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福建省南安第一中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案


本试卷考试内容为:数学必修 2,试 卷共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 参考公式:柱体体积公式: V ? sh ,椎体体积公式:V ?
2

1 sh ,其中 S 为底面面积,h 为高; 3

球的表面积公式: S ? 4? R ,其中 R 为球的半径.

第 I 卷(选择题
一项符合题目要求.

共 60 分)

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有

1.已知直线经过点 A(0, 4) 和点 B(1, 2) ,则直线 AB 的斜率为( B ) A.3 B.-2 C. 2 D. 不存在

2.圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的位置关系是( B ) A.相离 B.相交 C.外切 D.内切

3.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ① 若 m ? ? , n / /? ,则 m? n ③ 若 m / /? , n / /? ,则 m / / n 其中正确命题的序号是( A A.①和② ) C.③和④ D.①和④ ② 若 ? / / ? , ? / /? , m ? ? ,则 m?? ④ 若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ?

B.②和③

4.如图是一个无盖正方体盒子的表面展开图, A, B, C 为其上的三个点, 则在正方体盒子中, ?ABC 等于( B ) A. 45
o

B. 60

o

C. 90

o

D. 120

o

5.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3, 则正视图中的 x 的值是( A.2 C.
3 2

D
9 2


2
正视图

x
1 1

B.

侧视图

D.3

-1-

俯视图

6.已知 a , b 是两条异面直线, c / / a ,那么 c 与 b 的位置关系( C A.一定是异面 B.一定是相交 C.不可能平行

) D.不可能相交 C )

7.自点 A(3,5) 作圆 C : ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 的切线,则切线的方程为( A. 3x ? 4 y ? 29 ? 0 C. x ? 3 或 3x ? 4 y ? 11 ? 0 B. 3x ? 4 y ? 11 ? 0 D. y ? 3 或 3x ? 4 y ? 11 ? 0

8.如图中 O?A?B?C ? 为四边形 OABC 的斜二测直观图,则原平面图形 OABC 是( A.直角梯形 C.非直角且非等腰的梯形 B.等腰梯形 D.不可能是梯形
o o

A



C? O?

y?

B?

x?
A?

9. k 是直线 l 的斜率, ? 是直线 l 的倾斜角,若 30 ? ? ? 90 ,则 k 的取值范围是( C ) A. 0 ? k ?

3 3

B.

3 ? k ?1 3

C. k ?

3 3

D. k ?

3 3

10. 两圆相交于点 A(1,3) ,B(m, ?1) , 两圆的圆心均在直线 x ? y ? c ? 0 上, 则 m? c ? ( C ) A.-1 B.2 C.3 D.0
A1 B1 C1 S

11.在体积为 15 的斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, S 是 C1C 上的一点,

S ? ABC 的体积为 3,则三棱锥 S ? A1B1C1 的体积为( C )
A.1

3 B. 2

A

C B

C.2

D.3

12. 若动点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 分别在直线 l1 : x ? y ? 7 ? 0 和 l2 : x ? y ? 5 ? 0 上移动, 点N 在 圆 C: x ? y ? 8 上移动,则 AB 中点 M 到点 N 距离 | MN | 的最小值为( A )
2 2

A. 2

B. 2( 3 ? 2)

C. 3

D. 2 2

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二.填空题:本大题共 4 小题,每题 4 分,共 16 分. 13 . 在 空 间 直 角 坐 标 系 o ? xyz 中 , 已 知 点 A(1, ?2,1) , B(2,1,3) , 点 P 在 z 轴 上 , 且

| PA |?| PB | ,则点 P 的坐标为 (0, 0, 2) .
14.已知点 A(1, 2) , B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是 4 x ? 2 y ? 5 ? 0 .

-2-

15.过点 A(3,1) 作圆 C : ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的弦,其中最短的弦长为 2 2 . 16.如图,三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中,侧棱 AA1 ⊥底面 A1B1C1 ,底面三角形 A1B1C1 是正三角 形, E 是 BC 中点,则下列命题中:

① CC1 与 B1E 是异面直线; ② AC ⊥底面 A 1B 1BA ; ③ 二面角 A ? B1E ? B 为钝角; ④ AC 1 ∥平面 AB 1E . 其中正确命题的序号为 ④ . (写出所有正确命题的序号)

三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 求经过直线 L1 : 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与直线 L2 : 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 的交点

M ,且满足下列条件的直线 L 的方程:
(1)与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 平行; (2)与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 垂直.

解: ?

?3x ? 4 y ? 5 ? x ? ?1 解得 ? ?2 x ? 3 y ? ?8 ?y ? 2

所以交点 M (?1, 2)

…………4 分

(1)依题意,所求直线斜率 k ? ?2

…………6 分 …………8 分

故所求直线方程为 y ? 2 ? ?2( x ? 1) ,即: 2 x ? y ? 0 (2)依题意,所求直线斜率 k ? 故所求直线方程为 y ? 2 ?

1 , 2

…………10 分 …………12 分

1 ( x ? 1) ,即: x ? 2 y ? 5 ? 0 2

18. (本小题满分 12 分)如图,在底面是直角梯形的四棱锥 S ? ABCD 中, ?ABC ? 90 ,

-3-

SA ? 面ABCD , SA ? AB ? BC ? 2 , AD ? 1 .

(1)求证: 面SAB ? 面SBC ; (2)求 SC 与底面 ABCD 所成角的正切值. (1)证明: 又

SA ? 面ABCD,BC ? 面ABCD, ? SA ? BC AB ? A, B C? 面 S A B
…………8 分

AB ? BC,SA

? BC ? 面SAB ? 面SAB ? 面SBC

(2)解:已知 SA ? 面ABCD ,连结 AC,则 ?SCA 就是 SC 与底面 ABCD 所成的角, 则在直角三角形 SCA 中, SA ? 2 , AC ? 22 ? 22 ? 2 2 ,

tan ?SCA ?

SA 2 2 ? ? AC 2 2 2

…………12 分

19. (本小题满分 12 分)如下的三个图中,左边的是一个长方体截去一个角所得多面体的直 观图,它的正视图和侧视图在右边画出(单位:cm ) , P 为原长方体上底面 A1B1C1D1 的中心. (1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图(直尺作图) ; (2)以 D 为原点建立适当的空间直角坐标系(右手系) ,在图中标出坐标轴,并按 照给出的 尺寸写出点 E , P 的坐标; (3)连接 AP ,证明: AP ∥面 EFG .
D1 G F P B1 E D C C1

3

6

2 2

4

(正视图)
3 6

4

(侧视图)
2 2

A

B

-4-

4

(1)解:如图(徒手作图不得分, 尺寸不准确酌情给分) …………4 分

(2)解:建立如图直角坐标系
D1 G

z
C1 F P B1

E(4,0, 2) P(2,3, 4)
…………8 分

E

D

y
C B

x

A

(3)证明:连接 AB1 , AD1 , B1D1 ,依题意知: E, F , G 分别为原长方体所在棱中点,

GF ∥ B1D1 , GF ? 面AB1D1
EF ∥ AB1 , EF ? 面AB1D1
又 GF ? EF ? F

∴ GF ∥ 面AB1D1 ∴ EF ∥ 面AB1D1

∴ 面EFG ∥ 面AB1D1 ∴ AP ∥面 EFG
2 2

又∵ AP ? 面AB1D1

……12 分

20. (本小题满分 12 分)已知圆 C : x ? y ? 4 x ? 4 y ? m ? 0 ,直线 l : x ? y ? 2 ? 0 . (1)若圆 C 与直线 l 相离,求 m 的取值范围; (2)若圆 D 过点 P(1,1) ,且与圆 C 关于直线 l 对称,求圆 D 的方程. 解: (1)圆 C : x ? y ? 4 x ? 4 y ? m ? 0 即 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 8 ? m
2 2 2 2

圆心 C (?2, ?2) 到直线 l 的距离 d ?

| ?2 ? 2 ? 2 | ? 2 , 2

………… 2 分

2 若圆 C 与直线 l 相离,则 d ? r ,∴ r ? 8 ? m ? 2 即 m ? 6 2 又r ? 8?m ? 0 即 m ? 8

………… 4 分

∴6 ? m ? 8

………… 6 分

-5-

(2)设圆 D 的圆心 D 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,由于圆 C 的圆心 C (?2, ?2) , 依题意知:点 D 和点 C 关于直线 l 对称, ………… 7 分

? x0 ? 2 y 0 ? 2 ? ?2?0 ? ? x0 ? 0 ? 2 2 ? 则有: ? , ? y0 ? 2 ? y0 ? 0 ? ? (?1) ? ?1 ? ? x0 ? 2
∴圆 C 的方程为: x 2 ? y 2 ? r 2 , ∴1 ? 1 ? r ? r ?
2 2 2

…………10 分

又因为圆 C 过点 P(1,1) , ∴圆 D 的方程为: x 2 ? y 2 ? 2 ……12 分

2,

21. (本小题满分 12 分)如图,在长方形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1 , E 为 CD 的中点,以

AE 为折痕,把 ?DAE 折起为 ?D ?AE ,且平面 D?AE ? 平面 ABCE 。
(1)求证: AD ? ? BE (2)求四棱锥 D? ? ABCE 的体积; (3)在棱 D?E 上是否存在一点 P ,使得 D?B ∥平面 PAC ,若存在,求出点 P 的位置,不存 在,说明理由。

D' D E C E A B A B C

(1)证明:在长方形 ABCD 中, ?DAE 和 ?CBE 为等腰直角三角形,
o o ∴ ?DEA ? ?CEB ? 45 ,∴ ?AEB ? 90 ,即 BE ? AE

………… 2 分

∵平面 D?AE ? 平面 ABCE ,且平面 D?AE ∴ BE ? 平面 D?AE , AD ? ? 平面 D?AE ∴ AD ? ? BE

平面 ABCE ? AE ,

………… 4 分

D'

(2)取 AE 中点 F ,连接 D ?F ,则 D ?F ? AE ∵平面 D?AE ? 平面 ABCE , 且平面 D?AE 平面 ABCE ? AE ,

P F
-6-

E Q B

C

D?F ? 平面 ABCE ,

A

∴ VD?? ABCE ?

1 S ABCE ? D?F 3
………… 8 分

1 1 2 2 ? ? ? (1 ? 2) ?1? ? 3 2 2 4
(3)解:如图,连接 AC 交 BE 于 Q,连接 PQ, 若 D?B ∥平面 PAC ∵ D ?B ? 平面 D?BE 平面 D?BE 平面 PAC ? PQ ………… 10 分

∴ D?B ∥ PQ ∴在 ?EBD ? 中,

EP EQ EQ EC 1 ? ? ? , ∵在梯形 ABCE 中 PD? QB QB AB 2



1 EP EQ 1 ? ? ,即 EP ? ED? 3 PD? QB 2

∴在棱 D?E 上存在一点 P ,且 EP ?

1 ED? ,使得 D?B ∥平面 PAC 3

………… 12 分

22. (本小题满分 14 分)已知直线 l : y ? kx ? 2 , M (?2,0), N (?1,0) , O 为坐标原点,动点

Q 满足

| QM | ? 2 ,动点 Q 的轨迹为曲线 C . | QN |

(1)求曲线 C 的方程; (2)若直线 l 与圆 O : x ? y ? 2 交于不同的两点 A, B ,当 ?AOB ?
2 2

?
2

时,求 k 的值;

(3) 若k ?

1 ,P 是直线 l 上的动点, 过点 P 作曲线 C 的两条切线 PC 、PD , 切点为 C 、D , 2

探究:直线 CD 是否过定点.

( x ? 2)2 ? y 2 | QM | ? ? 2 解: (1)设点 Q( x, y ) ,依题意知 | QN | ( x ? 1)2 ? y 2
整理得 x ? y ? 2 , ∴曲线 C 的方程为 x ? y ? 2
2 2 2 2

……2 分

…… 4 分

(2)∵点 O 为圆心,∠AOB=

? 2 ,∴点 O 到 l 的距离 d ? r 2 2

…… 6 分



2 k 2 ?1

=

2 · 2 2

?

k ?? 3

…… 8 分

-7-

(2)由题意可知:O、P、C、D 四点共圆且在以 OP 为直径的圆上, 设 P (t , t ? 2) ,则该圆的方程为: x( x ? t ) ? y ( y ?

……9 分

1 2

1 t ? 2) ? 0 2


( 或用圆心 ( , 即

t t t t t2 t t2 t ? 1) ,半径 ? ( ? 1)2 得 ( x ? )2 ? ( y ? ? 1)2 ? ? ( ? 1)2 2 4 2 4 4 4 4 4

1 x 2 ? tx ? y 2 ? ( t ? 2) y ? 0 2

又 C、D 在圆 O: x2 ? y 2 ? 2 上 ∴ lCD : tx ? ( t ? 2) y ? 2 ? 0

1 2



(x ?

y )t ? 2 y ? 2 ? 0 2

…… 12 分

y ? ?x ? ? 0 由? 2 ? ?2 y ? 2 ? 0



1 ? ?x ? 2 ? ? ? y ? ?1
1 2
…… 14 分

∴直线 CD 过定点 ( , ?1)

-8-

南安一中 2014~2015 高一年上学期数学期末考试卷参考答案
一、选择题 1 2 B 3 A 4 B 5 D 6 C 7 C 8 A 9 C 10 C 11 C 12 A

B

二、填空题
13、 (0, 0, 2) 14、 4 x ? 2 y ? 5 ? 0 15、 2 2 16、 ④

三、解答题
17.解: ?

?3x ? 4 y ? 5 ? x ? ?1 解得 ? ?2 x ? 3 y ? ?8 ?y ? 2

所以交点 M (?1, 2) …………6 分

…………4 分

(1)依题意,所求直线斜率 k ? ?2

故所求直线方程为 y ? 2 ? ?2( x ? 1) ,即: 2 x ? y ? 0 (2)依题意,所求直线斜率 k ? 故所求直线方程为 y ? 2 ?

…………8 分

1 , 2

…………10 分 …………12 分

1 ( x ? 1) ,即: x ? 2 y ? 5 ? 0 2

18. (1)证明:

SA ? 面ABCD,BC ? 面ABCD, ? SA ? BC


S

AB ? BC,SA

AB ? A, B C? 面 S A B
…………6 分

B C A D

? BC ? 面SAB ? 面SAB ? 面SBC

(2)解:已知 SA ? 面ABCD ,连结 AC,则 ?SCA 就是 SC 与底面 ABCD 所成的角, 在直角三角形 SCA 中, SA ? 2 , AC ? 22 ? 22 ? 2 2 ,

tan ?SCA ?

SA 2 2 …………12 分 ? ? AC 2 2 2

-9-

19. (1)解:如图(徒手作图不得分,尺寸不准确酌情给分) …………4 分
3 6
2 2

(2)解:建立如图直角坐标系 z
D1 G F P B1 E D

4

(正视图)
C1

4

(侧视图)

y
C

(俯视图) x
A B

E(4,0, 2)

P( 2 , 3 , 4 )

…………8 分

(3)证明:连接 AB1 , AD1 , B1D1 ,依题意知: E, F , G 分别为原长方体所在棱中点, ∵ GF ∥ B1D1 , GF ? 面AB1D1 ∵ EF ∥ AB1 , EF ? 面AB1D1 又 GF ? EF ? F ∴ GF ∥ 面AB1D1 ∴ EF ∥ 面AB1D1

∴ 面EFG ∥ 面AB1D1 ∴ AP ∥面 EFG
2

又∵ AP ? 面AB1D1
2

……12 分
2 2

20.解: (1)圆 C : x ? y ? 4 x ? 4 y ? m ? 0 即 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 8 ? m 圆心 C (?2, ?2) 到直线 l 的距离 d ?

| ?2 ? 2 ? 2 | ? 2, 2

………… 2 分

2 若圆 C 与直线 l 相离,则 d ? r ,∴ r ? 8 ? m ? 2 即 m ? 6 2 又r ? 8?m ? 0 即 m ? 8

………… 4 分

∴6 ? m ? 8

………… 6 分

(2)设圆 D 的圆心 D 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,由于圆 C 的圆心 C (?2, ?2) , 依题意知:点 D 和点 C 关于直线 l 对称, ………… 7 分

- 10 -

? x0 ? 2 y 0 ? 2 ? ?2?0 ? ?x ? 0 ? 2 2 ?? 0 则有: ? , y0 ? 2 ? y0 ? 0 ? ? (?1) ? ?1 ? x0 ? 2 ?
∴圆 C 的方程为: x 2 ? y 2 ? r 2 , ∴1 ? 1 ? r ? r ?
2 2 2

…………10 分

又因为圆 C 过点 P(1,1) , ∴圆 D 的方程为: x 2 ? y 2 ? 2 ……12 分

2,

21. (1)证明:在长方形 ABCD 中, ?DAE 和 ?CBE 为等腰直角三角形,
o o ∴ ?DEA ? ?CEB ? 45 ,∴ ?AEB ? 90 ,即 BE ? AE

………… 2 分

∵平面 D?AE ? 平面 ABCE ,且平面 D?AE ∴ BE ? 平面 D?AE , AD ? ? 平面 D?AE ∴ AD ? ? BE

平面 ABCE ? AE ,

………… 4 分

(2)取 AE 中点 F ,连接 D ?F ,则 D ?F ? AE ∵平面 D?AE ? 平面 ABCE , 且平面 D?AE 平面 ABCE ? AE ,

D'

P F A
………… 8 分

D?F ? 平面 ABCE ,
∴ VD?? ABCE

E Q B

C

1 ? S ABCE ? D?F 3

1 1 2 2 ? ? ? (1 ? 2) ?1? ? 3 2 2 4
(3)解:如图,连接 AC 交 BE 于 Q,连接 PQ, 若 D?B ∥平面 PAC ∵ D ?B ? 平面 D?BE 平面 D?BE 平面 PAC ? PQ ………… 10 分

∴ D?B ∥ PQ ∴在 ?EBD ? 中,

EP EQ EQ EC 1 ? ? ? , ∵在梯形 ABCE 中 PD? QB QB AB 2



1 EP EQ 1 ? ? ,即 EP ? ED? 3 PD? QB 2

- 11 -

∴在棱 D?E 上 存在一点 P ,且 EP ? ED ? ,使得 D?B ∥平面 PAC

1 3

………… 12 分

( x ? 2)2 ? y 2 | QM | 22.解: (1)设点 Q( x, y ) ,依题意知 ? ? 2 | QN | ( x ? 1)2 ? y 2
整理得 x2 ? y 2 ? 2 , ∴曲线 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 2

……2 分

…… 4 分

(2)∵点 O 为圆心,∠ AOB=

? 2 ,∴点 O 到 l 的距离 d ? r 2 2

…… 6 分



2 k 2 ?1

=

2 · 2 2

?

k ?? 3

…… 8 分 ……9 分

(3)由题意可知:O、P、C、D 四点共圆且在以 OP 为直径的圆上, 设 P (t , t ? 2) ,则该 圆的方程为: x( x ? t ) ? y ( y ?

1 2

1 t ? 2) ? 0 2


( 或用圆 心 ( , 即

t t t t t2 t t2 t ? 1) ,半径 ? ( ? 1)2 得 ( x ? )2 ? ( y ? ? 1)2 ? ? ( ? 1)2 2 4 2 4 4 4 4 4
又 C、D 在圆 O: x2 ? y 2 ? 2 上

1 x 2 ? tx ? y 2 ? ( t ? 2) y ? 0 2 1 ∴ lCD : tx ? ( t ? 2) y ? 2 ? 0 即 2

(x ?

y )t ? 2 y ? 2 ? 0 2

…… 12 分

y ? ?x ? ? 0 由? 2 ? ?2 y ? 2 ? 0



1 ? ?x ? 2 ? ? ? y ? ?1
1 2
…… 14 分

∴直线 CD 过定点 ( , ?1)

- 12 -


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