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100所名校高考模拟金典卷(四)理科数学


100 所名校高考模拟金典卷(四)理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.
参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,? , xn 的标准差
s? 1 ?( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ? ? n?

锥体体积公式

1 V ? Sh

3 其中 S 为底面面积, h 为高
球的表面积,体积公式

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式 V

? Sh

其中 S 为底面面积, h 为高

4 S ? 4?R 2 , V ? ?R 3 3 其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1.设复数 z1 ? 1 ? i , z2 ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 A. ?i 2.若 tan ? ? 2 ,则 A. ? B. i C .0

z1 z2 ? 等于 z2 z1
D.1

5 4
6

1 的值等于 sin 2? 5 B. 4

C. ?

4 5

D.

4 5

3.在 1 ? 3 x A.6

?

? 的展开式中, x 的系数等于
B.10 C.15 D.20
开始 输入 x

?| 3 x ? 4 |, ( x ? 2), ? 4.函数 f ( x) ? ? 2 则当 f ( x) ? 1 时,自变量 x 的取值范围 , ( x ? 2), ? ? x ?1


k ?0

? 5? A. ?1, ? ? 3?
?5 ? C. ? ??,1? ? ? , ?? ? ?3 ?
A.3 B.4

?5 ? B. ? ,3? ?3 ?
?5 ? D. ? ??,1? ? ? ,3? ?3 ?
C .5
第 1 页 (共 5 页)

x ? 2x ? 1 k ? k ?1 x ? 2012?
是 输出 x, k 结束 否

5.按如图所示的程序框图运算,若输入 x ? 200 ,则输出 k 的值是 D.6

6.如图所示是一个空间几何体的三视图,则该几何体的体积为 A.

14 3

B.4

C.

16 3

D. 16
4 4 正视图 2 侧视图

? x ? y ? 3 ? 0, ? 7 . 已 知 点 P( x, y ) 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? 1 ? 0, O 为 坐 标 原 点 , 则 ? x ? 1 ? 0, ?

z ? 4 x ? 2 y 的最大值是
A.6
2 2

俯视图

B.8

C.10

D.12

8.点 M , N 在圆 x ? y ? kx ? 2 y ? 4 ? 0 上,且点 M , N 关于直线 2 x ? y ? 5 ? 0 对称,则该圆 截直线 x ? y ? 1 ? 0 所得的弦长为 A. 2 7 B. 7 C .6 D. 79

9.四棱锥 P ? ABCD 的五个顶点在同一个球面上,若其底面是边长为 4 的正方形,侧棱 PA ⊥ 平面 ABCD , PA ? 2 ,则此球的表面积为 A. 12? C. 24? B. 18? D. 36? y
C B

10. 已知点 A(1,0) ,B(1,1) ,C (0,1) ,现向矩形 OABC 中投入一粒米粒, 则该米粒落在曲线 y ? x 和直线 x ? 0 ,x ? 1 , y ?
2

1 所围成的图形 (阴 4
D.

1 4

影部分)中的概率为 A.

O

A

x A

1 8

B.

1 4

C.

1 2

2 3

y
1

11.函数 y ? cos(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 为奇函数,该函数的部分图
O

x B

像如图所示, A 、 B 分别为最高点与最低点,且 | AB |? 2 2 ,则该函数 图像的一条对称轴为 A. x ? 1 B. x ?

-1

?
2

C. x ? 2

D. x ?

2

?

12.对于定义域为 D 的函数 y ? f ( x) ,若同时满足:① f ( x) 在 D 内单调递增或单调递减;② 存在区间 ? a, b? ? D ,使 f ( x) 在 ? a , b ? 上的值域为 ? a , b ? ,那么函数 y ? f ( x)( x ? D) 叫做闭函 数.若函数 y ? k ?

x ? 2 是闭函数,则实数 k 的取值范围是
第 2 页 (共 5 页)

A. ? ?2, ?1?

B. ? ? , ?2 ?

? 9 ? 4

? ?

C. ? ?1, 2?

D. ? ?

? 9 ? ,2 ? 4 ? ?

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
注意事项:用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上.
13.对一些城市进行职工人均工资水平 x (千元)与居民人均消费水平 y (千元)统计调查后知,

y 与 x 具有相关关系,且满足回归方程 y ? 0.6 x ? 1.6 .若某被调查城市居民人均消费水平为 6.4
(千元) ,则可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为 14.已知 a ? (2,1) , b ? (a,3) ,若 a ? b ? 1 ,则 | b | = %. .

?

?

? ?

?

x2 y 2 15.椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 、 F2 ,点 M 在椭圆上,且 MF1 ? F1 F2 , a b

| MF1 |?

4 14 , | MF2 |? ,则 b = 3 3



16 . 已 知 锐 角 三 角 形 ABC 的 内 角 A 、 B 、 C 对 应 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c ,

2ac sin B ? 3(b 2 ? c 2 ? a 2 ) ,则 cos B ? cos C 的取值范围是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤.
17. (本小题满分 12 分)已知数列 ? an ? 是等差数列,满足 a2 ? 5, a4 ? 13 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和 是 Tn ,且 Tn ? bn ? 3 . (1)求数列 ? an ? 及数列 ?bn ? 的通项公式; (2)若 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 中的最大项.
0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 频率/组距

18. (本小题满分 12 分)某高校在 2012 年的春 0.03 季自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的 0.02 笔试成绩,按成绩分组:第 1 组,第 2 组,第 3 0.01 组,第 4 组,第 5 组,得到的频率分布直方图如 O 图所示. 成绩 160 165 170 175 180 185 (1)求第 3、4、5 组的频率; (2)为了能选拔出最优秀的学生,该校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样的方法
第 3 页 (共 5 页)

抽取 6 名学生进入第二轮面试,求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? (3)在(2)的前提下,学校决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受甲考官的面试,求第 4 组和第 5 组被甲考官面试的人数之和 X 的分布列及 X 的数学期望. 19. (本小题满分 12 分)过点 F (0,1) 作直线 l 与抛物线 x ? 4 y 相交于点 A 、 B 两点,圆 C :
2

x 2 ? ( y ? 1)2 ? 1 .
(1) 抛物线在点 B 处的切线恰好与圆 C 相切, 求直线 l 的方程; ( 2 ) 过 点 A 、 B 分 别 作 圆 C 的 切 线 BD 、 AE , 试 求 A

y B F

| AB |2 ? | AE |2 ? | BD |2 的取值范围.
20. (本小题满分 12 分)如图 1,在边长为 3 的正三角形 ABC 中, E 、 F 、 P 分别为 AB 、 AC 、 BC 上的点,且满足

O

x D

E

·C

AE ? FC ? CP ? 1 .将△ AEF 沿 EF 折起到△ A1 EF 的位置,使二面角 A1 ? EF ? B 成直二面
角,连结 A1 B 、 A1 P (如图 2) .
E A A1

(1)求证: A1 E ⊥平面 BEP ; (2)求直线 A1 E 与平面 A1 BP 所成角的大小.
B P

F B

E P

F C

C

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) 满足 2 f ( x ? 2) ? f ( x) , 当 x ?0 ( , 2 ) (a ? ?

时,f ( x) ? ln x ? ax

1 ) ,当 x ? (?4, ?2) 时, f ( x) 的最大值为 ?4 . 2

(1)求 x ? (0, 2) 时函数 f ( x) 的解析式; (2)是否存在实数 b 使得不等式

x ?b ? x 对于 x ? (0,1) ? (1, 2) 时恒成立,若存在,求出 f ( x) ? x

实数 b 的取值集合;若不存在,说明理由. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时 请写清题号. A 22. (本小题满分 10 分) 【选修 4-1:几何选讲】 如图,CB 是 ? O 的直径, AP 是 ? O 的切线, AP 与 CB 的 延长线交于点 P ,A 为切点. 若 PA ? 10 ,PB ? 5 ,?BAC 的平分线 AE 与 BC 和 ? O 分别交于点 D 、 E . (1)求 AC 、 AB 的长; (2)求 AD ? AE 的值. 23. (本小题满分 10 分) 【选修 4-4:坐标系与参数方程】
第 4 页 (共 5 页) C ·O D B P

E

在极坐标系中, O 为极点,半径为 2 的圆 C 的圆心的极坐标为 (2,

?
3

).

(1)求圆 C 的极坐标方程; ( 2 )在以极点 O 为原点,以极轴为 x 轴正半轴建立的直角坐标系中,直线 l 的参数方程为

1 ? x ? 1 ? t, ? 2 ? ( t 为参数) ,若直线 l 与圆 C 相交于 A 、 B 两点,且已知定点 M (1, ?2) ,求 ? 3 ? y ? ?2 ? t, ? ? 2

| MA | ? | MB | .
24. (本小题满分 10 分) 【选修 4-5:不等式选讲】 已知 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1| ,不等式 f ( x) ? 4 的解集是 M . (1)求 M ; (2)当 a, b ? M 时,证明: 2 | a ? b |?| 4 ? ab | .

数学试题参考答案
一、选择题,本题考查基础知识,基本概念和基本运算能力 题号 答案 二、填空题.本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧 13. 14. 15. 三、解答题 17. 16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

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