当前位置:首页 >> 数学 >>

人教版A必修5 1.2解三角形应用举例


1.2.1 应用举例
山东省临沂第二中学 高二数学组

基础知识复习 1、正弦定理

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C (其中R为外接圆的半径)

2、余弦定理

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A b2 ? a 2 ? c 2 ? 2a

c cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C

解应用题的一般步骤 1.审题

理解题意,明确背景,熟悉已知条件,了解所需要的 条件(或量),明确试题的所求内容.
2.建立数学模型

把实际问题转化为数学问题.
3.解答数学模型

解答数学问题.
4.总结

与问题所求量进行联系,总结作答.

正弦定理和余弦定理在实际测量中有许 多应用 :

(1)测量距离. (2)测量高度. (3)测量角度.

例1.设A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离。
测量者在A的同测,在所在的河岸边选定一点C, 测出AC的距离是55cm,∠BAC=51o, ∠ACB =75o,求A、B两点间的距离(精确到0.1m)

分析:已知两角一边,可以用正弦定理解三角形

AB AC = sin C sin B

解:根据正弦定理,得

AB AC ? sin ?ACB sin ?ABC AC sin ?ACB 55sin ?ACB AB ? ? sin ?ABC sin ?ABC 55sin 75 55sin 75 ? ? ? 65.7(m) sin(180 ? 51 ? 75 ) sin 54
答:A,B两点间的距离为65.7米。

例2.A、B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测 量两点间的距离的方法。

分析:用例1的方法,可以计算出河的这一岸的一 点C到对岸两点的距离,再测出∠BCA的大小, 借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。

解:测量者可以在河岸边选定两点C、D,测得CD=a,并 且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.在 ADC和 BDC ?中,应用正弦定理得 ?

a sin(? ? ? ) a sin(? ? ? ) AC ? ? sin ? ?180 ? ( ? ? ? ? ? ) ? ? sin( ? ? ? ? ? )
?

a sin ? a sin ? BC ? ? sin ? ?180 ? (? ? ? ? ? ) ? ? sin(? ? ? ? ? )
计算出AC和BC后,再在?ABC中,应用余弦定理计 算出AB两点间的距离

AB ? AC ? BC ? 2 AC ? BC cos?
2 2

思 考 背景 资料

如何测量地球与月亮之间 的距离?
早在1671年,两位法国天文学家为了测量地 球与月球之间的距离,利用几乎位于同一子 午线的柏林与好望角,测量计算出α,β的大小 和两地之间的距离,从而算出了地球与月球 之间的距离约为385400km. A

?
?

B

练习1.一艘船以32.2n mile / hr的速度向正 北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的 方向,30min后航行到B处,在B处看灯塔 在船的北偏东65o的方向,已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域,这 艘船可以继续沿正北方向航行吗?
解:在?ASB中,?SBA=115?, ?S ? 45?,由正弦定理得 AB sin 20? 16.1sin 20? SB ? ? ? 7.787( n mile) sin 45? sin 45? 设点S 到直线AB的距离为h, 则 h ? SB sin 65? ? 7.06( n mile) h ? 6.5n mile ? 此船可以继续沿正北方向航行 答:此船可以继续沿正北方向航行

练习2.自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度.已知车厢的最大仰角是60°,油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为 6°20’,AC长为1.40m,计算BC的长(精确到0.01m). (1)什么是最大仰角?

(2)例题中涉及一个怎样的三角
形? 在△ABC中已知什么,要求什么?

最大角度

C A B

练习2.自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度.已知车厢的最大仰角是60°,油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为 6°20’,AC长为1.40m,计算BC的长(精确到0.01m). 已知△ABC中AB=1.95m,AC=1.40m, 夹角∠CAB=66°20′,求BC.

解:由余弦定理,得
BC 2 ? AB 2 ? AC 2 ? 2 ? AB ? AC ? cos A ? 1.952 ? 1.402 ? 2 ?1.95 ?1.40 ? cos 66 20? ? 3.571

最大角度

? BC ? 1.89(m)

C A B

答:顶杆BC约长1.89m。

例3. AB是底部B不可到达的一个建筑物, A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑 物高度AB的方法.
想一想
A

图中给出了怎样的一个 几何图形?已知什么, 求什么? D G

?

C H

?

E B

例3 AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑 物的最高点,设计一种测量建筑物高度AB的方法
分析:由于建筑物的底部B 是不可到达的,所以不能直 接测量出建筑物的高。由解 直角三角形的知识,只要能 测出一点C到建筑物的顶部 A的距离CA,并测出由点C 观察A的仰角,就可以计算 D 出建筑物的高。所以应该设 G 法借助解三角形的知识测出 CA的长。

A

?

C

?

E B

H

几个概念:
? 仰角:目标视线在水平线上方的叫仰角; ? 俯角:目标视线在水平线下方的叫俯角; ? 方位角:正北方向线顺时针方向到目标方向 线的夹角。
方向角是指从指定方向线到目标方向线的水平角,如北偏东30度,南偏西45度. N 视 线

方位角 60度
目标方向线

仰角
水平线

俯角
视 线

例3. AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑物 的最高点,设计一种测量建筑物高度AB的方法 解:选择一条水平基线HG,使 H,G,B三点在同一条直线上。由 在H,G两点用测角仪器测得A的 仰角分别是α,β,CD=a,测角仪 ? 中, 器的高是h.那么,在 ACD 根据正弦定理可得

A

a sin ? AC ? sin(? ? ? )

D G

?

C H

?

E
B

a sin ? sin ? AB ? AE ? h ? AC sin ? ? h ? ?h sin(? ? ? )

例4.如图, 在山顶 铁塔上B处测得地 面上一点A的俯角

? ? 54 0 40' , 在塔底
C处测得A处的俯 角? ? 50 01'. 已知铁 塔BC 部分的高为 27.3m, 求出山高C D (精确到1m).
分析:根据已知条件,应该设 法计算出AB或AC的长

解:在⊿ABC中,∠BCA= 90° +β, ∠ABC= 90° -α, ∠BAC=αβ, ∠BAD=α.根据正弦定理,
BC AB ? sin(? ? ? ) sin( 90? ? ? )
BC sin(90? ? ? ) BC cos ? 所以,AB ? ? sin(? ? ? ) sin(? ? ? )

解Rt?ABD, 得 BC cos ? sin ? BD ? AB sin ?BAD ? sin(? ? ? ) 27.3 cos 50?1' sin 54? 40' ? sin( 54? 40' ? 50?1' ) ? 177 (m) CD=BD-BC≈177-27.3=150(m)
答:山的高度约为150米。

例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得 公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上,行驶5km后到 达B处,测得此山顶在东偏南25°的方向上,仰角8°,求此山 的高度CD.

分析:要测出高CD,只要 测出高所在的直角三角形 的另一条直角边或斜边的 长。根据已知条件,可以 计算出BC的长。

例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得 公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上,行驶5km后到 达B处,测得此山顶在东偏南25°的方向上,仰角8°,求此山 的高度CD.

解:在⊿ABC中, ∠A=15°,

?15°=10°. ∠C= 25°
根据正弦定理,

BC AB ? sin A sin C

AB sin A 5 sin 15? BC ? ? ? 7.4524(km). ? sin C sin 10

CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m) 答:山的高度约为1047米。

例6.如图, 一艘海轮从A出发, 沿北偏东750的方向 航行67.5nmile后到达海岛B, 然后从B出发, 沿北偏 东320的方向航行54.0nmile后到达海岛C.如果下次 航行直接从A出发到达C , 此船应该沿怎样的方向 航行, 需要航行多少距离(角度精确到0.10 , 距离精 确到0.01nmile ).

例6 一艘海轮从A出发,沿北偏东75°的方向航行67.5n mile 后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32°的方向航行54.0n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该 沿怎样的方向航行,需要航行多少距离(角度精确到0.1°,距 离精确到0.01n mile)?

解:在 △ABC中,∠ABC= 180°-75°+32°=137°, 根据余弦定理,

AC ? AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos ?ABC ? 67.52 ? 54.02 ? 2 ? 67.5 ? 54.0 cos137 ? ? 113.15

练习

1.如图,自动卸货汽车采用液压机构,设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度(如图).已知车厢的最大仰角为60°,油

泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的
夹角为60? 20?,AC长为1.40m,计算BC的长(保留三个有效数 字).

(1)什么是最大仰角?
(2)例题中涉及一个怎样的三角 在△ABC中已知什么,要求什么? 形?

最大角度

练习

1.如下图是曲柄连杆机构的示意图,当曲柄CB绕C点旋转

时,通过连杆AB的传递,活塞作直线往复运动,当曲柄在CB
位置时,曲柄和连杆成一条直线,连杆的端点A在A处,设连 杆AB长为340mm,由柄CB长为85mm,曲柄自CB按顺时针方

向旋转80°,求活塞移动的距离(即连杆的端点A移动的距
离 A0 A )(精确到1mm)

解 题 过 程
已知△ABC中, BC=85mm,AB=340mm,∠C=80°,

求AC. 解:(如图)在△ABC中, 由正弦定理可得: BC sin C 85 ? sin 80? sin A ? ? ? 0.2462 AB 340
因为BC<AB,所以A为锐角 , A=14°15′ ∴ B=180°-(A+C)=85°45′ 又由正弦定理: AB sin B 340 ? sin 85? 45? AC ? ? ? 344.3( mm ) sin C 0.9848

解 题 过 程

?

A0 A ? A0C ? AC ? ( AB ? BC ) ? AC ? ( 340 ? 85) ? 344.3 ? 80.7 ? 81( mm )

答:活塞移动的距离为81mm.

练习
2.我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里的B处,发现敌舰正 由岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需 以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰? C

解:如图,在△ABC中由余弦定理得:
BC 2 ? AC 2 ? AB 2 ? 2 ? AB ? AC ? cos ?BAC 1 ? 20 ? 12 ? 2 ? 12 ? 20 ? ( ? ) 2 ? 784
2 2

10? A
50? 40?

   ?

BC ? 28

∴我舰的追击速度为14海里/小时,

B

又在△ABC中由正弦定理得:

AC BC ? sin B sin A

AC sin A 5 3 故 sin B ? ? BC 14

?

B ? 38

故我舰航行的方向为北偏东 50 ? 38 ? 12

3. 3.5m长的木棒斜靠在石堤旁,棒 的一端离堤足1.2m的地面上,另一 端沿堤上2.8m的地方,求地对地面 的倾斜角。

63.77

总 结

实际问题

抽象概括 示意图

数学模型 推 理 演 算

实际问题的解

还原说明

数学模型的解


相关文章:
人教A版数学必修五 1.2《解三角形应用举例》(2)教案
人教A版数学必修五 1.2解三角形应用举例》(2)教案_数学_高中教育_教育专区。高中数学人教 A 版必修 5:1.2解三角形应用举例》 (2)教案 一、教学内容...
人教A版数学必修五 1.2《解三角形应用举例》(1)教案
人教A版数学必修五 1.2解三角形应用举例》(1)教案_数学_高中教育_教育专区。湖南省蓝山二中高一数学人教 A 版必修 5:1.2解三角形应用举例》 (2)教案 ...
必修5 第一章:解三角形 1-2-1应用举例
必修5 第一章:解三角形 1-2-1应用举例_高一数学_数学_高中教育_教育专区。...14页 2下载券 人教版A必修5 第一章解三... 30页 2下载券 喜欢...
人教A版数学必修五 《解三角形应用举例》(2)教案
人教A版数学必修五解三角形应用举例》(2)教案_数学_高中教育_教育专区。河北省武邑中学高中数学 5.解三角形应用举例教案 新人教 A 版必修 5 备课人 课题 ...
最新人教A版必修5高中数学 §1.2解三角形应用举例教案(精品)
最新人教A版必修5高中数学 §1.2解三角形应用举例教案(精品)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学 4.应用举例教案 新人教 A 版必修 5 备课人 课题 §...
高中数学 1.2《解三角形应用举例》(2)教案 新人教A版必修5
高中数学 1.2解三角形应用举例》(2)教案 新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。高中数学人教 A 版必修 5:1.2解三角形应用举例》 (2)教案一、教学...
高中数学必修5第一章解三角形应用举例2
高中数学必修5第一章解三角形应用举例2_数学_高中教育...解三角形应用举例第四课时 (1)教学目标 (a)知识...新人教A版高中数学必修5... 14页 2下载券 江苏省...
人教A版数学必修五 1.2《应用举例—》④解三角形导学案
人教A版数学必修五 1.2应用举例—》④解三角形导学案_数学_高中教育_教育专区。1.2应用举例—④解三角 形》导学案 【学习目标】 1. 能够运用正弦定理、...
新人教A版必修5高中数学1.2应用举例—④解三角形学案
人教A版必修5高中数学1.2应用举例—④解三角形学案_数学_高中教育_教育专区。高中数学 1.2 应用举例—④解三角形学案 新人教 A 版必修 5 学习目标 1. 能...
更多相关标签:
解三角形应用举例 | 解三角形应用举例ppt | 数学必修五解三角形 | 必修五解三角形 | 必修五解三角形测试题 | 必修五第一章解三角形 | 必修5数学解三角形 | 必修5解三角形 |