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高中必修一集合复习讲义


【基础知识】
定 义 特 征 表示法 分 类 一组对象的全体形成一个集合 确定性、互异性、无序性 列举法{1,2,3,?}、描述法{x|P} 有限集、无限集 自然数集 N、正整数集 N ?或N ? 、整数集 Z、有理数集 Q、实数集 R、空集φ 元素和集合的关系是 ? 或 ? 如 2 ? M或3 ? N “ ” 集合与集合之间的关系是 " ?, ?, ?, ?

,?,?, Cu A"

集 合

数 集 关 系 运 算

交集 A∩B={x|x∈A 且 x∈B};

并集 A∪B={x|x∈A 或 x∈B};

补集 CU A ={x|x ? A 且 x∈U},U 为全集 性 质 A ? A; φ

? A;

若 A ? B,B ? C,则 A ? C;

A∩A=A∪A=A; A∩φ =φ ;A∪φ =A;A∩B=A B ? A ? B; 方 法 A∩C U A=φ ; A∪C U A=I;C U ( C U A)=A 韦恩示意图 数轴分析

? A∪B=

注意:① 区别∈与 ? 、 ? 与 ? 、a 与{a}、φ 与{φ }、{(1,2)}与{1,2}; ② A ? B 时,A 有两种情况:A=φ 与 A≠φ 4. ③ 对于任意集合 A, B ,则 CU A ? CU B ? CU ( A ? B) ; CU A ? CU B ? CU ( A ? B) ; ④ 若集合

A 中有 n 个元素,则集合 A 的所有不同的子集个数为 2n ,所有真子集的个数是 2n ? 1 ,
n

所有非空子集的个数是 2

? 1 ,所有非空真子集的个数是 2n ? 2 。
【例题解析】

题型 1. 正确理解和运用集合概念 理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键. 例 1.已知集合 M={y|y=x +1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},则 M∩N=( ) A.(0,1),(1,2) B.{(0,1),(1,2)}C.{y|y=1,或 y=2}
n n
2

若集合

A 中有 n 个元素,则集合 A 的所有不同的子集个数为 2n ,所有真子集的个数是 2n ? 1 ,所有非空子
D.{y|y≥1}

集的个数是 M、N ,所有非空真子集的个数是 2 ? 2 。 思路启迪:集合 2 ? 1是用描述法表示的,元素是实数 y 而不是实数对(x,y),因此 M、N 分

别表示函数 y=x +1(x∈R),y=x+1(x∈R)的值域,求 M∩N 即求两函数值域的交集. 解:M={y|y=x +1,x∈R}={y|y≥1}, N={y|y=x+1,x∈R}={y|y∈R}. ∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选 D.
2 点评:①本题求 M∩N,经常发生解方程组 ? y ? x ? 1, 得 ? x ? 0, 或 ? x ? 1, ? ? ? ? y ? 2. ? y ? x ? 1. ? y ? 1,

2

2

从而选 B 的错误,这是由于在集合概念的理解上,仅注意了构成集合元素的共同属性,而忽 视了集合的元素是什么. 事实上 M、 的元素是数而不是点, N 因此 M、 是数集而不是点集. N ② 集合是由元素构成的,认识集合要从认识元素开始,要注意区分{x|y=x +1}、{y|y=x + 1,x∈R}、{(x,y)|y=x +1,x∈R},这三个集合是不同的. 例 2.若 P={y|y=x ,x∈R},Q={y|y=x +1,x∈R},则 P∩Q 等于( ) A.P B.Q C.
2 2 2 2 2 2

D.不知道
2

思路启迪:类似上题知 P 集合是 y=x (x∈R)的值域集合,同样 Q 集合是 y= x +1(x∈R) 的值域集合,这样 P∩Q 意义就明确了. 解:事实上,P、 中的代表元素都是 y,它们分别表示函数 y=x ,y= x +1 的值域,由 P={y|y Q ≥0},Q={y|y≥1},知 Q
2 2 2

P,即 P∩Q=Q.∴应选 B.
2

例 3. 若 P={y|y=x ,x∈R},Q={(x,y)|y=x ,x∈R},则必有( ) A.P∩Q= ? B.P Q C.P=Q D.P Q

例 4 若 A ? {x | x 2 ? 1},B ? {x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0} ,则 A ? B = ( A.{3} B.{1} C. ?

) D.{-1}

题型 2.集合元素的互异性 集合元素的互异性,是集合的重要属性,教学实践告诉我们,集合中元素的互异性常常 被学生在解题中忽略, 从而导致解题的失败, 下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元 素互异性的认识. 例 5. 若 A={2,4, a -2 a - a +7},B={1, a +1, a -2 a +2,- 1 ( a -3 a -8), a +
3 2 2 2 3

2

a +3 a +7},且 A∩B={2,5},则实数 a 的值是________.

2

解答启迪:∵A∩B={2,5},∴ a -2 a - a +7=5,由此求得 a =2 或 a =±1. A={2,4,5},集 合 B 中的元素是什么,它是否满足元素的互异性,有待于进一步考查. 当 a =1 时, a -2 a +2=1,与元素的互异性相违背,故应舍去 a =1. 当 a =-1 时,B={1,0,5,2,4},与 A∩B={2,5}相矛盾,故又舍去 a =-1.
2

3

2

当 a =2 时,A={2,4,5},B={1,3,2,5,25},此时 A∩B={2,5},满足题设. 故 a =2 为所求. 例 6. 已知集合 A={ a , a +b, a +2b}, a , a c, a c }. A=B, c 的值是______. B={ 若 则
2

例 7.已知集合 A={x|x -3x+2=0},B={x|x - a x+ a -1=0},且 A∪B=A,则 a 的值 为______.

2

2

题型 3.要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法 集合与集合之间的关系问题,是我们解答数学问题过程中经常遇到,并且必须解决的问 题,因此应予以重视.反映集合与集合关系的一系列概念,都是用元素与集合的关系来定义 的.因此,在证明(判断)两集合的关系时,应回到元素与集合的关系中去. 例 8.设集合 A={ a | a =3n+2,n∈Z},集合 B={b|b=3k-1,k∈Z},则集合 A、B 的关系是 ________. 解:任设 a ∈A,则 a =3n+2=3(n+1)-1(n∈Z), ∴ n∈Z,∴n+1∈Z.∴ a ∈B,故 A ? B . 又任设 b∈B,则 b=3k-1=3(k-1)+2(k∈Z), ∵ k∈Z,∴k-1∈Z.∴ b∈A,故 B ? A 由①、②知 A=B. 点评:这里说明 a ∈B 或 b∈A 的过程中,关键是先要变(或凑)出形式,然后再推理. 例 9 若 A、B、C 为三个集合, A ? B ? B ? C ,则一定有( ) A . A?C B .C ? A C . A?C D . A?? ② ①

[考查目的]本题主要考查集合间关系的运算.

解:由 A ? B ? B ? C 知, A ? B ? B, A ? B ? C ? A ? B ? C ,故选 A. 例 10.设集合 A ? {1, 2} ,则满足 A ? B ? {1, 2,3} 的集合 B 的个数是( ) A . 1 B .3 C .4 D . 8

例 11. 记关于 x 的不等式 x ? a ? 0 的解集为 P ,不等式 x ? 1 ≤ 1 的解集为 Q .
x ?1

(错误!未找到引用源。 )若 a ? 3 ,求 P ; (错误!未找到引用源。 )若 Q ? P ,求正数 a 的取值范围.

题型 4. 要注意空集的特殊性和特殊作用 空集是一个特殊的重要集合,它不含任何元素,是任何集合的子集,是任何非空集合的 真子集.显然,空集与任何集合的交集为空集,与任何集合的并集仍等于这个集合.当题设 中隐含有空集参与的集合关系时,其特殊性很容易被忽视的,从而引发解题失误. 例 12. 已知 A={x|x -3x+2=0},B={x| a x-2=0}且 A∪B=A,则实数 a 组成的集合 C 是____. 解:由 x -3x+2=0 得 x=1 或 2.当 x=1 时, a =2,当 x=2 时, a =1. 这个结果是不完整的,上述解答只注意了 B 为非空集合,实际上,B= ? 时,仍满足 A∪B=A,当 a =0 时,B= ? ,符合题设,应补上,故正确答案为 C={0,1,2}. 例 13.已知集合 A ? ? x | x ? a ≤ 1? , B ? ? x x 2 ? 5 x ? 4 ≥ 0? .若 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围 是 .
2 2

思路启迪:先确定已知集合 A 和 B. 解: A ? ? x | x ? a ≤ 1? ? ? x a ? 1 ? x ≤ a + 1? , B ? ? x x 2 ? 5 x ? 4 ≥ 0? ? ? x x ≥ 4, x ? 1?.
? a ? 1 ? 4, a ? 1 ? 1.? 2 ? x ? 3.

故实数 a 的取值范围是 (2, . 3) 例 14. 已知集合 A={x|x2+(m+2)x+1=0,x∈R},若 A∩ R? = ? ,则实数 m 的取值范围是 _________.

例 15.已知集合 A={x|x2-3x-10≤0},集合 B={x|p+1≤x≤2p-1}.若 B 的取值范围是________.

A,则实数 p

题型 5.要注意利用数形结合解集合问题 集合问题大都比较抽象, 解题时要尽可能借助文氏图、 数轴或直角坐标系等工具将抽象 问题直观化、形象化、明朗化,然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解. 例 16.设全集 U={x|0<x<10,x∈N*},若 A∩B={3},A∩CUB={1,5,7},CUA∩CUB={9}, 则集合 A、B 是________. 思路启迪:本题用推理的方法求解不如用文氏图,填图的方法来得简捷,由图不难看出. 解:A={1,3,5,7},B={2,3,4,6,8}.

例 17.集合 A={x|x +5x-6≤0},B={x|x +3x>0},求 A∪B 和 A∩B. 解:∵ A={x|x -5x-6≤0}={x|-6≤x≤1},
2

2

2

B={x|x +3x>0}={x|x<-3,或 x>0}. 如图所示, ∴ A∪B={x|-6≤x≤1}∪{x|x<-3,或 x>0}=R. A∩B={x|-6≤x≤1}∩{x|x<-3,或 x>0}={x|-6≤x<-3,或 0<x≤1}. 例 18.设 A={x|-2<x<-1,或 x>1},B={x|x2+ a x+b≤0},已知 A∪B={x|x>-2}, A∩B={x|1<x≤3},求 a 、b 的值.

2

【专题训练】 一.选择题: 1.设 M={x|x +x+2=0}, a =lg(lg10),则{ a }与 M 的关系是( ) A、{ a }=M B、M ? { a } ? C、{ a } ? M ? D、M ? { a }
2

2.已知全集 U =R,A={x|x- a |<2},B={x|x-1|≥3},且 A∩B= ? ,则 a 的取值范围是( ) A、 [0,2] A、 M ? N ? B、 (-2,2)
2

C、 (0,2]
2

D、 (0,2)

3.已知集合 M={x|x= a -3 a +2, a ∈R},N={x|x=b -b,b∈R},则 M,N 的关系是( ) B、M ? N ? C、M=N D、不确定

4. 设集合 A={x|x∈Z 且-10≤x≤-1}, B={x|x∈Z, 且|x|≤5}, A∪B 中的元素个数是 则 ( ) A、11 B、10 C、16 D、15

5.集合 M={1,2,3,4,5}的子集是( ) A、15
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B、16

C、31 )

D、32

6 集合 M={x|x= kx ? ? ,k∈Z},N={x|x= k? ? ? ,k∈Z},则(
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2

4

4

2

A M=N
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B M N
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C M N
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D M∩N= ?
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7 已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1}且 B≠ ? ,若 A∪B=A,则(
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)

A -3≤m≤4
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B -3<m<4
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C 2<m<4
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D 2<m≤4
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8.集合 M= ? x x 2 ? 2 x ? a ? 0, x ? R? ,且 ? ? M .则实数 a 的取值范围是( ) ? A. a ? -1 B. a ? 1 C. a ? -1 D.a ? 1

9.已知集合 M={ a 2 , a }.P={- a ,2 a -1} ;若 card(M ? P)=3,则 M ? P= ( ) A.{-1} B.{1} C.{0} D.{3}

10.设集合 P={3,4,5}.Q={4,5,6,7}.令 P*Q= ?? a, b ? a ? p, b ? Q? ,则 P*Q 中元素的个数 是 ( ) A. 3 二.填空题: 11.已知 M={ m | m ? 4 ? Z },N={x| x ? 3 ? N} ,则 M∩N=__________.
2 2

B. 7

C. 10

D. 12

12.非空集合 p 满足下列两个条件: (1)p ? {1,2,3,4,5}, (2)若元素 a ∈p,则 6- a ∈ ? p,则集合 p 个数是__________. 13.设 A={1,2} ,B={x|x ? A}若用列举法表示,则集合 B 是 .

14.含有三个实数的集合可表示为 ?a, b ,1? ? ?a 2 , a ? b, 0? ,则 a 2007 ? b2008 ? ? ?
? a ?



三.解答题: 15.设 A={x|x +px+q=0}≠ ? ,M={1,3,5,7,9},N={1,4,7,10},若 A∩M= ? ,A∩N=A, 求 p、q 的值.
2

16.已知集合 M={y|y=x +1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},求 M∩N.

2

17.已知集合 A={x|x -3x+2=0},B={x|x -mx+2=0},且 A∩B=B,求实数 m 范围.

2

2

18.已知集合 A ? ? x x 2 ? 2 x ? 3 ? 0? , B ? ? x x 2 ? ax ? b ? 0? ,且 A ? B ? R, A ? B ? x 3 ? x ? 4? ,
A ? B ? R, A ? B ? ? x 3 ? x ? 4? ,求 a ,b 的值.


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