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湖北省襄阳市2014届高三第二次(3月)调研统一测试


2014 年高考襄阳市普通高中第二次调研统一测试 文科数学试题
一、选择题(本大题共 l0 小题。每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 ) 1.已知全集 U=R,集合 A ? {x | x 2 ? x ? 2 ? 0} , B ? {x | 0 ? x ? 3} , 则图中阴影部分所表示的集合为 ( ) A. {x | ?

2 ? x ? 0} B. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | 1 ? x ? 3} D. {x | x ? ?2或x ? 3} ( ) C. 2 x ? y ? 2 ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0 ( )
2 2

2.过点(1,0)且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是 B. x ? 2 y ? 1 ? 0 3.下列命题的否定为假命题的是 A. ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 2 ? 0

A.x ? 2 y ? 1 ? 0

B.任意一个四边形的四个顶点共圆

C.所有能被 3 整除的整数都是奇数 D. ?x ? R, sin x ? cos x ? 1 4.袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球,2 个白球和 3 个黑球,从袋 中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于 ( ) A.0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 5.等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? 6 , S3 ? 18,则公比 q 的值为 ( )

1 1 1 C. 1 或 ? D. ?1 或 ? 2 2 2 6.将函数 y ? sin 2 x( x ? R) 的图象分别向左平移 m(m ? 0) 个单位,向右平移 n(n ? 0) 个
A. 1 B. ? 单位,所得到的两个函数图象都与函数 y ? sin( 2 x ? ( A. )

?
6

) 的图象重合,则 m ? n 的最小值为

4 ? 3

B. ?

C. ?

5 6

D.

2 ? 3

7.设某大学的女生体重 y (单位:kg)与身高 x (单位:cm)具有线性相关关系,根据一 组 样 本 数 据 ( xi , yi )(i ? 1,2,3. .n .) , 用 最 小二 乘 法 建 立的 回 归 方程 为
^

y ? 0.85x ? 85.71 则下列结论中不正确的是
A.y 与 x 具有正的线性相关关系

(

)

B.回归直线过样本点的中心 ( x, y ) C.若某女生身高增加 1cm.则其体重约增加 0.85kg D.若某女生身高为 l70cm。则可断定其体重为 58.79kg 8.右图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 ( A. ? B.

)

4 ? 3

C.

? 2

D.

3 ? 2

9.假设在时间间隔 T 内的任何时刻,两条不相关的短信机会均等地进入同 (0 ? t ? T ) 称手机受 一台手机.若这两条短信进入手机的间隔时间不大于 t 到干扰,则手机受到干扰的概率是 ( )

t 2 t 2 t 2 ) C. 1 ? ( ) D. 1 ? (1 ? ) T T T 3 10.已知函数 f ( x) ? x ?12x ? a 其中 a ? 16 ,则下列说法正确的是 ( A. f ( x) 有且只有一个零点 B. f ( x) 至少有两个零点 C. f ( x) 最多有两个零点 D. f ( x) 一定有三个零点
2 ( ) A.

t T

( 1? B.

)

1

二.填空题(本大题共 7 小题。每小题 5 分。共 35 分。将答寒填在答题卡相应位置上。 ) 11.已知 i 是虚数单位.复数 z 满足 z (1 ? i ) ? 1 ,则 | z |? . 12. 平面直角坐标系中, 已知 A(1, O) ,B(0, 1) ,C(-1,c ) (c ? 0 ) , 且 | OC |? 2 ,若 OC ? ?OA ? ?OB (λ、μ 是实数) . (1) ? = ; (2) ? = . 13.执行如图所示的程序框图(其中 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数) ,则 输出的 S 值 . 14.某调查机构就某单位一千多名职工的月收入进行调查,现从中随机 抽出 100 名,已知抽到的职工的月收入都在[1500,4500]元之间,根据 调查结果得出职工的月收入情况残缺的频率分布直方图如图所示,则

(1)该单位职工的月收入在[3000,3500)之间的频率是 ; (2)该单位职工的月收入的平均数大约是 . 15.某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示 用煤(吨) 用电(千瓦) 产值(万元) 甲产品 5 10 4 乙产品 6 20 6 但该厂每天可用的煤、电有限,每天供煤至多 50 吨,供电至多 l40 千瓦,该厂最大日产值 为 万元. 16. 若圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 恰有两点到直线 2 x ? y ? c ? 0(c ? 0) 的距离等于 1, 则c 的取值范围为 . 17. n 个连续自然数按规律排成下表:
2 2

根据规律,从 2012 到 2014 的箭头方向依次为 . ①↓→ ②→↑ ③↑→ ④→↓ 三.解答题(本大题共 5 小题,满分 65 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 18. (本大题满分 12 分) 设 a ? R ,函数 f ( x) ? cos x(a sin x ? cos x) ? cos (
2

?

? ? x) 满足 f ( ? ) ? f (0) . 3 2
a 2 ? c2 ? b2 c ? , 2 2 2 a ?b ?c 2a ? c

(1)求 f ( x ) 的单调递减区间; (2) 设锐角△ABC 的内角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c , 且 求 f ( A) 的取值范围.

2

19. (本大题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 且满足

Sn a ( a 是常数且 a ? 0 , a ? 2 ) , ? an ? 2 a ? 2

bn ?

2S n ? 1. an

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 为等比数列,求 {bn } 的通项公式; (3)在(2)的条件下,记 cn ? log3 b1 ? log3 b2 ? ...? log3 bn,?n ? N * 是否存在正 整数 m ,使

1 1 1 m ? ? ... ? ? 都成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由. c1 c2 cn 3

20. (本大题满分 13 分) 如图,在底面是正方形的四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥面 ABCD,BD 交 AC 于点 E,F 是 PC 上 的点,PF=FC,G 为 AC 上一动点. (1)求证:BD⊥FG; (2)确定点 G 在线段 AC 上的位置,使 FG∥平面 PBD,并说明理由. (3)如果 PA=AB=2,求三棱锥 B-CDF 的体积.

3

21. (本大题满分 l4 分) 设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 曲线 y ? f ( x) 通过点(0,2a ? 3 ) ,且在 x ? 1 处的 切线垂直于 y 轴. (1)用 a 分别表示 b 和 c ; (2)当 bc 取得最大值时,写 y ? f ( x) 的解析式; (3)在(2)的条件下,若函数 y ? g ( x) 为偶函数,且当 x ? 0 时, g ( x) ? f ( x)e? x (x) , 求当 x ? 0 时 g ( x) 的表达式,并求函数 y ? g ( x) 在 R 上的最小值及相应的 x 值.

22. (本大题满分 14 分) 若中心在原点的椭圆 C1 :
2 2

x2 y2 ? ?( 1 a ? b ? 0) 与双曲 a 2 b2

线: x ? y ? 2 有共同的焦点,且它们的离心率互为倒数,圆

C 是椭圆的上顶点, C2 的直径是椭圆 C1 的长轴, 动直线 AB 过 点 C 且与圆 C2 交于 A 、 B 两点, CD 垂直于 AB 交椭圆于点 D. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)求△ABD 面积的最大值,并求此时直线 AB 的方程.

4

参考答案及评分标准 说明 1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评 分标准的精神进行评分。 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。 当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解未改变这一题的内 容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分 数的一半,如果有较严重的概念性错误,就不给分。 3.解答题中右端所标注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数。 一.选择题:AADBC BDBDC 2 二.填空题:11. 12. (1)-1 (2) 3 13.9 14. (1)0.25 (2)2900 2 15.46 16. ( 5 , 17.① 3 5) 三.解答题: ? a 18. (1)解: f ( x) ? cos x(a sin x ? cos x) ? cos 2 ( ? x) ? sin 2 x ? cos 2 x 2分 2 2 ? 3a 1 由 f (? ) ? f (0) 得: ? 4分 ? ? ?1 ,∴ a ? 2 3 3 4 2 ∴ f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ? 由 2k ? ?

?

3 ? 5 ? 得: k ? ? ≤ x ≤ k ? ? ? (k?Z) 2 3 6 ? 5 ∴f (x)的单调递减区间为: [k ? ? , k ? ? ? ] (k?Z) 3 6 2ac cos B c cos B c a 2 ? c2 ? b2 c ? ? (2)解:∵ 2 ,由余弦定理得: ? 2 2 2ab cos C b cos C 2a ? c 2a ? c a ?b ?c 即 2a cos B ? c cos B ? b cos C 由正弦定理得: 2 sin A cos B ? sin C cos B ? sin B cos C 即 2 sin A cos B ? sin( B ? C ) ? sin A 分 ? 1 又 sin A≠0,故 cos B ? ,∴ B ? 3 2 2? ? ? ∵△ABC 锐角三角形,∴ C ? ?B? ? A? 3 2 6 ? ? ? ? 5? ∴ ? A ? , ? 2A ? ? 6 2 6 6 6 2 ≤ 2x ? 6 ≤ 2k ? ?
∴ f ( A) ? 2sin(2 A ? 分 19. (1)解:由 ∴ S1 ? a1 ?
Sn a a ? 得: Sn ? (an ? 2) an ? 2 a ? 2 a?2

?

?

6

)

6分

8分 8分

10

?

6

) 的取值范围为(1,2].

12

a (a1 ? 2) ,a1=a a?2 a a a a 当 n≥2 时, an ? (an ? 2) ? (an?1 ? 2) ? an ? an?1 a?2 a?2 a?2 a?2 a a (a ? 2)an ? aan ? aan ?1 ,∴ n ? an ?1 2

1分

3分

5

∴数列{an}是首项为 a,公比为

a 的等比数列 2
4分

a a ∴ an ? a( )n?1 ? 2( )n 2 2
a a a([1 ? ( )n ] 2a ? 2a( )n 2 2 (2)解: Sn ? ? a 2?a 1? 2 a n a 4a ? 4a ( ) 2a ? (2 ? 3a)( )n 1 2 ? 2 ? 2a ? ( 2 )n ? 2 ? 3a bn ? ?1? a a 2?a (2 ? a) a 2?a 2( )n (2 ? a)( ) n 2 2 2 若数列{bn}为等比数列,则 2-3a =0, a ? 3 n ∴bn = 3
(3)证: cn ? log3 b1 ? log3 b2 ? ? ? log3 bn ? log3 b1b2 ?bn ? log3 31?2??? n 分 ∴
1 2 1 1 ? ? 2( ? ) cn n(n ? 1) n n ?1

6分

8分 10

n(n ? 1) ? 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 2(1 ? ) c1 c2 cn 2 2 3 n n ?1 n ?1

11

分 由
1 1 1 m 1 m * ? ??? ≥ ?n?N 都成立得: 2(1 ? )≥ c1 c2 cn 3 n ?1 3

6 * ?n?N 都成立 n ?1 ∵m 是正整数,∴m 的值为 1、2、3. 分 20. (1)证:∵ABCD 是正方形,∴BD⊥AC ∵PA⊥面 ABCD,∴PA⊥BD 又 PA、AC 在平面 PAC 内,∴BD⊥平面 PAC FG 在平面 PAC 内,∴BD⊥FG.
即 m≤6 ?

12

2分 4分

1 GC 2 1 CF 2 1 CG 2 在△CPE 中, PF ? FC ,∴ ? , EG ? GC ,∴ ? 2 CP 3 2 CE 3 CF CG 故 ? CP CE ∴△CGF∽△CEP,因此 FG∥PE 又 PE 在平面 PBD 内,∴FG∥平面 PBD. (3)解:在平面 PAC 中,过点 F 作 FH∥PA 交 AC 于 H ∵PA⊥面 ABCD,∴FH⊥面 ABCD 分 FH CF 2 2 4 在△CAP 中, ? ? ,∴ FH ? PA ? PA CP 3 3 3 1 S?BCD ? ? BC ? CD ? 2 2 分
(2)解:连结 PE,在 EC 上取一点 G,使 EG ?
6

6分 8分 10

12

∴ VB?CDF ? VF ? BCD ?

1 1 4 8 S?BCD ? FH ? ? 2 ? ? . 3 3 3 9

13

分 21. (1)解: f ?( x) ? 2ax ? b
? f (0) ? 2a ? 3 ?c ? 2 a ? 3 ?? 由已知得: ? ? f (1) ? 0 ? ? 2a ? b ? 0 即 c = 2a + 3,b =-2a 3 9 (2)解: bc ? ?2a(2a ? 3) ? ?4(a ? )2 ? 4 4 3 3 3 ∴当 a ? ? 时,bc 取得最大值,此时 b ? , c? 4 2 2 3 3 3 故 f ( x) ? ? x 2 ? x ? 4 2 2 3 3 3 (3)解:x≥0 时, g ( x) ? (? x2 ? x ? )e? x 4 2 2 3 3 3 当 x<0 时,-x>0, g (? x) ? (? x2 ? x ? )e x 4 2 2 3 3 3 ∵函数 y=g(x)为偶函数,∴ g ( x) ? g (? x) ? (? x2 ? x ? )e x ( x ? 0) 4 2 2 3 3 3 3 3 3 此时, g ?( x) ? (? x ? )ex ? (? x2 ? x ? )e x ? (? x2 ? 3x)e x 2 2 4 2 2 4 分 当 x<-4 时, g ?( x) ? 0 ,当-4<x<0 时, g ?( x) ? 0

1分 2分 3分

5分

9分 10

∴函数 y=g(x)在(-∞,-4)是减函数,在(-4,0)是增函数 分 9 故 x=-4 时,g(x)有最小值 g (?4) ? ? e?4 2 ∵函数 y = g (x)为偶函数,∴x = 4 时,g (x)也有最小值 g (4) ? ? 因此,x=±4 时,g(x)有最小值 ? 分 22. (1)解:双曲线 x -y =2 的焦点为(±2,0) ,离心率为 2 c 2 由题意,c = 2, ? ,解得: a ? 2 2 a 2 2 2 2 ∴b = a -c = 45 y2 x2 ∴椭圆方程为 ? ?1 8 4 (2)解:当直线 AB 斜率不存在时,不符合题意 当 AB 斜率存在且不为 0 时,设直线 AB 的方程为 y=kx+2,直线 CD 的方程为 y ? ? 圆心(0,0)到直线 AB 的距离为 d ?
2 k ?1
2
2 2

11

9 ?4 e 2
14

9 ?4 e 2

2分

4分

1 x?2 k
5分

∴直线 AB 被圆 C2 所截得的弦长 | AB | ? 2 8 ? d 2 ?

4 2k 2 ? 1 k2 ? 1

6分

7

? x2 ? ? ? 由? 8 ?y ? ? ? ?

y2 ?1 4 得: (k 2 ? 2) x2 ? 8kx ? 0 1 x?2 k 8k 1 8k 2k 2 ? 4 ∴ xD ? 2 ,yD ? ? ? 2 ?2? 2 k k ?2 k ?2 k ?2

7分 8分 9分

故 | CD |? ( ∴ S?ABD ?

8k 2 2k 2 ? 4 8 k2 ?1 2 ) ? ( ? 2) ? k2 ? 2 k2 ? 2 k2 ? 2

1 4 2k 2 ? 1 8 k 2 ? 1 16 2k 2 ? 1 ? ? 2 ? 2 k ?2 k2 ? 2 k2 ? 1 t2 ? 1 2 令 t ? 2k 2 ? 1 ,则 k 2 ? (t ? 1) 2 16t 32t 32 32 16 3 故 S?ABD ? 2 ? 2 ? ≤ ? 3 3 t ?1 t ?3 2 3 t? ?2 t 2 分 3 当且仅当 t ? ,即 t ? 3 时,等号成立 t
此时 2k 2 ? 1 ? 3 ? k ? ?1 分 当直线 AB 斜率为 0,即 AB∥x 轴时, S?ABD ? 8 ? ∴△ABD 面积的最大值为 分

11

12

16 3 3
14

16 3 ,这时直线 AB 的方程为 y ? ? x ? 1 . 3

8


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