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2017届高三第一次数学(理)试题


2017 届蕉中高三上学期数学(理)第一次综合试卷
命题人:周泽兵 审题人:代云

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的) 1.若集合 A ? x | x ? x ? 4 ? ? 0 , B ? x | log 2 x ? x ? 1 ,则 A ? B ? (<

br />2

?

?

?

?

? ?



A. ? 2, 4?

B. ? 2, 4?

C. ? ??,0? ? ?0,4?

D. ? ??, ?1? ? ?0, 4?

a ?i 为纯虚数,则实数 a 的值为( ) 1? i 1 A. 1 B. ?1 C. D. ? 2 2 3. 下列函数 f ( x) 中, 满足“对任意的 x1 , x2 ? (0,??) 时, 均 ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 ”
2.设 i 是虚数单位,复数 的是( )

( ) B. f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 4 A. f ( x ) ?
x

1 2

C. f ( x) ? x ? 2

D. f ( x) ? log 1 x
2

4.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 有导函数 f ?( x ) ,则“ f ?( x0 ) ? 0 ”是“ x ? x0 为函数 f ( x ) 极值点”的( ) B. 必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分但不必要条件 C.充要条件 5.已知 sin ? ?

3 ? ,且 ? ? ( , ? ) ,函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0)的图象的相邻两条对 5 2 ? ? 称轴之间的距离等于 ,则 f ( ) 的值为( ) 2 4 3 4 3 4 A. ? B. ? C. D. 5 5 5 5 6 . ?ABC 的三内角 A 、 B 、 C 的对边边长分别为 a 、 b 、 c , 若

a?
5 6

5 b , A ? 2 B ,则 cos B 等于( 2
B.

)

A.

5 3

C.

5 4

D.

5 5

7.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,其中左视图是一个 边长为 2 的正三角形,则这个几何体的体积是( ) A. 2 cm2 B. 3 cm3
x

C. 3 3 cm3

D. 3 cm3 )

8.函数 f ( x) ? a 与 g ( x) ? loga x(a ? 1) 的图像交点个数为( A.没有交点 B.一个交点 C. 两个交点
1

D.以上都不对

9.已知抛物线 x2 ? 4 y 上一点 M 到焦点的距离为 3,则点 M 到 x 轴的距 离为( A. ) B. 1 C. 2 D.

开始

1 2

4

i=1 S=0 S< ? N

10.执行如图所示的程序框图,若输出 i 的值是 9,则判断框中的横线 上可以填入的最大整数是( ) A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 11 . 已 知

x?0











x?

1 1 4 x x 4 x x 4 ? 2 x ? ? 2, x ? 2 ? ? ? 2 ? 3 3 ? ? 2 ? 3,? 我们可 x x x 2 2 x 2 2 x

n

Y S=S+i i=i+2

输出i 结束

a ? 以得出推广结论: x ? n ? n ? 1? n ? N ? ,则 a ? ( x
A. 2 n B. n
2

C. 3n

D. n

2 2 12 . 已 知 函 数 f ? x ? ? x ? sin x ? x ? R ?,且f y ? 2 y ? 3 ? f x ? 4 x ? 1 ? 0 , 则 当

?

?

?

?

y ? 1 时,

x ? y ?1 的取值范围是( x ?1
B. ?0, ? 4

)

A. ? , ? 4 4

?5 7? ? ?

? 7? ? ?

C. ? , ? 4 3

?5 7? ? ?

D. ?1, ? 3

? 7? ? ?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.设向量 a ? (1, 2m) , b ? (m ? 1,1) ,若 a ? b ? 0 ,则 m =_____________. 14. 已知函数 y ? a
x ?1

?

?

? ?

则定点 M 的坐标为______________ ?1 (a ? 0且a ? 1) 恒过定点 M ,

15.已知 f ? x ? 为奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? ln(? x) ? 3x ,则曲线 y ? f ? x ? 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是_______________。 16.以下四个命题: ①若函数 y ? e x ? mx (m ? R) 有大于零的极值点,则实数 m ? 1 ; ②命题“ ?x ? R, x ? 1 ? 3x ”的否定是“ ?x ? R, x ? 1 ? 3x ” ;
2 2

③方程 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
2

④已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a ? 7a 在 x ? 1 处取得极大值 10, 则
3 2 2

a 2 的值为-2 或 ? . b 3

其中真命题的序号为_____________(写出所有真命题的序号).

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 17. (本小题满分 12 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2an ? 1?n ? 1, 2, ...? . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn?1 ? an ? bn ?n ? 1, 2, ...?, b1 ? 2 ,求数列 ?bn ? 的通项公式.

18. (本小题满分 12 分)网店为促销,拿出 A,B,C 三件商品进行抢拍。A,B,C 被抢拍成功的概 率分别是

1 1 2 , , .小明均参与了以上三件商品的抢拍. 4 3 3

(1)求至少有一件商品被小明抢拍成功的概率; (2)记小明抢拍成功商品的件数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望.

19 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 在 直 角 梯 形 ABCP 中 , C P/ / A B, C P ?

C, B

AB ? BC ?

1 CP ? 2 , D 是 CP 的中点,将 ?PAD 沿 AD 折起,使得 PD ? 面 ABCD . 2

(1)求证:平面 PAD ? 平面 PCD ; (2)若 E 是 PC 的中点,求三棱锥 A ? PEB 的体积. (3)若 E 在 CP 上且二面角 E-BD-C 所成的角为 45 ,求 CE 的长
?

3

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上任意一点到两焦点 F1 , F2 的距 a 2 b2

离之和为 4 2 ,离心率为 (1)求椭圆的标准方程; (2)若直线 l 的斜率为 的最大值.

3 . 2

1 ,直线 l 与椭圆交于 A, B 两点,给定点 P(2,1) ,求 ?PAB 的面积 2

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2 x ? ln(x ? 1) ( a 为常数) (1)当 a ? ?1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)当 x ? [0,??) 时,不等式 f ( x) ? x 恒成立,求实数 a 的取值范围。

请考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一个题目计 分,本题共 10 分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在 ?ABC 中,CD 是 ?ACB 的角平分线, ?ADC 的 外接圆交 BC 于点 E , AB ? 2 AC . (1)求证: BE ? 2 AD ; (2)当 AC ? 3 , EC ? 6 时,求 AD 的长. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? ?4t ? a ( t 为参数) ,在直角坐标系 xOy 中,以 O 点为极点, ? y ? 3t ? 1

x 轴的非负半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系,设圆 M 的方程为

? 2 ? 6? sin ? ? ?8 .
(1)求圆 M 的直角坐标方程; (2)若直线 l 截圆 M 所得弦长为 3 ,求实数 a 的值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a | (a ? R) (1)当 a=4 时,求不等式 f ( x) ? 5 的解集; (2)若 f ( x) ? 4 对 x ? R 恒成立,求 a 的取值范围.
4

2017 届高二联考数学(理)答案
1—6 AACBBC 7—12 BDCDDA 1 13. ? 14. (?1, 0) 15. y ? 2 x ? 1 3
17.解: (1)因为 S n ? 2an ? 1?n ? 1, 2, ...? , 则 S n?1 ? 2an?1 ? 1?n ? 2, 3, ...? , 所以当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 2an ? 2an?1 , 整理得 an ? 2an?1 , 由 S n ? 2an ? 1,令 n ? 1 ,得 a1 ? 2a1 ? 1 ,解得 a1 ? 1 . 所以 ?an ? 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,可得 an ? 2 n?1 (6 分) (2)因为 an ? 2 n?1 , 由 bn?1 ? an ? bn ?n ? 1, 2, ...? ,得 bn?1 ? bn ? 2 n?1 , 由累加得 bn ? b1 ? ?b2 ? b1 ? ? ?b3 ? b2 ? ? ... ? ?bn ? bn?1 ? 16.①②③

? 2?

1 ? 2 n ?1 ? 2 n ?1 ? 1, ?n ? 2? , 1? 2

当 n ? 1 时也满足,所以 bn ? 2 n?1 ? 1 .(12 分) 18.解: (1)三件商品中没有一件被抢拍成功的概率为

1 1 2 1 P , 1 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 4 3 3 6
所以三件商品中至少有一件被小明抢拍成功的概率为

5 .-----------------------------------------------------------------------------------6 分 6 1 (2) ? ? 0,1,2,3, 则 P(? ? 0) ? ; 6 1 1 2 1 1 2 1 1 2 17 P(? ? 1) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? 4 3 3 4 3 3 4 3 3 36 1 1 2 1 1 2 1 1 2 11 P(? ? 2) ? ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ? ? (1 ? ) ? ? 4 3 3 4 3 3 4 3 3 36 1 1 2 1 P (? ? 3) ? ? ? ? . 4 3 3 18 P ? 1? P 1 ?
所以 ? 的分布列如下:
5

?

0

1

2

3

P

1 6

17 36

11 36

1 18

1 17 11 1 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1.25 ---------------------------------------------------12 分 6 36 36 18
19.解: (1)证明 :∵PD⊥底面 ABCD,∴PD⊥AD. 又由于 CP∥AB,CP⊥CB,AB=BC,∴ABCD 为正方形, ∴AD⊥CD,又 PD∩CD=D,故 AD⊥底面 PCD, 因 AD ? 平面 PAD,所以平面 PAD⊥底面 PCD. (3 分) (2)∵AD∥BC,又 BC ? 平面 PBC,AD ? 平面 PBC,所以 AD∥平面 PBC. ∴点 A 到平面 PBC 的距离即为点 D 到平面 PBC 的距离. 又∵PD=DC,E 是 PC 的中点,∴DE⊥PC. 由(1)知有 AD⊥底面 PCD,所以有 AD⊥DE. 由题意得 AD∥BC,故 BC⊥DE. 于是,由 BC∩PC=C,可得 DE⊥底面 PBC. ∴DE= 2 ,PC=2 2 , 又∵AD⊥底面 PCD,∴AD⊥CP, ∵AD∥BC,∴AD⊥BC.

1 1 1 S△PBC= × ( ? BC ? PC ) = 2 2 2 2 1 2 ∴VA-PEB=VD-PEB= ×DE×S△PEB= . (7 分) 3 3
∴S△PEB= (3) 建坐标系可得 CE= 2(2 ? 2 )

? 2a ? 4 2 ? c 3 ? 20.解: (1)由条件得: ? e ? ? ,解得 a ? 2 2 , c ? 6 , b ? 2 , ? 2 a 2 22 ? ?a ? b ? c
x2 y 2 ? ? 1 (5 分) 所以椭圆的方程为 8 2
(2)设 l 的方程为 y ?

1 x ? m ,点 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 2

1 ? y? x?m ? ? 2 2 2 由? 2 消去 y 得 x ? 2mx ? 2m ? 4 ? 0 . 2 ?x ? y ?1 ? 2 ?8
2 2 令 ? ? 4m ? 8m ? 16 ? 0 ,解得 m ? 2 ,(7 分)

6

由韦达定理得 x1 ? x2 ? ?2m, x1x2 ? 2m2 ? 4 . 则由弦长公式得 AB ? 1 ?

1 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 5(4 ? m2 ) . 4
m 1 1? 4 ? 2m 5


又点 P 到直线 l 的距离 d ?

∴ S?PAB ?

1 1 2m m2 ? 4 ? m2 AB d ? ? ? 5(4 ? m2 ) ? m2 (4 ? m2 ) ? ?2, 2 2 2 5

2 当且仅当 m ? 2 ,即 m ? ? 2 时取得最大值.∴△PAB 面积的最大值为 2.(12 分)

21..解: (1)函数的定义域为 ?? 1,??? , 当 a ? ?1 时, f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? ln(x ? 1)

? f ?( x) ? ?2 x ? 2 ?

1 1 ? 2x2 ? ----------------------------------------------2 分 x ?1 x ?1

由 f ?( x) ? 0 得, ?

2 2 ?x? 2 2 2 2 或x? , 2 2 2 2 , ), 2 2 2 2 )和( ,??) 。------------------------------4 分 2 2

由 f ?( x) ? 0 得 ? 1 ? x ? ?

? 函数 f ( x) 的单调增区间为 (?

单调减区间为 (?1,?

(2)当 x ? [0,??) 时, f ( x) ? x 恒成立, 令 g ( x) ? f ( x) ? x ? ax ? x ? ln(x ? 1) ,
2

问题转换为 x ? [0,??) 时, g ( x) max ? 0 ,

? g ?( x) ? 2ax ? 1 ?

1 x[2ax ? (2a ? 1)] ? , 1? x x ?1 x ?0 ?当 a ? 0 时, g ?( x ) ? x ?1

? g ( x) 在 x ? [0,??) 上单调递增,此时 g ( x) 无最大值,故 a ? 0 不合题意。--------6 分
7

?当 a ? 0 时,令 g ?( x) ? 0 解得, x1 ? 0, x2 ?

? (2a ? 1) ? 0, 2a

此时 g ( x) 在 x ? [0,??) 上单调递增,此时无最大值,故 a ? 0 不合题意。--------8 分 ?当 a ? 0 时,令 g ?( x) ? 0 解得, x1 ? 0, x2 ? 当 ?

? (2a ? 1) , 2a

1 ? (2a ? 1) ? a ? 0 时, x2 ? ?0, 2 2a

而 g ( x) 在 [0, x2 ) 上单调递增,在在 [ x2 ,??) 上单调递减,

? g ( x) max ? g ( x2 ) = a ?

1 1 1 ? ln( ? ) ? a ? ? ln( ?2a) , 4a 2a 4a 1 1 ? ln( ?2 x), x ? (? ,0) , 令 ? ( x) ? x ? 4x 2
则 ? ?( x) ? 1 ?

1 1 (2 x ? 1) 2 ? ? ? 0, 4x2 x 4x2

1 ?? ( x) 在 x ? (? ,0) 上单调递增, 2

1 1 e3 ? 3 ln 2 ,当 e ? 2.71 时, e3 ? 19.9 , 又 ? (? 3 ) ? ? 3 ? e e 4
1 ?? ( x) 在 x ? (? ,0) 小于或等于 0 不恒成立,即 g ( x)max ? 0 不恒成立, 2 1 故 ? ? a ? 0 不合题意。 2 1 ? (2a ? 1) ? 0 ,而此时 g ( x) 在 x ? [0,??) 上单调递减, 当 a ? ? 时, x2 ? 2 2a

? g ( x)max ? g (0) ? 0 ,符合题意。
综上可知,实数 a 的取值范围是 ( ?? ,? ] 。------------------------------12 分 22.解:(1)连接 DE ,因为 ACED 是圆内接四边形,所以 ?BDE ? ?BCA, 又 ?DBE ? ?CBA, ? ?DBE ∽ ?CBA ,即有 又因为 AB ? 2 AC ,可得 BE ? 2DE, 因为 CD 是 ?ACB 的平分线,所以 AD ? DE , 从而 BE ? 2 AD (5 分)

1 2

BE DE ? , BA CA

8

(2)由条件知 AB ? 2 AC ? 6 ,设 AD ? t , 则 BE ? 2t , BC ? 2t ? 6 ,根据割线定理得 BD ? BA ? BE ? BC , 即 (6 ? t ) ? 6 ? 2t ? (2t ? 6), 即 2t 2 ? 9t ? 18 ? 0 , 解得 t ?

3 3 或 ? 6 (舍去) ,则 AD ? . (10 分) 2 2

23.解: (1)∵ ? 2 ? 6? sin ? ? ?8 ? x2 ? y 2 ? 6 y ? ?8 ? x2 ? ( y ? 3)2 ? 1 , ∴圆 M 的直角坐标方程为 x ? ( y ? 3) ? 1;(5 分)
2 2

(2) 把直线 l 的参数方程 ?

? x ? ?4t ? a ( t 为参数) 化为普通方程得:3x ? 4 y ? 3a ? 4 ? 0 , ? y ? 3t ? 1
3 , 且 圆 M 的 圆 心 M ( 0 , 3到 ) 直线 l 的距离

∵直线 l 截圆 M 所得弦长为

d?

37 |16 ? 3a | 3 1 9 , ? 12 ? ( )2 ? ? a ? 或 a ? 6 5 2 2 2 37 9 或 a ? .(10 分) 6 2

∴a ?

24.解:(1) x ? 1 ? x ? 4 ? 5 等价于

?x ? 1 ?1 ? x ? 4 或? ? ??2 x ? 5 ? 5 ?3 ? 5
解得: x ? 0 或 x ? 5 .

或?

?x ? 4 , ?2 x ? 5 ? 5

故不等式 f ( x) ? 5 的解集为 {x x ? 0 或 x ? 5} .(5 分) (2)因为: f ( x) ? x ?1 ? x ? a ? ( x ?1) ? ( x ? a) ? a ?1 (当 x ? 1 时等号成立) 所以: f ( x)min ? a ?1 由题意得: a ? 1 ? 4 , 解得 a ? ?3 或 a ? 5 .(10 分)

9


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