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2013届高考数学一轮复习讲义:第二章


一轮复习讲义

函数的定义域、值 域及函数的解析式

要点梳理
1.函数的定义域

忆一忆知识要点

(1)函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围. (2)求定义域的步骤 ①写出使函数式有意义的不等式(组); ②解不等式组; ③写出函数定义域.(注意用区间或集合的形式写出) (3)常见基本初等函数的定义域 ①分式函数中分母不等于零. ②偶次根式函数、被开方式大于或等于 0.

要点梳理

忆一忆知识要点

③一次函数、二次函数的定义域为 R . ④y=ax (a>0 且 a≠1), y=sin x, y=cos x, 定义域均为 R . ⑤y=tan x 的定义域为 2.函数的值域 (1)在函数 y=f(x)中,与自变量 x 的值相对应的 y 的值叫函 数值,函数值的集合叫函数的值域. (2)基本初等函数的值域 ①y=kx+b (k≠0)的值域是 R .
? ? π ? ? ?x|x∈R且x≠kπ+ ,k∈Z? 2 ? ? ? ?

.

⑥函数 f(x)=x0 的定义域为 {x|x∈R 且 x≠0} .

要点梳理

忆一忆知识要点

②y=ax2+bx+c (a≠0)的值域是:当 a>0 时,值域为 ?4ac-b2 ? ? 4ac-b2? ? ? ? ? ,+∞? -∞, ? 4a ; a<0 时, 当 值域为 ? 4a ? . ? ? ? ? k ③y=x (k≠0)的值域是 {y|y∈R 且 y≠0} . ④y=ax (a>0 且 a≠1)的值域是
(0,+∞) .

⑤y=logax (a>0 且 a≠1)的值域是 R . ⑥y=sin x,y=cos x 的值域是 [-1,1] . ⑦y=tan x 的值域是 R .

要点梳理
3.函数解析式的求法

忆一忆知识要点

(1)换元法:若已知 f(g(x))的表达式,求 f(x)的解析式,通 常是令 g(x)=t,从中解出 x=φ(t),再将 g(x)、x 代入已知 解析式求得 f(t)的解析式,即得函数 f(x)的解析式,这种方 法叫做换元法,需注意新设变量“t”的范围. (2)待定系数法:若已知函数类型,可设出所求函数的解析 式,然后利用已知条件列方程(组),再求系数. ?1? (3)消去法:若所给解析式中含有 f(x)、f?x?或 f(x)、f(-x) ? ? 等形式,可构造另一个方程,通过解方程组得到 f(x). (4)配凑法或赋值法:依据题目特征,能够由一般到特殊或 由特殊到一般寻求普遍规律,求出解析式.

[难点正本

疑点清源]

1.函数的定义域是研究函数问题的先决条件,它会直接影 响函数的性质,所以要树立定义域优先的意识. 2.(1)如果函数 f(x)的定义域为 A,则 f(g(x))的定义域是使 函数 g(x)∈A 的 x 的取值范围. (2)如果 f(g(x))的定义域为 A,则函数 f(x)的定义域是函数 g(x)的值域. (3)f[g(x)]与 f[h(x)]联系的纽带是 g(x)与 h(x)的值域相同.

求函数的定义域
? 1 ? 3x2 ?- ,1? 例 1 (1)函数 f(x)= +lg(3x+1)的定义域为_______. ? 3 ? 1-x ln(x+1) (-1,1) (2)函数 y= 的定义域为_______. 2 -x -3x+4

定义域就是使解析式有意义的自变量的取值集合.注意对 数、根式和分式.
?1-x>0 ? (1)由? ?3x+1>0 ?

1 ,得- <x<1. 3

?x+1>0 ? (2)由? ?-x2-3x+4>0 ?

,得-1<x<1.

探究提高
(1)求函数的定义域,其实质就是以函数解析式所含运算有 意义为准则, 列出不等式或不等式组, 然后求出它们的解集, 其准则一般是: ①分式中,分母不为零; ②偶次根式,被开方数非负; ③对于 y=x0,要求 x≠0; ④对数式中,真数大于 0,底数大于 0 且不等于 1; ⑤由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题的约束. (2)抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系.

变式训练 1
(1)若 f(x)=

1 log 1 (2 x ? 1)
2

,则

? 1 ? ?- ,0? f(x)的定义域为__________. ? 2 ?

要使 f(x)有意义,需 log 1 (2x+1)>0=log 1 1,
2 2

1 ∴0<2x+1<1,∴- <x<0. 2

x-4 (2)若函数 f(x)= 2 的定义域为 R,则实数 m 的取 mx +4mx+3 值范围是__________.
f(x)的定义域为 R,即 mx2+4mx+3≠0 恒成立.
①当 m=0 时,符合条件.
②当 m≠0 时,Δ=(4m)2-4×m×3<0, 3 即 m(4m-3)<0,∴0<m< . 4 ? 3? 综上所述,m 的取值范围是?0,4?. ? ?
? 3? ?0, ? 4? ?

抽象函数的定义域
例 2 若函数 f(2x)的定义域是[-1,1],求 f(log2x)的定义域.

先求 f(x)的定义域,再求 f(log2x)的定义域.
∵f(2x)的定义域是[-1,1],
?1 ? 1 x ∴ ≤2 ≤2,即 y=f(x)的定义域是?2,2?, 2 ? ?

1 由 ≤log2x≤2? 2≤x≤4. 2 ∴f(log2x)的定义域是[ 2,4].

探究提高
已知 f(x)的定义域是[a,b],求 f[g(x)]的定义域,是指满 足 a≤g(x)≤b 的 x 的取值范围,而已知 f[g(x)]的定义域是 [a,b],指的是 x∈[a,b].

变式训练 2
已知 f(x)的定义域是[0,4],求: (1)f(x2)的定义域; (2)f(x+1)+f(x-1)的定义域.
∵f(x)的定义域为[0,4],
(1)有 0≤x2≤4,∴-2≤x≤2. 故 f(x2)的定义域为[-2,2].
?0≤x+1≤4, ? (2)有? ?0≤x-1≤4, ?

∴1≤x≤3.

故 f(x+1)+f(x-1)的定义域为[1,3].
点评 如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商 的形式构成时,定义域是使各部分有意义的公共部分的集合.

求函数的值域
例 3 求下列函数的值域. (1)y=x2+2x (x∈[0,3]); x-3 (2)y= ; x+1 (3)y=x- 1-2x; (4)y=log3x+logx3-1.

根据各个函数解析式的特点,考虑用不同的方法求解. (1)配方法;(2)分离常数法;(3)换元法或单调性法; (4)基本不等式法.

(1)(配方法) y=x2+2x=(x+1)2-1, y=(x+1)2-1 在[0,3]上为增函数,∴0≤y≤15, 即函数 y=x2+2x (x∈[0,3])的值域为[0,15].
(2)(分离常数法) x-3 x+1-4 4 y= = =1- . x+1 x+1 x+1 4 4 因为 ≠0,所以 1- ≠1, x+1 x+1 即函数的值域是{y|y∈R,y≠1}.

(3)方法一

(换元法)

1-t2 令 1-2x=t,则 t≥0 且 x= , 2 1-t2 1 于是 y= -t=- (t+1)2+1, 2 2 ? 1? ? ? 1 ?y|y≤ ?. 由于 t≥0,所以 y≤ ,故函数的值域是? 2? 2 ? ? 方法二 (单调性法)
容易判断函数 y=f(x)为增函数,而其定义域应满足 1- ?1? 1 ? 1? ? ? 1 ? ?= ,即函数的值域是?y|y≤ ?. 2x≥0,即 x≤ ,所以 y≤f 2 2? ? ? 2 ? ? 2 ?

(4)(基本不等式法) 函数定义域为{x|x∈R,x>0,且 x≠1}. 当 x>1 时,log3x>0, 1 于是 y=log3x+ -1≥2 log3x 1 log3x· -1=1; log3x

当 0<x<1 时,log3x<0,于是 ? ? 1 ?? 1 ? ? ?? y=log3x+ -1=-?(-log3x)+?-log x??-1 log3x 3 ?? ? ? ≤-2-1=-3. 故函数的值域是(-∞,-3]∪[1,+∞).

探究提高
(1)当所给函数是分式的形式,且分子、分母是同次的, 可考虑用分离常数法;(2)若与二次函数有关,可用配方法; (3)若函数解析式中含有根式, 可考虑用换元法或单调性法; (4)当函数解析式结构与基本不等式有关,可考虑用基本不 等式求解;(5)分段函数宜分段求解;(6)当函数的图象易画 出时,还可借助于图象求解.

变式训练 3
求下列函数的值域: x2-x (1)y= 2 ; (2)y=2x-1- 13-4x. x -x+1
(1)方法一 (配方法) 1 ∵y=1- 2 , x -x+1 ? 1 ?2 3 3 2 又 x -x+1=?x-2? + ≥ , 4 4 ? ?

1 4 1 ∴0< 2 ≤ ,∴- ≤y<1. 3 x -x+1 3 ? 1 ? ∴函数的值域为?-3,1?. ? ?

方法二

(判别式法) x2-x 由 y= 2 ,x∈R, x -x+1 得(y-1)x2+(1-y)x+y=0.
∵y=1 时,x∈?,∴y≠1.
又∵x∈R,∴Δ=(1-y)2-4y(y-1)≥0, 1 解得- ≤y≤1. 3 ? 1 ? 1 综上得- ≤y<1.∴函数的值域为?-3,1?. 3 ? ?

(2)方法一

(换元法)

13-t2 设 13-4x=t,则 t≥0,x= , 4 13-t2 于是 f(x)=g(t)=2· -1-t 4 12 11 1 =- t -t+ =- (t+1)2+6, 2 2 2 显然函数 g(t)在[0,+∞)上是单调递减函数, 11 所以 g(t)≤g(0)= , 2 ? 11? 因此原函数的值域是?-∞, 2 ?. ? ?

方法二

(单调性法) ? 13? ? ? ?x|x≤ ?, 函数定义域是 4? ? ? ? 当自变量 x 增大时,2x-1 增大, 13-4x减小, 所以 2x-1- 13-4x增大, 因此函数 f(x)=2x-1- 13-4x在其定义域上是一个 单调递增函数, ?13? 11 13 所以当 x= 时,函数取得最大值 f? 4 ?= , 4 2 ? ? ? 11? 故原函数的值域是?-∞, 2 ?. ? ?

求函数的解析式
? 1? 1 ?x+ ?=x2+ 2,求 f(x)的解析式; 例 4 (1)已知 f x? x ? ?2 ? (2)已知 f ?x+1?=lg x,求 f(x)的解析式; ? ?

(3)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+ 17,求 f(x)的解析式; (4)已知 f(x)满足 2f(x)+f
?1? ? ?=3x,求 ?x?

f(x)的解析式.

1 1 2 2 (1)令 x+x=t,则 t =x + 2+2≥4. x 1 2 2 ∴t≥2 或 t≤-2 且 x + 2=t -2, x ∴f(t)=t2-2, 即 f(x)=x2-2 (x≥2 或 x≤-2).

2 2 (2)令x+1=t,由于 x>0,∴t>1 且 x= , t-1 2 2 ∴f(t)=lg ,即 f(x)=lg (x>1). t-1 x-1
(3)设 f(x)=kx+b, ∴3f(x+1)-2f(x-1)=3[k(x+1)+b]-2[k(x-1)+b] =kx+5k+b=2x+17. ?k=2 ?k=2 ? ? ∴? ,即? . ?5k+b=17 ?b=7 ? ? ∴f(x)=2x+7. ?1? ?1? 3 (4)∵2f(x)+f?x?=3x,∴2f?x?+f(x)=x. ? ? ? ? 1 ∴f(x)=2x-x (x≠0).

探究提高
函数解析式的求法 (1)凑配法:由已知条件 f(g(x))=F(x),可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式,然后以 x 替代 g(x),便得 f(x)的解析式; (2)待定系数法: 若已知函数的类型(如一次函数、 二次函数), 可用待定系数法; (3)换元法:已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法,此 时要注意新元的取值范围; (4)方程思想:已知关于 f(x)与 f
?1? ? ?或 ?x?

f(-x)的表达式,可根

据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组, 通过解方程 组求出 f(x).

变式训练 4
给出下列两个条件: (1)f( x+1)=x+2 x; (2)f(x)为二次函数且 f(0)=3, f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求 出 f(x)的解析式. (1)令 t= x+1, ∴t≥1,x=(t-1)2. 则 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1, ∴f(x)=x2-1 (x≥1).

(2)设 f(x)=ax2+bx+c,又 f(0)=c=3. ∴f(x)=ax2+bx+3, ∴f(x+2)-f(x)=a(x+2)2+b(x+2)+3-(ax2+bx+3)=4ax +4a+2b=4x+2. ?4a=4 ?a=1 ? ? ∴? ,∴? ,∴f(x)=x2-x+3. ?4a+2b=2 ?b=-1 ? ?

答题规范

函数问题首先要考虑定义域
(14 分)已知 f(x)=2+log3x,x∈[1,9],试求函数 y=[f(x)]2 +f(x2)的值域.

学生解答展示

审题视角
(1)f(x)的定义域;(2)y=[f(x)]2+f(x2)的定义域与 f(x)的定义 域不同;(3)如何求 y=[f(x)]2+f(x2)的定义域.

规范解答 ∵f(x)=2+log3x 的定义域为[1,9], 要使[f(x)]2+f(x2)有意义,必有 1≤x≤9 且 1≤x2≤9, ∴1≤x≤3, [4 分]

∴y=[f(x)]2+f(x2)的定义域为 [1,3]. 又 y=(2+log3x)2+2+log3x2=(log3x+3)2-3.[8 分]
∵x∈[1,3],∴log3x∈[0,1], ∴ymax=(1+3)2-3=13,ymin=(0+3)2-3=6.[12 分] ∴函数 y=[f(x)]2+f(x2)的值域为[6,13]. [14 分]

批阅笔记

(1)本题考查了函数的定义域、值域的概念及求法,是函数 的重点知识. (2)本题易错原因是忽略对定义域的研究, 致使函数 y=[f(x)]2 +f(x2)的讨论范围扩大. (3)解答有关函数的问题要规范,研究函数问题,首先研究其 定义域,这是解答的规范,也是思维的规范.

方法与技巧
1.函数的定义域是函数的灵魂,它决定了函数的值域,并 且它是研究函数性质的基础.因此,我们一定要树立函数定义域 优先意识. 求函数的定义域关键在于列全限制条件和准确求解方程或不等 式(组);对于含有字母参数的函数定义域,应注意对参数取值的 讨论;对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义. 2.函数值域的几何意义是对应函数图象上点的纵坐标的变 化范围.利用函数几何意义,数形结合可求某些函数的值域. 3.函数的值域与最值有密切关系,某些连续函数可借助函数 的最值求值域,利用配方法、判别式法、基本不等式求值域时, 一定注意等号是否成立,必要时注明“=”成立的条件.

失误与防范
1.求函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要 特别注意定义域对值域的制约作用. 函数的值域常常化归为求函数的最值问题,要重视函数 单调性在确定函数最值过程中的作用.特别要重视实际 问题的最值的求法. 2. 对于定义域、 值域的应用问题, 首先要用“定义域优先” 的原则,同时结合不等式的性质.

考点一

求函数的定义域

1.给定函数的解析式,求函数的定义域的依据是以 函数的解析式所含运算有意义为准则,列出不等式或 不等式组,然后求出它们的解集,其准则一般是: ①分式中,分母不等于零, ②偶次根式中,被开方数 为非负数, ③对于y=x0,要求x≠0,④对数式中,真数 大于0,且底数为不等于1的正数,⑤正切函数等.

2.由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题
的约束.
3.抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系.

考点一

求函数的定义域

例1 求下列函数的定义域: 1 (1)y= + x2-1; 2-|x| 2 x ?2-|x|≠ (2)y= +(5x-4)0. lg(4x+3) 【解】 (1)由? 2 ?x -1≥
?x≠± 2, ?2-|x|≠0, 【解】 (1)由? 2 得 ?x≤-1,或x≥1. ? ?x -1≥0,

≠± 2, ∴函数的定义域为 (-∞,-2)∪(-2,-1]∪[1,2)∪(2,+∞). ≤-1,或x≥1.

(2)



?x>- ,且x≠-1, ? ?4x+3>0, ?x>-3,且x≠-1, ? 4 2 ? 1 ? 3 4 2 ?x>-(2) 由 ?4x+3≠1, 解: ,且x≠- , ? 得 ? 4 ? ? ? 4 ? 2 4 ? ?x≠ . ? ? ?5x-4≠0, 5 ?x≠5. 4 ? ? ∴函数的定义域为 ? 1 ?x≠5. 3 ? ?x>- ,且x≠- , ∴函数的定义域为 ? 4 2 3 1 1 4 4 ? ∴函数的定义域为(- ,- )∪(- , )∪( ,+∞). 4 4 2 (-32 5 1)∪(-1,4)∪( , 4 ? ,- 5 4 2 2 5 5 ?x≠5. 1 1 4 4 ? 3

?4x+3>0, (2) ? ?4x+3≠1, ? ?5x-4≠0, 3 ?





?4x+3>0, ?4x+3>0, ? ?4x+3≠1, ? 得 (2) 由 ?4x+3≠1, ? ?5x-4≠0, ? ?5x-4≠0,

(- ,- )∪(- , )∪( ,+∞). 4 ∴函数的定义域为 5 2 2 5
3 1 1 4 4 (- ,- )∪(- , )∪( ,+∞). 4 2 2 5 5

变式

【1】(08·湖北)函数 f ( x ) ? 1 1n( x 2 ? 3 x ? 2 ? ? x 2 ? 3 x ? 4)
x

的定义域为 [-4, 0)∪(0, 1) .
? x2 ? 3 x ? 2 ≥ 0 解析: 不等式组 ? ? x 2 ? 3 x ? 4 ≥ 0的解集为? ?4, 0 ? ? ? 0,1? . ? ?x ? 0 ?

当x ? 1时, x 2 ? 3 x ? 2 ? ? x 2 ? 3 x ? 4 ? 0, 不满足题意, 舍去.

当x ? ?4时, x 2 ? 3 x ? 2 ? ? x 2 ? 3 x ? 4 ? 0,
所以函数 f ( x )的定义域为 ? ?4, 0 ? ? (0,1).

例1 求下列函数的定义域.
(3)已知y=f(2x+1)的定义域为[-1,1],求f(x)的定义域;

解:⑴ ∵ -1≤x≤1,

∴ -1≤2x+1≤3.

令t=2x+1,则-1≤t≤3. ∴f(t)的定义域为 [-1,3]. ∴ 函数f(x)的定义域为[-1,3]. (4)已知f(x)的定义域为[0,2],求f(2x)的定义域. 解:由题0≤2x≤2, ∴ 0≤x≤1. 故f(2x)的定义域为[0,1].

课堂互动讲练
例1
已知函数 y=f(x2)的定义域是[0,2], 那么 f(x) [0, 4] g(x)= 的定义域是________. 1+lg(x+1)
?0≤x≤4 ? 解析:由?x+1>0 ? ?1+lg(x+1)≠0

,得

?0≤x≤4 ? ?0≤x≤4 ? ?x>-1 ?x>-1 ? ,∴0≤x≤4. ?? 9 ,∴0≤x≤4. ? ?x>-1且x≠- 9 ? ?x>-1且x≠- 10 10 ?

求函数的解析式 例2 【1】f(x) 为二次函数,且满足f(0)=0,f(x+1)- f(x)=x+1,求f(x). 解:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 由f(0)=0知c=0,则f(x)=ax2+bx. 又由f(x+1)=f(x)+x+1, ?2a+b=b+1, ?2a+b=b+1, ? 所以a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1, ? 所以?a≠0, 2a≠0, 所以?+(2a+b)x+a+b =ax2+(b+1)x+1, 即ax ? ? ?a+b=1. ?2a+b=b+1, ?a+b=1. ? 1 1 所以 a=b= . 所以?a≠0, 2 所以 ? a=b= . 2 ?a+b=1. 1 2 1 1 1 1 因此 f(x)= x + x. 2 2 因此 f(x)= x2.+ x. 所以 a=b= 22 2

考点二

考点二
例2

求函数的解析式

【2】已知函数f(x)满足 3 f ( x) ? 2 f (? x) ? 2 x ? 2, 求 f(x)的解析式.

3 f ( x ) ? 2 f ( ? x ) ? 2 x ? 2, 解:由题意 3 f (? x ) ? 2 f ( x ) ? 2 ? 2 x.
(1) ? 3 ? (2) ? 2, 得
f ( x) ? 2 x ? 2 . 5

?

(1) (2)

求函数的解析式 例2 (3)已知f(x)是R上的函数,且f(0)=1,对任意x, y∈R 恒有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1), 求f(x).
(4)方法一: ∵ f(x-y) =f(x)-y(2x-y+1), 令y=x,得f(0)=f(x)-x(2x-x+1),

考点二

∵f(0)=1,∴f(x)=x2+x+1.
方法二 令x=0,得f(-y)=f(0)-y(-y+1)=y2-y+1,

再令y=-x, 得 f(x)=x2+x+1.

变式

考点二

求函数的解析式

【1】设定义在R上的函数f(x) 对任意实数 x, y都有f(x+y)=f(x)+2y(x+y), 且满足f(1)=1, 求 f(0)及 f(x)的表达式. 解: 由f(1)=1, f(x+y)=f(x)+2y(x+y),
令 x=0,y=1,则 f (1) ? f (0) ? 2? 1, ? f (0) ? ?1. 令 x=0,得 f(y)=f(0)+2y2,

? f ( y) ? 2 y ? 1. 即 f(x)=2x2 -1.
2

考点二

求函数的解析式

例2 (4) 如图是函数f(x)的图象,OC段是射线,而OBA

是抛物线的一部分,试写出f(x)的表达式. 解:(1)当x≤0时, ∵直线OC经过(-2,-2), ∴直线方程为y=x;
-2

y

(2)当x≥0时, 抛物线过B(1,-1),A(2,0) C
x ≤ 0, ? x, y?? 2 ? x ? 2 x , x ? 0.

o 1
-1 -2 2

A

x

B

易求得抛物线的解析式为:y=x2-2x. ∴解析式为


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