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7.几个常用函数的导数


一、复习

1.导数的几何意义:曲线在某点处的切线的斜率; 物理意义:物体在某一时刻的瞬时速度。

2.求函数y=f(x)的导数的基本步骤: 给定函数y=f(x)
?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ?x ?x
令当△x无限趋近于0

?y 无限趋近于 y? ?x


y?

3.函数f(x)在点x0处的导数 f ?( x0 ) 就是导函数 f ?(x ) 在x=x0处的函数值,即 f ?( x0 ) ? f ?( x) |x? x .这也是求函 数在点x0 处的导数的方法之一。
0

4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是 曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率. 5.求切线方程的步骤: (1)求出函数在点x0处的变化率 f ?( x0 ) ,得 到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 (2)根据直线方程的点斜式写出切线方程, 即 ?

y ? f ( x0 ) ? f ( x0 )( x ? x0 ).

1.求函数y=f(x)=c的导数。 因为
?y f ( x ? ?x) ? f ( x) c ? c ? ? ?0 ?x ?x ?x

y y=c

?y lim lim 所以 y? ? ?x?0 ?x ? ?x?0 0 ? 0

公式一:C? ? 0 (C为常数)

O

x

物理意义: 若y=c表示路程关于时间的函数,则y'=0 可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即 一直处于静止状态. 几何意义:常数函数在任何一点处的切线都平行于x轴。

2.求函数y=f(x)=x的导数 因为
?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x ? x ? ? ?1 ?x ?x ?x y

?y lim ? lim 1 ? 1 所以 y? ? ?x?0 ?x ?x ?0

y=x x

公式二:x ' ? 1

O

物理意义:若y=x表示路程关于时间的函数,则 y'=1 可以解释为某物体的瞬时速度为1的匀速运动. 几何意义:表示y=x图象上每一点处的切线斜率都为1

探 究 ?

在同一平面直角坐标系中, 画出y=2x,y=3x,y=4x的 图象,并根据导数定义, 求它们的导数。

(1)从图象上看,它们的导数分别表示什么? (2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一 个增加得最慢?

(3)函数y=kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关?

探 究:
在同一平面直角坐标系中画出 函数y=2x, y=3x,y=4x的图象,并 根据定义,求出它们的导数.

y

y ? 3x 8 y ? 4x y ? 2x

①从图象上看,它们的导数分别表示什么? 7 6 直线的斜率. 5 ②这三个函数中,哪一个增加得最 4 快?哪一个增加得最慢? 3 y = 4x增加得最快, 2 y = 2x增加得最慢. 1 ③函数y=kx (k)增的快慢与什么有关? 当k>0时,导数越大,递增越快; O 当k<0时,导数越小,递减越快.

1 2 3 4

x

动手试试:
3.求函数y=f(x)=x2的导数
1 4.求函数y = f(x) =- 的导数 x

5.求函数y = f(x) = x 的导数

3.求函数y=f(x)=x2的导数 因为
?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ( x ? ?x) 2 ? x 2 ? ? ?x ?x ?x y
2 2 2

x ? 2 x ? ?x ? (?x) ? x ? ?x ? 2 x ? ?x

y=x2

O ?y lim ? lim (2 x ? ?x) ? 2 x 所以 y? ? ?x?0 ?x ?x ?0

x

公式三:(x )? 2 x '
2

3.求函数y=f(x)=x2的导数 2 公式三:(x )? 2 x '
几何意义:y'=2x表示函数y=x2图象上每点(x,y) 处的切线的斜率为2x,说明随着x的变化,切线的斜率 也在变化: (1)当x<0时,随着x的增加,y=x2减少得越来越慢; (2)当x>0时,随着x的增加,y=x2增加得越来越快. 物理意义:若y=x2表示路程关于时间的函数,则 y'=2x可以解释为某物体做变速运动,它在时刻x的瞬 时速度为2x.

1 4.求函数y = f(x) =- 的导数 x

因为

1 ?1 ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x??x x ? ? ?x ?x ?x

x ? ( x ? ?x) 1 ? ?? 2 x( x ? ?x)?x x ? x?x
?y 1 1 lim lim )?? 2 所以 y? ? ?x?0 ? ?x?0(? 2 ?x x ? x ? ?x x
1 1 公式四:( )? ? 2 ' x x

1 画出函数 y ? x 的图象.根据图象,描述它的变化情况,并

求出曲线在点(1,1)处的切线方程.

y
2 1 -2 -1 1 -1 -2 2

x

求切线方程的步骤:

(1)求出函数在点x0处的变化率 f ?( x0 ) , 得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。
(2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即

y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ).

5.求函数y = f(x) = x 的导数
因为
?y f ? x ? ?x ? ? f ? x ? ? ? ?x ?x

? ?
?

x ? ?x ? x ?x 1

?

??

x ? ?x ? x ?x

x ? ?x ? x

x ? ?x ? x

?

?

x ? ?x ? x ?y 1 1 lim lim ? 所以 y? ? ?x?0 ?x ? ?x?0 x ? ?x ? x 2 x
公式五:( x)? ' 1 2 x

1. y ? f ( x) ? C 2. y ? f ( x) ? x, 3. y ? f ( x) ? x ,
2

y' ? 0 y ' ?1
y ' ? 2x 1 y' ? ? 2 x 1 y' ? 2 x
n-1

猜想: 当f ( x) ? x n 时

1 4. y ? f ( x) ? , x 5. y ? f ( x) ? x

y?=?

公式:y?=nx

n? R

例1:求下列函数的导数

小结:对于简单函数的求导关键是学会合理转化关系 式,即求导过程中,可以根据函数的特征,将式子结 构适当调整,如根式,分式可转化为指数式,进而选 择合适的求导公式,以便可以直接利用公式求解.

例2:

(1)已知y ? x , 求f ?(2).
3

解:? y? ? ( x )? ? 3 x
3

3 ?1

2 ? f ?(2) ? 3? (2)2 ? 12 ? 3x

1 (2)已知y ? 2 , 求f ?(3). x ?2 ? ?2 ? 1 ?3 解:? y? ? ( x ) ? ?2 x ? ?2 x
1 2 ? f ?(3) ? ?2 ? (3) ? ?2 ? ? ? 27 27
?3

小结:利用导数公式求函数在某点处的导数,大大减 小了运算量,而且对于原来用定义无法解决的函数求 导也找到了一个新的思路。

课堂练习
1.已知f ( x) ? x , 且f ?(1) ? ?4, 求实数a.
a

1 1 3.曲线 y ? x 在点( , )处切线的倾斜角为( C ) ? ?2 4 ? 5? A. ? B. C. D. 4 6 4 4
2

2.如果函数f ( x) ? 5,则f ?(1) ? ( C ) A. 5 B. 1 C. 0 D.不存在

小结
1.记熟几个常用函数的导数结论,并能熟练使用; (几个常用函数的导数及用导数定义求导数的方法步骤.) 注意:在今后的求导运算中,只要不明确要求用定义证 明,上述几个结论直接使用. 2.几个常用函数的导数的物理意义和几何意义. 3.能结合其几何意义解决一些与切点、切线斜率 有关的较为综合性问题.

基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) ? c, 则f '( x) ? 0; 公式2.若f ( x) ? x n , 则f '( x) ? nx n ?1 ; 公式3.若f ( x) ? sin x, 则f '( x) ? cos x; 公式4.若f ( x) ? cos x, 则f '( x) ? ? sin x; 公式5.若f ( x) ? a x , 则f '( x) ? a x ln a ( a ? 0); 公式6.若f ( x) ? e x , 则f '( x) ? e x ; 1 公式7.若f ( x) ? log a x, 则f '( x) ? ( a ? 0, 且a ? 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ? ln x, 则f '( x) ? ; x

作业:
1.活页P59 2.基础过关(三) 3.预习P14~P15并背诵P14的导数公式表


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