C.-8 D.8 6.若 cos α +2sin α =- 5,则 tan α 等于( ) 1 1 A. B.2 C.- D.-2 2 2 5.已知 sin α -cos α =- 二、填空题

)

)

5 7.已知 α 是第四象限角,tan α =- ,则 sin α =________. 12 2 2 8.已知 tan θ =2,则 sin θ +sin θ cos θ -2cos θ =________. 1 π π 9.已知 sin α cos α = 且 <α < ,则 cos α -sin α =____. 8 4 2
1

10. 若 sin θ =

k+1 k-1 , cos θ = , 且 θ 的终边不落在坐标轴上, 则 tan θ 的值为________. k-3 k-3

三、解答题 4 4 1-cos α -sin α 11.化简: . 6 6 1-cos α -sin α

1-2sin 2xcos 2x 1-tan 2x 12.求证: = . 2 2 cos 2x-sin 2x 1+tan 2x

能力提升 13.证明: 2 1-cos α sin α +cos α (1) - =sin α +cos α ; 2 sin α -cos α tan α -1 2 2 2 2 (2)(2-cos α )(2+tan α )=(1+2tan α )(2-sin α ).

14.已知 sin θ 、cos θ 是关于 x 的方程 x -ax+a=0 的两个根(a∈R). 3 3 (1)求 sin θ +cos θ 的值; 1 (2)求 tan θ + 的值. tan θ

2

2

1.同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律,它的精髓在 sin 8α 2 2 “同角”二字上,如 sin 2α +cos 2α =1, =tan 8α 等都成立,理由是式子中的 cos 8α 角为“同角”. 2. 已知角 α 的某一种三角函数值, 求角 α 的其余三角函数值时, 要注意公式的合理选择. 一 般是先选用平方关系,再用商数关系.在应用平方关系求 sin α 或 cos α 时,其正负号是 由角 α 所在象限来决定,切不可不加分析,凭想象乱写公式. 3.在进行三角函数式的求值时,细心观察题目的特征,灵活、恰当的选用公式,统一角、 统一函数、降低次数是三角函数关系变形的出发点.

1.2.2 知识梳理

同角三角函数的基本关系 答案

sin α 2 2 1.(1)sin α +cos α =1 (2)tan α = cos α 2 2 2.(1)1-cos α 1-sin α 1+2sin α cos α 1-2sin α cos α 2 2 2 ?sin α +cos α ? -1 1-?sin α -cos α ? sin α (2)cos α tan α 2 2 tan α 作业设计 1.C 2.B 3.A 1+2sin α cos α ?sin α +cos α ??sin α +cos α ? sin α +cos α 4. C [ = = = 2 2 sin α -cos α ?sin α +cos α ??sin α -cos α ? sin α -cos α 1 - +1 2 tan α +1 1 = =- .] tan α -1 1 3 - -1 2 1 sin α cos α 1 5.C [tan α + = + = . tan α cos α sin α sin α cos α 2 1-?sin α -cos α ? 1 1 ∵sin α cos α = =- ,∴tan α + =-8.] 2 8 tan α

?cos α +2sin α =- 5 6.B [方法一 由? 2 ?cos α +sin2α =1
+sin α =1. 2 化简得 5sin α +4 5sin α +4=0 2 5 2 ∴( 5sin α +2) =0,∴sin α =- . 5 ∴cos α =- 5-2sin α =- sin α ∴tan α = =2. cos α 方法二 ∵cos α +2sin α =- 5, 2 2 ∴cos α +4sin α cos α +4sin α =5, 5 . 5
2

联立消去 cos α 后得(- 5-2sin α )

2

3

cos α +4sin α cos α +4sin α ∴ =5, 2 2 cos α +sin α 2 1+4tan α +4tan α ∴ =5, 2 1+tan α 2 ∴tan α -4tan α +4=0, 2 ∴(tan α -2) =0,∴tan α =2.] 5 7.- 13 4 8. 5 2 2 sin θ +sin θ cos θ -2cos θ 2 2 解析 sin θ +sin θ cos θ -2cos θ = = 2 2 sin θ +cos θ 2 tan θ +tan θ -2 , 2 tan θ +1 4+2-2 4 又 tan θ =2,故原式= = . 4+1 5 9.- 3 2

2

2

3 2 解析 (cos α -sin α ) =1-2sin α cos α = , 4 π π 3 ∵ <α < ,∴cos α <sin α .∴cos α -sin α =- . 4 2 2 3 10. 4 ?k+1?2+?k-1?2=1, 2 2 解析 ∵sin θ +cos θ =? ? ? ? ?k-3? ?k-3? 2 ∴k +6k-7=0, ∴k1=1 或 k2=-7. 当 k=1 时,cos θ 不符合,舍去. 3 4 3 当 k=-7 时,sin θ = ,cos θ = ,tan θ = . 5 5 4 4 4 ?1-cos α ?-sin α 11.解 原式= 6 6 ?1-cos α ?-sin α 2 2 4 ?1-cos α ??1+cos α ?-sin α = 2 2 4 6 ?1-cos α ??1+cos α +cos α ?-sin α 2 2 4 sin α ?1+cos α ?-sin α = 2 2 4 6 sin α ?1+cos α +cos α ?-sin α 2 2 1+cos α -sin α = 2 4 4 1+cos α +cos α -sin α 2 2cos α = 2 2 2 2 2 1+cos α +?cos α +sin α ??cos α -sin α ? 2 2 2cos α 2cos α 2 = = = . 2 2 2 2 1+cos α +cos α -sin α 3cos α 3 2 2 cos 2x+sin 2x-2sin 2xcos 2x 12.证明 左边= 2 2 cos 2x-sin 2x 2 ?cos 2x-sin 2x? = ?cos 2x-sin 2x??cos 2x+sin 2x? cos 2x-sin 2x 1-tan 2x = = cos 2x+sin 2x 1+tan 2x
4

=右边. ∴原等式成立. sin α sin α +cos α 13.证明 (1)左边= - 2 sin α -cos α sin α -1 2 cos α 2 sin α sin α +cos α = - 2 2 sin α -cos α sin α -cos α 2 cos α 2 2 sin α cos α ?sin α +cos α ? = - 2 2 sin α -cos α sin α -cos α 2 2 sin α cos α = - sin α -cos α sin α -cos α 2 2 sin α -cos α = sin α -cos α =sin α +cos α =右边. ∴原式成立. 2 2 2 2 2 2 2 (2)∵左边=4+2tan α -2cos α -sin α =2+2tan α +2sin α -sin α =2+2tan α + 2 sin α , 2 2 2 2 2 2 2 右边=(1+2tan α )(1+cos α )=1+2tan α +cos α +2sin α =2+2tan α +sin α ∴左边=右边,∴原式成立. 14.解 (1)由韦达定理知: sin θ +cos θ =a,sin θ ·cos θ =a. 2 ∵(sin θ +cos θ ) =1+2sin θ cos θ , 2 ∴a =1+2a. 解得:a=1- 2或 a=1+ 2 ∵sin θ ≤1,cos θ ≤1, ∴sin θ cos θ ≤1,即 a≤1, ∴a=1+ 2舍去. 3 3 2 2 ∴sin θ +cos θ =(sin θ +cos θ )(sin θ -sin θ cos θ +cos θ )=(sin θ +cos θ )(1 -sin θ cos θ ) =a(1-a)= 2-2. 2 2 1 sin θ cos θ sin θ +cos θ 1 1 1 (2)tan θ + = + = = = = =-1 tan θ cos θ sin θ sin θ cos θ sin θ cos θ a 1- 2 - 2.
2

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