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高考一轮总复习人教A版数学3-1


走向高考· 数学
人教A版 ·高考一轮总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章

导数及其应 用

第三章

导数及其应用

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数学

●命题趋势 1.求导数及切线方程. 2.用导数研究函数的单调性,求函数的极值与最值. 3.已知函数的单调性或极值等讨论字母参数. 4.导数的实际应用与综合应用. 5.(理)定积分与微积分基本定理的应用.

第三章

导数及其应用

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●备 考 指 南 1. 熟 练 掌 握 导 数 的 定 义 及 运 算 法 则 主要包括理解导数的定义及几何意义,熟记求导公式、 导 数 的 四 则 运 算 法 则 、 公 式 与 法 则 进 行 求 导 计 算 (理)复 合 函 数 求 导 法 则 , 并 能 运 用 上 述 . 导 数 的 几 何 意 义 是 重 点 必 考 内 容 ,

要 熟 练 掌 握 求 解 曲 线 在 某 点 或 经 过 某 点 的 切 线 问 题 .

第三章

导数及其应用

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2. 熟 练 掌 握 导 数 的 应 用 主要包括利用导数确定函数的单调性、求函数的极值与 最 值 、 已 知 函 数 的 单 调 性 或 极 值 求 字 母 参 数 的 值 或 取 值 范 围 特 别 要 注 意 能 用 导 数 的 方 法 解 决 一 些 函 数 性 质 的 综 合 性 问 题 3.(理)掌 握 定 积 分 的 概 念 、 性 质 , 掌 握 微 积 分 基 本 定 理 , 会 用 定 积 分 解 决 一 些 平 面 曲 线 围 成 的 平 面 图 形 的 面 积 和 变 速 运 动 的 路 程 及 变 力 做 功 等 几 何 与 物 理 问 题 . . .

第三章

导数及其应用

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第三章
第一节 导数的概念 与 运 算

第三章

导数及其应用

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基础梳理导学

3

规范答题样板

高频考点通关

4

课后强化作业

第三章

第一节

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基础梳理导学

第三章

第一节

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夯 实 基 础

稳 固 根 基

一 、 导 数 及 有 关 概 念 1. 函 数 y=f(x)从 x1 到 x2 的 平 均 变 化 率 函 数 y=f(x)从 x1 到 x2 的 平 均 变 化 率 为 =x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1), 则 平 均 变 化 率 可 表 示 为 ________, 若 Δx ________.

第三章

第一节

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2. 函 数 y=f(x)在 x=x0 处 的 导 数 ( 1 ) 定 义 称 函 数 y=f(x)在 x=x0 处 的 瞬 时 变 化 率 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ =

________为 函 数 y=f(x)在 x=x0 处 的 导 数 , 记 作 一 般 地 , 函 数

f( ′ x0)或 y′|x=x0.

Δy y=f(x)的 导 数 f ′(x)= li m Δx Δx→0

f?x+Δx?-f?x? = li m . Δx Δx→0

第三章

第一节

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如 果 f(x)在 开 区 间 (a, b)内 每 一 点 在区间(a,b)内 可 导 . 在 区 间 函 数 , 这 个 函 数 称 为 函 数 4. 导 数 的 几 何 意 义 : 函 数 f ′(x0), 就 是 曲 线

x都 是 可 导 的 , 则 称

f(x)

(a,b)内,f ′(x)构成一个新的 f(x)的 导 数 . y=f(x)在 点 x0 处 的 导 数

y=f(x)在 点 P(x0, y0)处 的 ____________. s=s(t)在 点 t0 处 的 导

导 数 的 物 理 意 义 : 物 体 的 运 动 方 程 数 s′(t0), 就 是 物 体 在

t0 时 刻 的 ________.

第三章

第一节

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二 、 导 数 公 式 1. 基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式

第三章

第一节

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2.导 数 的 运 算 法 则 [f(x)± g(x)]′=________; [f(x)g(x)]′=____________.特 别 [cf(x)]′=______(c 为 常 数);
? f?x? ? ? ? ?g?x??′=____________(g(x)≠0). ? ?

3.(理)复 合 函 数 的 导 数 y′x=y′u· ux′(其 中 u是x的 函 数 ).

第三章

第一节

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[答 案]

f?x2?-f?x1? Δy 一 、 1. Δx x2-x1 Δy lim Δx Δx→0

f?x0+Δx?-f?x0? 2.lim Δx Δx→0 4. 切 线 的 斜 率 二 、 1.0 αx
α-1

瞬 时 速 度 c o s x -s n i x a lna e
x x

1 1 xlna x cf ′(x)

2 . f ′(x)± g′(x) f ′?x?g?x?-f?x?g′?x? g2?x?

f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)

第三章

第一节

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考 点 自 测 1.( 2 0 1 3 ·

把 脉 弱 点 永 康 模 拟 )函 数 y=f(x)的 图 象 如 图 所 示 , 则 ( ) y=f

′(x)的 图 象 可 能 是

[答案] D

第三章

第一节

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[解 析] 时 , 恒 有

据 函 数 的 图 象 易 知 ,

x<0 时 恒 有 f ′(x) > 0 , 当 x>0

f ′(x) < 0 , 故 选 D.

第三章

第一节

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2.( 2 0 1 3 · 则 x0=( A.e
2

辽 宁 大 连 期 末 ) B.e
B

)已 知 f(x)=xlnx, 若 f ′(x0)=2,

n l2 C. 2

D.n l2

[答案]
[解析]

f ′(x)=1+lnx,∴f ′(x0)=1+lnx0=2,

∴lnx0=1,∴x0=e,故选 B.

第三章

第一节

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3.( 2 0 1 2 · 切 线 方 程 为 A. -3

成 都 二 模 )曲线 y=ax3+bx-1 在 点 (1,f( 1 ) 处 的 y=x, 则 b-a=( B.2 ) C.3 D.4

[答案] C

第三章

第一节

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[解 析]

由 题 意 得 , 函 数 在

x=1 处 的 切 线 斜 率 为

1, 且 切

点 为( 1 1 ,)

1 ? a= - 2, ? ? a + b - 1 = 1 , ? 2 . y′=3ax +b, 故? 解 得? ? ?3a+b=1. ?b=5, ? 2

即 b-a=3, 故 选 C.

第三章

第一节

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4.( 2 0 1 3 ·

广 东 )若 曲 线 y=ax2-lnx 在 点 (1,a)处 的 切 线 平

行 于 x轴 , 则 a=________.
1 [答案] 2

第三章

第一节

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[解 析]

1 y′=2ax- ,y′|x=1=2a-1, x 1 x轴 , ∴2a-1=0,∴a=2.

∵切 线 平 行 于

第三章

第一节

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疑 难 误 区

点 拨 警 示

1.不 要 记 混 用 错 导 数 公 式 ( 1 ) 要 注 意 公 式 的 适 用 范 围 . 如 若 n∈Q 且 n≠0, 则 应 有 ( 2 ) 注 意 公 式 不 要 用 混 , 如 xa
x-1

(xn)′=nxn-1 中,n∈N+,

x> 0 . (ax)′=axlna, 而 不 是 (ax)′=
?u? ? u′v′,? ≠ ?v?′ ? ?

.还 要 特 别 注 意

(uv)′ ≠

u′ . v′

第三章

第一节

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2. 深刻理解“函数在一点处的导数”、 “导函数”、 “导 数”的区别与联系 ( 1 ) 函数在一点处的导数 f ′(x0)是一个常数,不是变量. ( 2 ) 函数的导数,是针对某一区间内任意点 x 而言的.函 数 f(x)在区间(a,b)内每一点都可导,是指对于区间(a,b)内 的每一个确定的值 x0,都对应着一个确定的导数 f ′(x0).根 据 函 数 的 定 义 , 在 开 区 间 (a,b)内就构成了一个新的函数,就

是函数 f(x)的导函数 f ′(x).

第三章

第一节

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( 3 ) 函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f ′(x0)就是导函数 f ′(x) 在点 x=x0 处的函数值,即 f ′(x0)=f ′(x) |x=x0. 3 . (理 )运 用 复 合 函 数 的 求 导 法 则 意以下几个问题 ( 1 ) 分 清 楚 复 合 函 数 的 复 合 关 系 是 由 哪 些 基 本 函 数 复 合 而 成,适当选定中间变量; ( 2 ) 分 步 计 算 中 的 每 一 步 都 要 明 确 是 对 哪 个 变 量 求 导 , 而 其 中 特 别 要 注 意 的 是 中 间 变 量 的 导 数 , 求 导 后 转换成自变量的函数. ..........
第三章 第一节

y′x=y′u· u′x,应注

要把中间变量 ......

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高频考点通关

第三章

第一节

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导数的概念

设 f(x)为 可 导 函 数 , 且 满 足 -1, 则 过 曲 线 A.2

f?1?-f?1-2x? lim = 2 x x→0 ( )

y=f(x)上 点 (1,f( 1 ) 处 的 切 线 斜 率 为 B. -1 C.1 D. -2

[答案] B

第三章

第一节

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f?1?-f?1-2x? f?1-2x?-f?1? [解 析 ] lim =lim = - 1, 2 x - 2 x x→ 0 x→0 即 y′|x=1= - 1, 则 y=f(x)在 点 (1,f( 1 ) 处 的 切 线 斜 率 为 - 1, 故 选 B.

第三章

第一节

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[方 法 规 律 总 结 处 导数 的 方 法 : ( 1 ) 求 函 数 的 增 量 ( 2 ) 求 平 均 变 化 率

]

1.根 据 导 数 的 定 义 求 函 数

y=f(x)在 点 x0

Δy=f(x0+Δx)-f(x0); Δy f?x0+Δx?-f?x0? ; Δx= Δx

Δy ( 3 ) 得 导 数 f ′(x0)=lim Δx, 简 记 作 : 一 差 、 二 比 、 三 极 Δ x→ 限 . 2. 要 准 确 理 解 “自 变 量 的 改 变 量 Δx”的 含 义 .

第三章

第一节

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f?x0-k?-f?x0? 若 f ′(x0)=2, 则 lim 的 值 为 ________. 2 k k→0

[答案] -1

第三章

第一节

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[解 析]

令 - k=Δx, 则 k= - Δx,

f?x0+Δx?-f?x0? ∴原 式 = lim -2Δx Δx→0 f?x0+Δx?-f?x0? 1 1 = - 2 lim = - 2f ′(x0)= - 1. Δ x Δx→0

第三章

第一节

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导数的几何意义

(文)已 知 函 数 都 过 点 P( 2 0 ,) g(x)=_ _ _ _ _ _ _ _ .
[答案]

f(x)=2x3+a x 与 g(x)=b x 2+c 的 图 象 f(x)=_ _ _ _ _ _ _ _ ,

, 且 在 点

P处 有 公 共 切 线 , 则

2x3-8x 4x2-16

第三章

第一节

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[解 析]

∵f(x)=2x3+ax 的 图 象 过 点

P( 2 0 ,)



∴a= - 8,∴f(x)=2x3-8x, ∴f ′(x)=6x2-8. ∵g(x)=bx2+c 的 图 象 过 点 P( 2 0 ,) ,∴4b+c=0.

又 g′(x)=2bx,g′( 2 ) =4b=f ′( 2 ) =16, ∴b=4,∴c= - 16,∴g(x)=4x2-16. 综 上 可 知 , f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16.

第三章

第一节

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(理) ( 2 0 1 3 ·

德 州 期 末 )设 a 为 实 数 , 函 数

f(x)=x3+ax2+(a y=f(x)

-3)x 的 导 函 数 为 在 原 点 处 的 切 线 方 程 为 A.y=3x+1

f ′(x), 且 f ′(x)是 偶 函 数 , 则 曲 线 ( ) B.y= - 3x D.y=3x-3

C.y= - 3x+1

[答案] B

第三章

第一节

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[分 析]

运 用 导 数 公 式 可 求

f ′(x), 由 f ′(x)为 偶 函 数 求 k=f ′( 0 ) , 最 后

出a的 值 , 再 求 得 出 切 线 方 程 .

y=f(x)在 原 点 处 的 切 线 斜 率

第三章

第一节

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[解 析]

∵f ′(x)=3x2+2ax+a-3 为 偶 函 数 ,

∴a=0,

∴f(x)=x3-3x,f ′( 0 ) = - 3, ∴所 求 切 线 方 程 为 y= - 3x.

第三章

第一节

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[方 法 规 律 总 结

]

1.求 曲 线 的 切 线 方 程 .

( 1 ) 求 曲 线 y=f(x)在 点 P(x0,y0)处 的 切 线 方 程 : ①求 出 函 数 y=f(x)在点 x=x0 处 的 导 数 , 即 曲 线 y=f(x)

在 点 P(x0,f(x0))处 切 线 的 斜 率 ; ②由 点 斜 式 方 程 求 得 切 线 方 程 为 y-y0=f ′(x0( ) · x-x0).

第三章

第一节

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( 2 ) 求 过 点 P(x0,y0)的 曲 线 y=f(x)的 切 线 方 程 . ①验 证 点 P是 否 在 曲 线 若 点 P在 曲 线 上 , 按 y=f(x)上 . ( 1 ) 求 ; 若 点 P不 在 曲 线 上 , 先 设 出

切 点 , 利 用 导 数 的 几 何 意 义 , 求 出 切 点 坐 标 , 写 出 切 线 方 程 .

第三章

第一节

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2. 导 数 几 何 意 义 的 应 用 ( 1 ) 已 知 切 点 k=f ′(x0); ( 2 ) 已 知 斜 率 ( 3 ) 已 知 过 某 点 需 设 出 切 点 k, 求 切 点 A(x1,f(x1)), 即 解 方 程 f ′(x1)=k; k时 , A(x0, f(x0)), 求 斜 率 k, 即 求 该 点 处 的 导 数 值 :

M(x1,f(x1))(不 是 切 点 )的 切 线 斜 率 为

f?x1?-f?x0? A(x0,f(x0)), 利 用 k= 求 解 . x1-x0

第三章

第一节

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( 4 ) 求 曲 线 的 切 线 斜 率 的 取 值 范 围 , ( 5 ) 由 切 线 斜 率 3. 注 意 事 项 (或 导 函 数 值

即 求 导 函 数 的 值 域 . )及 切 线 方 程 求 参 数 值 .

( 1 ) 切 点 既 在 原 函 数 的 图 象 上 也 在 切 线 上 , 可 将 切 点 代 入 两 者 的 函 数 解 析 式 建 立 方 程 组 . ( 2 ) 曲线与直线相切不一定只有一个公共点.如 y=x3 在 ( 1 1 ,) 处 的 切 线 l 与 y=x3 的 图 象 还 有 一 个 交 点 (-2, - 8).

第三章

第一节

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( 2 0 1 3 ·

郑州模拟)已 知 三 次 函 数

y=x3-x2-ax+b 在( 0 1 ,)

处 的 切 线 方 程 为

y=2x+1, 则 a+b=________.

[答案] -1

第三章

第一节

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[解 析]

∵y=x3-x2-ax+b,

∴y′=3x2-2x-a. 依 题 意 应 有 f( 0 ) =1 且 f ′( 0 ) =2, 解 得
? - ?a= ? ? ?b=1.

? ?b=1, ∴? ? ?-a=2,

2,

故 a+b= - 1.

第三章

第一节

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导数公式及运算法则

(文)已 知 f0(x)=c o s x, f1(x)=f ′0(x), f2(x)= - f ′1(x),f3(x)=f ′2(x)?,fn+1(x)=(-1 ) nf ′n(x),n∈N*, 则 f2 0 1 4 (x)=( A.s n i x C.c o s x ) B. -s n i x D. -c o s x

[答案] C

第三章

第一节

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[解 析 ] f1(x)= -s n i x,f2(x)=c o s x,f3(x)= -s n i x,f4(x)= c o s x,f5(x)= -s n i x,?, 故 fn(x)的 周 期 为 2,∵2014=2×1007,

∴f2 o s x, 故 选 C. 0 1 4 (x)=f0(x)=c

第三章

第一节

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(理) ( 2 0 1 3 ·

荆州市质检)已知 f0(x)=xex, f1(x)=[f0(x)]′, f2(x)

=[f1(x)]′,?,fn(x)=[fn-1(x)]′,n∈N*. ( 1 ) 求出 fn(x)的表达式; ( 2 ) 求 fn(x)的极小值. [分析] ( 1 ) 由 f0(x)入 手 , 运 用 积 的 导 数 运 算 法 则 , 可 依 次

求得 f1(x),f2(x),?,fn(x). ( 2 ) 令 fn′(x) > 0 ( fn′(x) < 0 ) 可求得 fn(x)的单调增(减)区间, 即可求得极值.

第三章

第一节

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[解 析]

( 1 ) ∵f0(x)=xex,∴f1(x)=[f0(x)]′=(xex)′=ex+

xex=(1+x)ex, f2(x)=[f1(x)]′=[ ( 1 +x)ex]′=ex+(1+x)ex=(2+x)ex, f3(x)=[f2(x)]′=[ ( 2 +x)ex]′=ex+(2+x)ex=(3+x)ex, ? ∴fn(x)=[fn-1(x)]′=(x+ne ) · x(n∈N*).

第三章

第一节

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( 2 ) ∵fn(x)=(x+ne ) · x, ∴[fn(x)]′=(x+n+1 e ) · x. ∵x>-(n+1)时 , [fn(x)]′>0; x<-(n+1)时 , [fn(x)]′<0, ∴当 x= - (n+1)时 ,fn(x)取 得 极 小 值
+1).

fn[-(n+1 ) ] = - e-(n

第三章

第一节

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[方 法 规 律 总 结

]

1.求 函 数 的 导 数 的 方 法 .

求函数的导数时,如果函数为基本函数的和、差、积、 商 , 则 直 接 运 用 法 则 求 其 导 数 ; 如 果 函 数 不 具 备 求 导 法 则 的 结 构 形 式 , 或 函 数 结 构 比 较 复 杂 , 可 将 函 数 解 析 式 利 用 代 数 、 三 角 运 算 进 行 合 理 变 形 转 化 , 然 后 求 导 以 减 少 运 算 量 , 但 必 须 注 意 变 形 的 等 价 性 . 2.(理)复 合 函 数 求 导 时 , “从 外 到 内 层 层 剥 皮 ”.

第三章

第一节

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求 下 列 函 数 的 导 数 填 空 : x+x5+s n i x ( 1 ) y= ,y′=________; x2 ( 2 ) y=(x+1 ) ( x+2 ) ( x+3),y′=________; x? c o s ( 3 ) y= -s n i 2?1-2 ?
2x

? ?,y′=________; 4?

第三章

第一节

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1 1 ( 4 ) y= + ,y′=________; 1- x 1+ x ex+1 ( 5 ) y= x ,y′=________. e -1

第三章

第一节

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[ 答案 ] 12x+11

3 5 ( 1 ) - x - + 3x2 - 2x - 3s n i x + x - 2c o s x 2 2 2ex ( 5 ) - x ?e -1?2

( 2 ) 3 x2 +

1 2 ( 3 ) 2c o s x ( 4 ) ?1-x?2

第三章

第一节

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[解析]

第三章

第一节

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x? 1 x? o s 2?= s ( 3 ) ∵y= -s n i 2?-c n i x, 2 ? ?
?1 n i ∴y′=?2s ? ? 1 ? x ′= c o s 2 ?

x.

1+ x+1- x 1 1 2 ( 4 ) y= + = = , 1 - x 1- x 1+ x ?1- x??1+ x?
? 2 ? -2?1-x?′ 2 ? ? y′=?1-x?′= = 2 2. ? 1 - x ? ? 1 - x ? ? ?

?ex+1?′?ex-1?-?ex+1??ex-1?′ ( 5 ) y′= ?ex-1?2 ex· ?ex-1?-?ex+1?· ex -2ex = = x x 2 2. ?e -1? ?e -1?
第三章 第一节

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破 解 难 点 综合问题

(文) ( 2 0 1 3 · f(x) < 0 的解集是( 0 5 ,)

广州调研)已知 f(x)是 二 次 函 数 , 不 等 式 ,且 f(x)在点(1,f( 1 ) 处 的 切 线 与 直 线 6x

+y+1=0 平行. ( 1 ) 求 f(x)的解析式; ( 2 ) 是否存在 t∈N , 使 得 方 程
*

37 f(x)+ x =0 在区间(t,t+1)

内有两个不相等的实数根?若存在,求出 t 的值;若不存在, 说明理由.
第三章 第一节

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[分析]

(1)由 二 次 不 等 式

f(x) < 0

的 解 集 可 设 出

f(x)解析

式 , 利 用 条 件 求 出

f ′( 1 ) , 解 出 待 定 系 数 .

( 2 ) 对 方 程 作 等 价 变 形 , 利 用 导 数 和 变 号 零 点 判 定 法 则 探 求 t.

第三章

第一节

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[ 解析] ( 0 5 ,) ,

( 1 ) ∵ f(x) 是 二 次 函 数 , 不 等 式

f(x) < 0

的解集是

∴可 设 f(x)=ax(x-5),a> 0 . ∴f ′(x)=2ax-5a. ∵函 数 f(x)在 点 (1,f( 1 ) 处 的 切 线 与 直 线 行 , ∴f ′( 1 ) = - 6. ∴2a-5a= - 6, 解 得 a=2. ∴f(x)=2x(x-5)=2x2-10x. 6x+y+1=0 平

第三章

第一节

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( 2 ) 由( 1 ) 知 , 方 程 =0.

37 f(x)+ x =0 等 价 于 方 程

2x3-10x2+37

设 h(x)=2x3-10x2+37, 则 h′(x)=6x2-20x=2x(3x-10). 10 10 当 x∈(0, 3 )时 , h′(x) < 0 , 函 数 h(x)在(0, 3 )上 单 调 递 减 ; 10 10 当 x∈( 3 ,+∞)时 , h′(x) > 0 , 函 数 h(x)在( 3 ,+∞)上 单 调 递 增 .
第三章 第一节

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10 1 ∵h( 3 ) =1 > 0 ,h( )= - <0,h( 4 ) =5 > 0 , 3 27 10 10 ∴方 程 h(x)=0 在 区 间 (3, 3 ),( 3 ,4)内 各 有 一 个 实 数 根 , 在 区 间 ( 0 3 ,) ,(4,+∞)内 没 有 实 数 根 . t=3, 使 得 方 程 37 f(x)+ x =0 在 区 间

∴存 在 唯 一 的 正 整 数

(t,t+1)内 有 且 只 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 .

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b (理)已知 f(x)=ax+ +2-2a(a> 0 ) 的 图 象 在 点 x 的 切 线 与 直 线 y=2x+1 平 行 .

(1,f( 1 ) 处

( 1 ) 求 a、b 满 足 的 关 系 式 ; ( 2 ) 若 f(x)≥2 n l x 在[1,+∞)上 恒 成 立 , 求 a的 取值 范 围 .

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[分 析]

( 1 ) 由 条 件 可 求

f ′( 1 ) 得 出 a,b 关 系 式 ; ( 2 ) 构 造 g(x)≥0 在[1, + ∞)上 恒 成

函 数 g(x)=f(x)-2 n l x问 题 转 化 为 立 时 求 a的 取 值 范 围 . 令 分 段 讨 论 .

g′(x)=0 找 出 分 界 点 , 依 据 分 界 点

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[解 析] 由 题 意 知

b ( 1 ) f ′(x)=a- 2, x f ′( 1 ) =2,∴a-b=2.

a-2 ( 2 ) 设 g(x)=f(x)-2 n l x=ax+ +2-2a-2 n l x, x a-2 2 ax2-2x-?a-2? g′(x)=a- x2 -x= x2 a-2 a?x-1??x+ ? a = . x2

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a- 2 当- a <1,即 a>1 时, g(x)在[1,+∞)上单调递增, g(x)m 1 ) =a+a-2+2-2a=0, n i =g( ∴g(x)≥0,即 f(x)≥2 n l x 在[1,+∞)上恒成立, a-2 ∴a>1 符合题意,当- =1 即 a=1 时, a g(x)在[1,+∞)上单调递增,∴a=1 符合题意, a- 2 当- a >1,即 0 < a<1 时,

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a-2 g(x)在[1, - )上 单 调 递 减 , 在 a 递 增 ,

a-2 (- , + ∞)上 单 调 a

a-2 ∵g( 1 ) =0,∴当 x∈[1, - )时 , g(x) < 0 , a ∴0<a<1 不 合 题 意 , 综 上 所 述 , a≥1.

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[失 误 与 防 范

] 曲 线 在 点

A处 的 切 线 与 过 点

A的 切 线 的 区 P 处

分 : 解 答 这 类 曲 线 的 切 线 方 程 问 题 时 , 要 注 意 曲 线 在 点 的 切 线 隐 含 点 P在 曲 线 上 , 曲 线 的 过 点 P的 切 线 , 应 先 验 证

点P是 否 在 曲 线 上 , 再 选 择 相 应 的 解 答 方 案 .

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思 考 题 值 , 若 过 点 ________.

已 知 函 数 A( 0 1 ,6 )

f(x)=ax3+bx2-3x 在 x=± 1处 取 得 极 y = f(x) 的 切 线 , 则 切 线 方 程 为

作 曲 线

[答案]

3x+y-16=0

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[解 析 ] f ′(x)=3ax2+2bx-3, 由 题 意 ± 1是 方 程 f ′(x)=0 的 根 , 2b 1 ∴- =0, - = - 1, 故 a=1,b=0. 3a a 曲 线 方 程 为 设 切 点 为 y=x3-3x, 点 A( 0 1 ,6 ) 不 在 曲 线 上 .

3 M(x0,y0), 则 y0=x0 -3x0.

∵f ′(x0)=3(x2 0-1),

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∴切 线 方 程 为 ∵点 A( 0 1 ,6 )

y-y0=3(x2 ) ( x-x0). 0-1 在 切 线 上 ,

2 ∴16-(x3 ) ( 0 -x0), 0-3x0)=3(x0-1 3 化 简 得 x0 = - 8, 解 得 x0= - 2.

∴切 点 为 M(-2, - 2), 切 线 方 程 为

9x-y+16=0.

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[点 评]

在 求 切 线 方 程 时 很 容 易 将

A( 0 1 ,6 )

理 解 为 曲 线

y=

f(x)上 的 一 点 , 得 出 如 下 错 解 : ∵f ′(x)=3ax2+2bx-3,k=f ′( 0 ) = - 3, ∴切 线 方 程 为 y-16= - 3x, 即 3x+y-16=0.

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(文) ( 2 0 1 2 · +b(a> 0 ) .

安 徽 )设 定 义 在 (0, + ∞)上 的 函 数

1 f(x)=ax+ax

( 1 ) 求 f(x)的 最 小 值 ; ( 2 ) 若 曲 线 y=f(x)在 点 (1,f( 1 ) 处 的 切 线 方 程 为 a、b 的 值 . 3 y=2x,求

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[解 析]

( 1 ) 解 法 1: 由 题 设 和 均 值 不 等 式 可 知 ,

1 f(x)=ax+ax+b≥2+b, 其 中 等 号 成 立 当 且 仅 当 ax=1, 2+b.

1 即 当 x=a时 , f(x)取 最 小 值 为

2 2 1 a x -1 解 法 2:f(x)的导 数 f ′(x)=a- 2= , ax ax2

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1 1 当 x> 时 , f ′(x) > 0 ,f(x)在( , + ∞)上 单 调 递 增 ; a a 1 1 当 0<x<a时 , f ′(x) < 0 ,f(x)在(0,a)上 单 调 递 减 . 1 所 以 当 x=a时 , f(x)取 最 小 值 为 2+b.

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1 ( 2 ) f ′(x)=a- 2, ax 由 题 设 知 , 1 3 f ′( 1 ) =a-a=2, ).

1 解 得 a=2 或 a= - 2(不 合 题 意 , 舍 去

1 3 将 a=2 代 入 f( 1 ) =a+ +b= , 解 得 b= - 1, a 2 所 以 a=2,b= - 1.

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(理) ( 2 0 1 3 ·

荆 州 市 质 检

)设 函 数

1 3 a 2 f(x)= x - x +bx+c, 曲 3 2 y=1.

线 y=f(x)在 点 (0,f( 0 ) 处 的 切 线 方 程 为 ( 1 ) 求 b,c 的 值 ; ( 2 ) 若 a>0, 求 函 数 f(x)的 单 调 区 间 ;

( 3 ) 设 函 数 g(x)=f(x)+2x, 且 g(x)在 区 间 (-2, -1)内 存 在 单调 递 减 区 间 , 求 实 数 a的 取 值 范 围 .

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[解 析] 由 题 意 得

( 1 ) f ′(x)=x2-ax+b,
? ?f?0?=1 ? ? ?f ′?0?=0

, 即

? ?c=1 ? ? ?b=0

.

( 2 ) 由( 1 ) 得 , f ′(x)=x2-ax=x(x-a)(a> 0 ) , 当 x∈(-∞,0)时 , f ′(x) > 0 , 当 x∈(0,a)时 , f ′(x) < 0 , 当 x∈(a, + ∞)时 , f ′(x) > 0 .

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所以函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(a,+∞), 单 调 递 减 区 间 为 (0,a).

( 3 ) g′(x)=x2-ax+2, 依 题 意 , 存 在 +2 < 0 成 立 , 2 即 x∈(-2, - 1)时 , a<(x+ x)m - 2 2即 可 , x a = 所 以 满 足 要 求 a的 取 值 范 围 是 (-∞, - 2 2). x∈(-2, - 1), 使 不 等 式 g′(x)=x2-ax

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规范答题样板

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设 函 数 的 切 线 方 程 为

b f(x)=ax- , 曲 线 x

y=f(x)在 点 (2,f( 2 ) 处

7x-4y-12=0.

( 1 ) 求 f(x)的 解 析 式 ; ( 2 ) 证 明 : 曲 线 y=f(x)上 任 一 点 处 的 切 线 与 直 线 x=0 和 直

线 y=x 所 围 成 的 三 角 形 面 积 为 定 值 , 并 求 此 定 值 .

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[审 题 要 点 ] 两 点 信 息 : 一 是 据 此 可 求 得

( 1 ) 由“f(x)在 点 (2, f( 2 ) 处 的 切 线 方 程 (2, f( 2 ) 在 f(x)的 图 象 上 , 二 是 可 得

”可 得

7 f ′( 2 ) =4,

a,b 的 值 . P(x0,y0)为 切 点 的 切 线 方 程 中 , 分

( 2 ) 在 以 曲 线 上 任 一 点

别 令 x=0,y=x 可 求 得 两 交 点 坐 标 , 直 接 由 三 角 形 面 积 公 式 可 验 证 三 角 形 面 积 为 定 值 .

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[规范解答]

第一步,由切点和切线方程列出关于 a、b

的方程组,求 f(x)解 析 式 . 7 1 ( 1 ) 方程 7x-4y-1 2 =0 可化为 y=4x-3 . 当 x=2 时, y=2. b 又 f ′(x)=a+x2. b 1 ? ?2a-2=2, 于是? ?a+b=7, ? 4 4
? ?a=1, 解得? ? . ?b=3

3 故 f(x)=x-x .

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第 二 步 , 设 曲 线 上 任 一 点

P(x0,y0), 将 点 P处 切 线 方 程

与 两 直 线 方 程 联 立 求 出 交 点 坐 标 , 依 坐 标 验 证 三 角 形 面 积 为 定 值 . ( 2 ) 证 明 : 设 曲 线 在 点 P(x0,y0)为 曲 线 上 任 一 点 , 由 3 y′=1+x2知

P(x0,y0)处 的 切 线 方 程 为

? 3? y-y0=?1+x2?(x-x0), ? 0?

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? 3? ? 3? y-?x0-x ?=?1+x2?(x-x0). ? ? 0? 0?

6 令 x=0 得 y= - ,从 而 得 切 线 与 直 线 x0
? - 为?0, ?

x=0 的 交 点 坐 标

6? ?. x0? y=x 的 交 点 坐

令 y=x 得 y=x=2x0, 从 而 得 切 线 与 直 线 标 为 (2x0,2x0). 所 以 点 P(x0,y0)处 的 切 线 与 直 线 角 形 面 积 为 1? 6 ? ?- ?|2x |=6. 2? x0? 0

x=0,y=x 所 围 成 的 三

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故曲线 y=f(x)上 任 一 点 处 的 切 线 与 直 线 成的三角形的面积为定值,此定值为 6.

x=0, y=x 所围

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