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角平分线与等腰三角形及答案


角平分线与等腰三角形
1. (2011?牡丹江)在△ ABC 中,∠ ACB=2∠ B,如图① ,当∠ C=90°,AD 为∠ BAC 的角平分线时,在 AB 上截 取 AE=AC,连接 DE,易证 AB=AC+CD. (1)如图② ,当∠ C≠90°,AD 为∠ BAC 的 角平分线时,线段 AB、AC、CD 又有 怎样的数量关系?不需要证明,请直接 写出你的猜想:

(2)如图③ ,当 AD 为△ ABC 的外角平 分线时,线段 AB、AC、CD 又有怎样 的数量关系?请写出你的猜想,并对你 的猜想给予证明.

2. (2010?西宁) (1)班同学上数学活动课,利用角尺平分一个角(如图所示) .设计了如下方案: (Ⅰ )∠ AOB 是一个任意角,将角尺的直角顶点 P 介于射线 OA、OB 之间,移动角尺使角尺两边相同的刻 度与 M、N 重合,即 PM=PN,过角尺顶点 P 的射线 OP 就是∠ AOB 的平分线. (Ⅱ )∠ AOB 是一个任意角,在边 OA、OB 上分别取 OM=ON,将角尺的直角顶点 P 介于射线 OA、 OB 之间, 移动角尺使角尺两边相同的刻度与 M、 N 重合, 即 PM=PN, 过角尺顶点 P 的射线 OP 就是∠ AOB 的平分线. (1)方案(Ⅰ ) 、方案(Ⅱ )是否可行?若可行,请证明;若不可行,请说明理由; (2)在方案(Ⅰ )PM=PN 的情况下,继续移动角尺,同时使 PM⊥ OA,PN⊥ OB.此方 案是否可行?请说明理由.

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3. (2007?福州) 如图, 直线 AC∥ BD, 连接 AB,直线 AC、BD 及线段 AB 把平面分成① 、② 、③ 、④ 四个部分,规 定:线上各点不属于任何部分.当动 点 P 落在某个部分时, 连接 PA, PB, 构成∠ PAC, ∠ APB, ∠ PBD 三个角. (提 示: 有公共端点的两条重合的射线所 组成的角是 0°角) (1)当动点 P 落在第① 部分时,求证:∠ APB=∠ PAC+∠ PBD; (2)当动点 P 落在第② 部分时,∠ APB=∠ PAC+∠ PBD 是否成立?(直接回答成立或不成立) (3)当动点 P 落在第③ 部分时,全面探究∠ PAC,∠ APB,∠ PBD 之间的关系,并写出动点 P 的具体位置和 相应的结论.选择其中一种结论加以证明.

4. (2013?房山区一模) (1)如图 1,△ ABC 和△ CDE 都是等边 三角形,且 B、C、D 三点共线,联结 AD、BE 相交于点 P, 求证:BE=AD. (2)如图 2,在△ BCD 中,∠ BCD<120°,分别以 BC、CD 和 BD 为边在△ BCD 外部作等边三角形 ABC、等边三角形 CDE 和等边三角形 BDF,联结 AD、BE 和 CF 交于点 P,下列结论 中正确的是 _________ (只填序号即可) ① AD=BE=CF;② ∠ BEC=∠ ADC;③ ∠ DPE=∠ EPC=∠ CPA=60°; (3)如图 2,在(2)的条件下,求证:PB+PC+PD=BE.

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5. (2012?岳阳) (1)操作发现:如图① ,D 是等边△ ABC 边 BA 上一动点(点 D 与点 B 不重合) ,连接 DC, 以 DC 为边在 BC 上方作等边△ DCF, 连接 AF. 你能发现线段 AF 与 BD 之间的数量关系吗?并证明你发现 的结论. (2)类比猜想:如图② ,当动点 D 运动至等边△ ABC 边 BA 的延长线上时,其他作法与(1)相同,猜想 AF 与 BD 在(1)中的结论是否仍然成立? (3)深入探究: Ⅰ .如图③ ,当动点 D 在等边△ ABC 边 BA 上运动时(点 D 与点 B 不重合)连接 DC,以 DC 为边在 BC 上 方、下方分别作等边△ DCF 和等边△ DCF′ ,连接 AF、BF′ ,探究 AF、BF′ 与 AB 有何数量关系?并证明你 探究的结论. Ⅱ .如图④ ,当动点 D 在等边△ 边 BA 的延长线上运动时,其他作法与图③ 相同,Ⅰ 中的结论是否成立?若不 成立,是否有新的结论?并证明你得出的结论.

6.(2010?雅安)如图,点 C 是线段 AB 上除点 A、B 外的任意一点,分别以 AC、BC 为边在线段 AB 的同 旁作等边△ ACD 和等边△ BCE,连接 AE 交 DC 于 M,连接 BD 交 CE 于 N,连接 MN. (1)求证:AE=BD; (2)求证:MN∥ AB.

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7. (2012?牡丹江)如图① ,△ ABC 中.AB=AC,P 为底边 BC 上一点,PE⊥ AB,PF⊥ AC,CH⊥ AB,垂足分 别为 E、F、H.易证 PE+PF=CH.证明过程如下: 如图① ,连接 AP. ∵ PE⊥ AB,PF⊥ AC,CH⊥ AB, ∴ S△ABP= AB?PE,S△ACP= AC?PF,S△ABC= AB?CH. 又∵ S△ABP+S△ACP=S△ABC, ∴ AB?PE+ AC?PF= AB?CH. ∵ AB=AC, ∴ PE+PF=CH. (1)如图② ,P 为 BC 延长线上的点时,其它条件不变,PE、PF、CH 又有怎样的数量关系?请写出你的 猜想,并加以证明: (2)填空:若∠ A=30°,△ ABC 的面积为 49,点 P 在直线 BC 上,且 P 到直线 AC 的距离为 PF,当 PF=3 时,则 AB 边上的高 CH= _________ .点 P 到 AB 边的距离 PE= _________ .

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8. (2010?丹东)如图,已知等边三角形 ABC 中,点 D,E,F 分别为边 AB,AC,BC 的中点,M 为直线 BC 上一动点,△ DMN 为等边三角形(点 M 的位置改变时,△ DMN 也随之整体移动) . (1)如图 1,当点 M 在点 B 左侧时,请你判断 EN 与 MF 有怎样的数量关系?点 F 是否在直线 NE 上? 都请直接写出结论,不必证明或说明理由; (2)如图 2,当点 M 在 BC 上时,其它条件不变, (1)的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立?若 成立,请利用图 2 证明;若不成立,请说明理由; (3)若点 M 在点 C 右侧时,请你在图 3 中画出相应的图形,并判断(1)的结论中 EN 与 MF 的数量关系 是否仍然成立?若成立,请直接写出结论,不必证明或说明理由.

9. (2010?贵港) 如图所示, 在△ ABC 中, AB=AC, D 为 AB 上一点, E 为 AC 延长线上的一点, 且 CE=BD, 连接 DE 交 BC 于点 P.求证:PE=PD

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10. (2010?德州)如图,点 E,F 在 BC 上,BE=CF,∠ A=∠ D,∠ B=∠ C,AF 与 DE 交于点 O. (1)求证:AB=DC; (2)试判断△ OEF 的形状,并说明理由.

11. (2010?金山区二模)如图,在△ ABC 中,点 D、E 分别在 AB、AC 上,连接 BE、CD 相交于点 O. (1)如果 AB=AC,AD=AE,求证:OB=OC; (2)在① OB=OC,② BD=CE,③ ∠ ABE=∠ ACD,④ ∠ BDC=∠ CEB 四个条件中选取两个个作为条件,就能得到 结论“△ ABC 是等腰三角形”,那么这两个条件可以是: _________ (只要填写一种情况) .

12. (2014?龙岩)如图,E、F 分别是等边三角形 ABC 的边 AB,AC 上的点,且 BE=AF,CE、BF 交于点 P. (1)求证:CE=BF; (2)求∠ BPC 的度数.

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13. (2014?怀柔区二模) 已知△ ABC 是等边三角形, E 是 AC 边上一点, F 是 BC 边延长线上一点, 且 CF=AE, 连接 BE、EF. (1)如图 1,若 E 是 AC 边的中点,猜想 BE 与 EF 的数量关系为 _________ . (2) 如图 2, 若 E 是线段 AC 上的任意一点, 其它条件不变, 上述线段 BE、 EF 的数量关系是否发生变化, 写出你的猜想并加以证明. (3)如图 3,若 E 是线段 AC 延长线上的任意一点,其它条件不变,上述线段 BE、EF 的数量关系是否发 生变化,写出你的猜想并加以证明.

14. (2014?鞍山一模)如图,△ ABC 是等边三角形,AN=BM,BN,MC 相交于 O,CH⊥ BN 于点 H,求证: 2OH=OC.

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参考答案与试题解析
1. (2011?牡丹江)在△ ABC 中,∠ ACB=2∠ B,如图① ,当∠ C=90°,AD 为∠ BAC 的角平分线时,在 AB 上截 取 AE=AC,连接 DE,易证 AB=AC+CD. (1)如图② ,当∠ C≠90°,AD 为∠ BAC 的角平分线时,线段 AB、AC、CD 又有怎样的数量关系?不需要证 明,请直接写出你的猜想: (2)如图③ ,当 AD 为△ ABC 的外角平分线时,线段 AB、AC、CD 又有怎样的数量关系?请写出你的猜 想,并对你的猜想给予证明. 解答: 解: (1)猜想: AB=AC+CD. 证明:如图② ,在 AB 上 截取 AE=AC, 连接 DE, ∵ AD 为∠ BAC 的角平分 线时, ∴ ∠ BAD=∠ CAD, ∵ AD=AD,∴ △ ADE≌ △ ADC(SAS) ,∴ ∠ AED=∠ C,ED=CD,∵ ∠ ACB=2∠ B,∴ ∠ AED=2∠ B, ∵ ∠ AED=∠ B+∠ EDB,∴ ∠ B=∠ EDB,∴ EB=ED,∴ EB=CD,∴ AB=AE+DE=AC+CD. (2)猜想:AB+AC=CD. 证明: 在 BA 的延长线上截取 AE=AC, 连接 ED. ∵ AD 平分∠ FAC, ∴ ∠ EAD=∠ CAD. 在△ EAD 与△ CAD 中,AE=AC,∠ EAD=∠ CAD,AD=AD,∴ △ EAD≌ △ CAD(SAS) .∴ ED=CD,∠ AED=∠ ACD. ∴ ∠ FED=∠ ACB, 又∵ ∠ ACB=2∠ B ∴ ∠ FED=2∠ B, ∠ FED=∠ B+∠ EDB, ∴ ∠ EDB=∠ B, ∴ EB=ED. ∴ EA+AB=EB=ED= CD. ∴ AC+AB=CD. 2. (2014?龙岩) 如图, E、 F 分别是等边三角形 ABC 的边 AB, AC 上的点, 且 BE=AF, CE、 BF 交于点 P. (1) 求证:CE=BF; (2)求∠ BPC 的度数. 解答: (1)证明:如图,∵ △ ABC 是等边三角形,∴ BC=AB,∠ A=∠ EBC=60°, ∴ 在△ BCE 与△ ABF 中, ,∴ △ BCE≌ △ ABF(SAS) ,∴ CE=BF; (2)解:∵ 由(1)知△ BCE≌ △ ABF,∴ ∠ BCE=∠ ABF, ∴ ∠ PBC+∠ PCB=∠ PBC+∠ ABF=∠ ABC=60°,即∠ PBC+∠ PCB=60°, ∴ ∠ BPC=180°﹣60°=120°.即:∠ BPC=120°. 3. (2010?西宁) (1)班同学上数学活动课,利用角尺平分一个角(如图所示) .设计了如下方案: (Ⅰ )∠ AOB 是一个任意角,将角尺的直角顶点 P 介于射线 OA、OB 之间,移动角尺使角尺两边相同的刻 度与 M、N 重合,即 PM=PN,过角尺顶点 P 的射线 OP 就是∠ AOB 的平分线. (Ⅱ )∠ AOB 是一个任意角,在边 OA、OB 上分别取 OM=ON,将角尺的直角顶点 P 介于射线 OA、OB 之 间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与 M、N 重合,即 PM=PN,过角尺顶点 P 的射线 OP 就是∠ AOB 的平 分线.
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(1)方案(Ⅰ ) 、方案(Ⅱ )是否可行?若可行,请证明;若不可行,请说明理由; (2)在方案(Ⅰ )PM=PN 的情况下,继续移动角尺,同时使 PM⊥ OA,PN⊥ OB.此方案是否可行?请说明 理由. 解答: 解: (1)方案(Ⅰ )不可行.缺少证明三角形全等的条件, ∵ 只有 OP=OP, PM=PN 不能判断△ OPM≌ △ OPN; ∴ 就不能判定 OP 就是∠ AOB 的平分线; 方案(Ⅱ )可行. 证明:在△ OPM 和△ OPN 中, ,∴ △ OPM≌ △ OPN(SSS) ,∴ ∠ AOP=∠ BOP(全等三角形对应角相等) ; ∴ OP 就是∠ AOB 的平分线. (2)当∠ AOB 是直角时,此方案可行; ∵ 四边形内角和为 360°,∠ OMP=∠ ONP=90°,∠ MPN=90°,∴ ∠ AOB=90°,∵ PM=PN,∴ OP 为∠ AOB 的 平分线. (到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上) , 当∠ AOB 不为直角时,此方案不可行; 因为∠ AOB 必为 90°,如果不是 90°,则不能找到同时使 PM⊥ OA,PN⊥ OB 的点 P 的位置. 4. (2010?贵港) 如图所示, 在△ ABC 中, AB=AC, D 为 AB 上一点, E 为 AC 延长线上的一点, 且 CE=BD, 连接 DE 交 BC 于点 P.求证:PE=PD 解答: (1)证明:过点 D 作 DF∥ AC 交 BC 于点 F, ∴ ∠ ACB=∠ DFB,∠ FDP=∠ E ∵ AB=AC(已知) , ∴ ∠ ACB=∠ ABC, ∴ ∠ ABC=∠ DFB, ∴ DF=DB; 又∵ CE=BD(已知) , ∴ CE=DF;又∵ ∠ DPF=∠ CPE,∴ △ ECP≌ △ DFP,∴ PE=PD; 5.(2010?德州)如图,点 E,F 在 BC 上,BE=CF,∠A=∠D,∠B=∠C, AF 与 DE 交于点 O. (1)求证:AB=DC; (2)试判断△ OEF 的形状,并说明理由.

解答: (1)证明:∵ BE=CF,∴ BE+EF=CF+EF,即 BF=CE.又∵ ∠ A=∠ D,∠ B=∠ C,∴ △ ABF≌ △ DCE(AAS) , ∴ AB=DC. (2)解:△ OEF 为等腰三角形理由如下:∵ △ ABF≌ △ DCE,∴ ∠ AFB=∠ DEC,∴ OE=OF,∴ △ OEF 为等腰 三角形. 6.(2007?福州)如图,直线 AC∥ BD,连接 AB,直线 AC、BD 及线段 AB 把平面分成① 、② 、③ 、④ 四个部 分,规定:线上各点不属于任何部分.当动点 P 落在某个部分时,连接 PA,PB,构成∠ PAC,∠ APB,∠ PBD 三个角. (提示:有公共端点的两条重合的射线所组成的角是 0°角) (1)当动点 P 落在第① 部分时,求证:∠ APB=∠ PAC+∠ PBD; (2)当动点 P 落在第② 部分时,∠ APB=∠ PAC+∠ PBD 是否成立?(直接回答成立或不成立) (3)当动点 P 落在第③ 部分时,全面探究∠ PAC,∠ APB,∠ PBD 之间的关系,并写出动点 P 的具体位置和 相应的结论.选择其中一种结论加以证明.

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解答: 解: (1)解法一:如图 1 延长 BP 交直线 AC 于点 E. ∵ AC∥ BD,∴ ∠ PEA=∠ PBD. ∵ ∠ APB=∠ PAE+∠ PEA, ∴ ∠ APB=∠ PAC+∠ PBD;

解法二:如图 2 过点 P 作 FP∥ AC,∴ ∠ PAC=∠ APF.∵ AC∥ BD, ∴ FP∥ BD.∴ ∠ FPB=∠ PBD.∴ ∠ APB=∠ APF+∠ FPB=∠ PAC+∠ PBD; 解法三:如图 3,∵ AC∥ BD,∴ ∠ CAB+∠ ABD=180°,∠ PAC+∠ PAB+∠ PBA+∠ PBD=180°.又 ∠ APB+∠ PBA+∠ PAB=180°,∴ ∠ APB=∠ PAC+∠ PBD. (2)不成立. (3) (a) 当动点 P 在射线 BA 的右侧时,结论是∠ PBD=∠ PAC+∠ APB. (b)当动点 P 在射线 BA 上, 结论是∠ PBD=∠ PAC+∠ APB.或∠ PAC=∠ PBD+∠ APB 或∠ APB=0°,∠ PAC=∠ PBD(任写一个即可) . (c)当动点 P 在射线 BA 的左侧时,结论是∠ PAC=∠ APB+∠ PBD. 选择(a)证明: 如图 4,连接 PA,连接 PB 交 AC 于 M.∵ AC∥ BD,∴ ∠ PMC=∠ PBD.又∵ ∠ PMC=∠ PAM+∠ APM(三 角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和) , ∠ PBD=∠ PAC+∠ APB. 选择 (b) 证明: 如图 5∵ 点 P 在射线 BA 上, ∴ ∠ APB=0 度. ∵ AC∥ BD, ∴ ∠ PBD=∠ PAC. ∴ ∠ PBD=∠ PAC+∠ APB 或∠ PAC=∠ PBD+∠ APB 或∠ APB=0°,∠ PAC=∠ PBD.选择(c)证明:如图 6,连接 PA,连接 PB 交 AC 于 F
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∵ AC∥ BD,∴ ∠ PFA=∠ PBD.∵ ∠ PAC=∠ APF+∠ PFA,∴ ∠ PAC=∠ APB+∠ PBD. 7. (2013?房山区一模) (1)如图 1,△ ABC 和△ CDE 都是等边三角形,且 B、C、D 三点共线,联结 AD、 BE 相交于点 P,求证:BE=AD. (2)如图 2,在△ BCD 中,∠ BCD<120°,分别以 BC、CD 和 BD 为边在△ BCD 外部作等边三角形 ABC、 等边三角形 CDE 和等边三角形 BDF,联结 AD、BE 和 CF 交于点 P,下列结论中正确的是 ① ② ③ (只填 序号即可)① AD=BE=CF;② ∠ BEC=∠ ADC;③ ∠ DPE=∠ EPC=∠ CPA=60°; (3)如图 2,在(2)的条件下,求证:PB+PC+PD=BE. 解答: (1) 证明: ∵ △ ABC 和△ CDE 都是等边三角形, ∴ BC=AC, CE=CD, ∠ ACB=∠ DCE=60°, ∴ ∠ BCE=∠ ACD, ∵ 在△ BCE 和△ ACD 中 ∴ △ BCE≌ △ ACD(SAS)∴ BE=AD; (2)解:① ② ③ 都正确, 理由是:∵ △ ABC 和△ CDE 都是等边三角形, ∴ BC=AC,CE=CD,∠ ACB=∠ DCE=60°, ∴ ∠ BCE=∠ ACD, 在△ BCE 和△ ACD 中

∴ △ BCE≌ △ ACD(SAS) ∴ BE=AD,∠ BEC=∠ ADC,∴ ② 正确; 同理△ FDC≌ △ BDE, ∴ BE=CF, ∴ BE=AD=CF,∴ ① 正确; ∵ △ BCE≌ △ ACD, ∴ ∠ CEP=∠ CDA, ∵ ∠ CED=∠ CDE=60°, ∴ ∠ DEP+∠ CEP=∠ CED=60°=∠ CDP+∠ DEP, ∴ ∠ DPE=180°﹣60°﹣60°=60°, 同理∠ EPC=∠ CPA=60°,即∠ DPE=∠ EPC=∠ CPA=60°,∴ ③ 正确; 故答案为:① ② ③ ; (3)证明:在 PE 上截取 PM=PC,连接 CM, 由(1)可知,△ BCE≌ △ ACD(SAS) ∴ ∠ 1=∠ 2 设 CD 与 BE 交于点 G,在△ CGE 和△ PGD 中,∵ ∠ 1=∠ 2, ∠ CGE=∠ PGD,∴ ∠ DPG=∠ ECG=60°,同理∠ CPE=60°,∴ △ CPM 是 等边三角形, ∴ CP=CM, ∠ PMC=60°. ∴ ∠ CPD=∠ CME=120°. ∵ ∠ 1=∠ 2, ∴ △ CPD≌ △ CME (AAS) , ∴ PD=ME, ∴ BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD,即 PB+PC+PD=BE. 8. (2012?岳阳) (1) 操作发现: 如图① , D 是等边△ABC 边 BA 上一动点 (点 D 与点 B 不重合) , 连接 DC, 以 DC 为边在 BC 上方作等边△DCF,连接 AF.你能发现线段 AF 与 BD 之间的数量关系吗?并证明你发 现的结论. (2)类比猜想:如图② ,当动点 D 运动至等边△ ABC 边 BA 的延长线上时,其他作法与(1)相同,猜想 AF 与 BD 在(1)中的结论是否仍然成立? (3)深入探究:

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Ⅰ .如图③ ,当动点 D 在等边△ ABC 边 BA 上运动时(点 D 与点 B 不重合)连接 DC,以 DC 为边在 BC 上 方、下方分别作等边△ DCF 和等边△ DCF′ ,连接 AF、BF′ ,探究 AF、BF′ 与 AB 有何数量关系?并证明你 探究的结论. Ⅱ .如图④ ,当动点 D 在等边△ 边 BA 的延长线上运动时,其他作法与图③ 相同,Ⅰ 中的结论是否成立?若不 成立,是否有新的结论?并证明你得出的结论. 解答: 解: (1)AF=BD; 证明如下: ∵ △ ABC 是等边三角形(已 知) ,∴ BC=AC, ∠ BCA=60°(等边 三角形的性质) ; 同理知,DC=CF, ∠ DCF=60°; ∴ ∠ BCA﹣∠ DCA=∠ DCF﹣∠ DCA,即∠ BCD=∠ ACF; 在△ BCD 和△ ACF 中, ,∴ △ BCD≌ △ ACF(SAS) ,∴ BD=AF(全等三角形的对应边相等) ; (2)证明过程同(1) ,证得△ BCD≌ △ ACF(SAS) ,则 AF=BD(全等三角形的对应边相等) ,所以, 当动点 D 运动至等边△ ABC 边 BA 的延长线上时,其他作法与(1)相同,AF=BD 仍然成立; (3)Ⅰ .AF+BF′ =AB; 证明如下:由(1)知,△ BCD≌ △ ACF(SAS) ,则 BD=AF;同理△ BCF′ ≌ △ ACD(SAS) ,则 BF′ =AD, ∴ AF+BF′ =BD+AD=AB; Ⅱ .Ⅰ 中的结论不成立.新的结论是 AF=AB+BF′ ; 证明如下:在△ BCF′ 和△ ACD 中, ,∴ △ BCF′ ≌ △ ACD(SAS) ,∴ BF′ =AD(全等三角形的对应边相等) ; 又由(2)知,AF=BD; ∴ AF=BD=AB+AD=AB+BF′ ,即 AF=AB+BF′ . 9.(2014?鞍山一模)如图,△ ABC 是等边三角形,AN=BM,BN,MC 相交于 O,CH⊥ BN 于点 H,求证: 2OH=OC. 解答: 证明:∵ △ ABC 为等边三角形, ∴ AB=BC=AC,∠ A=∠ ABC=∠ ACB=60°, 在△ BAN 和△ CBM 中, ,∴ △ BAN≌ △ CBM(SAS) ,∴ ∠ ABN=∠ BCM, ∵ ∠ ABN+∠ OBC=60°, ∴ ∠ BCM+∠ OBC=60°, ∵ ∠ NOC 为△ OBC 的外 角, ∴ ∠ NOC=∠ BCM+∠ OBC=60°,在 Rt△ OHC,∠ HCO=30°,则 2OH=OC. 10.(2010?雅安)如图,点 C 是线段 AB 上除点 A、B 外的任意一点,分别以 AC、BC 为边在线段 AB 的 同旁作等边△ ACD 和等边△ BCE,连接 AE 交 DC 于 M,连接 BD 交 CE 于 N,连接 MN. (1)求证:AE=BD; (2)求证:MN∥ AB.

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解答: 证明: (1)∵ △ ACD 和△ BCE 是等边三角形,∴ AC=DC,CE=CB,∠ DCA=60°,∠ ECB=60°, ∵ ∠ DCA=∠ ECB=60°,∴ ∠ DCA+∠ DCE=∠ ECB+∠ DCE,∠ ACE=∠ DCB, 在△ ACE 与△ DCB 中, ∵ ,∴ △ ACE≌ △ DCB,∴ AE=BD;

(2)∵ 由(1)得,△ ACE≌ △ DCB,∴ ∠ CAM=∠ CDN, ∵ ∠ ACD=∠ ECB=60°,而 A、C、B 三点共线,∴ ∠ DCN=60°, 在△ ACM 与△ DCN 中, ∵ ,∴ △ ACM≌ △ DCN,∴ MC=NC,

∵ ∠ MCN=60°,∴ △ MCN 为等边三角形,∴ ∠ NMC=∠ DCN=60°,∴ ∠ NMC=∠ DCA,∴ MN∥ AB. 11. (2012?牡丹江)如图① ,△ ABC 中.AB=AC,P 为底边 BC 上一点,PE⊥ AB,PF⊥ AC,CH⊥ AB,垂足 分别为 E、F、H.易证 PE+PF=CH.证明过程如下: 如图① ,连接 AP. ∵ PE⊥ AB, PF⊥ AC, CH⊥ AB, ∴ S△ABP= AB?PE, S△ACP= AC?PF, S△ABC= AB?CH. 又∵ S△ABP+S△ACP=S△ABC, ∴ AB?PE+ AC?PF= AB?CH.∵ AB=AC,∴ PE+PF=CH. (1)如图② ,P 为 BC 延长线上的点时,其它条件不变,PE、PF、CH 又有怎样的数量关系?请写出你的 猜想,并加以证明: (2)填空:若∠ A=30°,△ ABC 的面积为 49,点 P 在直线 BC 上,且 P 到直线 AC 的距离为 PF,当 PF=3 时,则 AB 边上的高 CH= 7 .点 P 到 AB 边的距离 PE= 4 或 10 . 解答: 解: (1)如图② ,PE=PF+CH.证明如下: ∵ PE⊥ AB,PF⊥ AC,CH⊥ AB,∴ S△ABP= AB?PE,S△ACP= AC?PF,S△ABC= AB?CH, ∵ S△ABP=S△ACP+S△ABC,∴ AB?PE= AC?PF+ AB?CH,又∵ AB=AC,∴ PE=PF+CH; (2)∵ 在△ ACH 中,∠ A=30°,∴ AC=2CH. ∵ S△ABC= AB?CH,AB=AC,∴ ×2CH?CH=49, ∴ CH=7. 分两种情况: ① P 为底边 BC 上一点,如图① . ∵ PE+PF=CH,∴ PE=CH﹣PF=7﹣3=4; ② P 为 BC 延长线上的点时,如图② .∵ PE=PF+CH, ∴ PE=3+7=10.故答案为 7;4 或 10. 12. (2010?丹东)如图,已知等边三角形 ABC 中,点 D,E,F 分别为边 AB,AC,BC 的中点,M 为直 线 BC 上一动点,△DMN 为等边三角形(点 M 的位置改变时,△DMN 也随之整体移动) . (1)如图 1,当点 M 在点 B 左侧时,请你判断 EN 与 MF 有怎样的数量关系?点 F 是否在直线 NE 上? 都请直接写出结论,不必证明或说明理由; (2)如图 2,当点 M 在 BC 上时,其它条件不变, (1)的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立?若 成立,请利用图 2 证明;若不成立,请说明理由;

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(3)若点 M 在点 C 右侧时,请你在图 3 中画出相应的图形,并判断(1)的结论中 EN 与 MF 的数量关系 是否仍然成立?若成立,请直接写出结论,不必证明或说明理由. 解答: 解: (1)判断:EN 与 MF 相等(或 EN=MF) ,点 F 在直线 NE 上, (2)成立. 连接 DF,NF, 证明△ DBM 和 △ DFN 全等 (AAS) , ∵ △ ABC 是等边 三角形, ∴ AB=AC=BC. 又∵ D,E,F 是三边的中点, ∴ EF=DF=BF. ∵ ∠ BDM+∠ MDF=60°, ∠ FDN+∠ MDF=60°, ∴ ∠ BDM=∠ FDN, 在△ DBM 和△ DFN 中, , ∴ △ DBM≌ △ DFN,∴ BM=FN,∠ DFN=∠ FDB=60°,∴ NF∥ BD, ∵ E,F 分别为边 AC,BC 的中点,∴ EF 是△ ABC 的中位线,∴ EF∥ BD,∴ F 在直线 NE 上,∵ BF=EF, ∴ MF=EN. (3)如图③ ,MF 与 EN 相等的结论仍然成立(或 MF=NE 成立) . 连接 DF、DE, 由(2) 知 DE=DF,∠ NDE=∠ FDM,DN=DM, 在△ DNE 和△ DMF 中, ∴ △ DNE≌ △ DMF,∴ MF=NE. 13. (2010?金山区二模)如图,在△ABC 中,点 D、E 分别在 AB、AC 上,连接 BE、CD 相交于点 O. (1)如果 AB=AC,AD=AE,求证:OB=OC; (2)在① OB=OC,② BD=CE,③ ∠ ABE=∠ ACD,④ ∠ BDC=∠ CEB 四个条件中选取两个个作为条件,就能得到 结论“△ ABC 是等腰三角形”,那么这两个条件可以是: ① ③ 或① ④ 或② ③ 或② ④ (只要填写一种情况) . 解答: (1)证明:∵ AB=AC,AD=AE,∠ A=∠ A, ∴ △ ABE≌ △ ACD,∴ ∠ ABE=∠ ACD,∵ AB=AC,∴ ∠ ABC=∠ ACB, ∴ ∠ OBC=∠ OCB,∴ OB=OC; (2)解:① ③ 或① ④ 或② ③ 或② ④ . 以选① ③ 为例: 证明:∵ OB=OC,∠ ABE=∠ ACD,∴ △ OBD≌ △ COE,∴ ∠ OBD=∠ OCE,又 由 OB=OC,得∠ OBC=∠ OCB,∴ ∠ ABC=∠ ACB,即 AB=AC,故△ ABC 是等腰三角形. (其他选项证法同上)故填① ③ 或① ④ 或② ③ 或② ④ .

14. (2014?怀柔区二模) 已知△ABC 是等边三角形, E 是 AC 边上一点, F 是 BC 边延长线上一点, 且 CF=AE, 连接 BE、EF. (1)如图 1,若 E 是 AC 边的中点,猜想 BE 与 EF 的数量关系为 .
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(2) 如图 2, 若 E 是线段 AC 上的任意一点, 其它条件不变, 上述线段 BE、 EF 的数量关系是否发生变化, 写出你的猜想并加以证明. (3)如图 3,若 E 是线段 AC 延长线上的任意一点,其它条件不变,上述线段 BE、EF 的数量关系是否发 生变化,写出你的猜想并加以证明. 解答: (1)答:猜想 BE 与 EF 的数量关系为:BE=EF; 证明: (1)∵ △ ABC 是等边三角形,E 是线段 AC 的中点,∴ ∠ CBE= ∠ ABC=30°,AE=CE,∵ AE=CF, ∴ CE=CF,∴ ∠ F=∠ CEF,∵ ∠ F+∠ CEF=∠ ACB=60°,∴ ∠ F=30°,∴ ∠ CBE=∠ F,∴ BE=EF; (2)答:猜想 BE=EF. 证明如下: 如图 2, 过点 E 作 EG∥ BC, 交 AB 于点 G, ∵ △ ABC 是等边三角形, ∴ AB=AC, ∠ ACB=60°, 又∵ EG∥ BC,∴ ∠ AGE=∠ ABC=60°,又∵ ∠ BAC=60°,∴ △ AGE 是等边三角形,∴ AG=AE,∴ BG=CE,又 ∵ CF=AE,∴ GE=CF, 在△ BGE 与△ ECF 中, ,∴ △ BGE≌ △ ECF(SAS) ,∴ BE=EF; (3)BE=EF. 证明如下:如图 3,过点 E 作 EG∥ BC 交 AB 延长线于点 G, ∵ △ ABC 是等边三 角形,∴ AB=AC, ∠ ACB=60°,又 ∵ EG∥ BC, ∴ ∠ AGE=∠ ABC=6 0°,又 ∵ ∠ BAC=60°, ∴ △ AGE 是等边三角形, ∴ AG=AE, ∴ BG=CE, 又∵ CF=AE, ∴ GE=CF, 又∵ ∠ BGE=∠ ECF=60°, ∴ 在△ BGE 与△ ECF 中, ,∴ △ BGE≌ △ ECF(SAS) ,∴ BE=EF.

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