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高一数学集合与子集、全集、补集人教版知识精讲


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一. 本周教学内容 集合与子集、全集、补集 二. 教学目标 1. 理解集合的概念,知道常用数集及其记法; 2. 了解“属于”关系的意义; 3. 了解有限集、无限集、空集的意义; 4. 了解集合的包含、相等关系的意义; 5. 理解子集、真子集、补集的概念以及全集的意义。 三. 重点和难点 本讲重点是集合的基本概念与表示方法,子集与补集的概念。难点是集合的两种常用 表示方法即列举法与描述法的运用以及弄清元素与子集、属于与包含之间的区别与联系。

例题讲解】 【例题讲解】
[例 1] 下列条件能够确定一个集合的是( A. 比较小的正数的全体 ) B. 由太阳、风、水、火组成的整体

C. 充分接近 2 的实数全体 D. 高一年级中身材较高的同学组成的整体 解:此题正确选项应为 B。集合是由某些指定的对象集在一起而构成的。它是一个原 始的数学概念,我们只能给出它的一个描述性的定义。集合具有三个重要性质,即集合中 的元素具有确定性、互异性和无序性,这三个性质也称为集合的三要性。根据集合的概念, 集合中的元素的形式是没有限制的,即使元素之间没有关联,也可以形成一个集合,如选 项 B。集合的要点是它的元素必须是确定的,即任何一对象要么是某给定集合的元素,要 么不是其元素, 二者必居其一。 选项 A、C、D 不能构成集合的原因是整体中的对象不明确, 不满足集合中的元素的确定性原则。 [例 2] 已知集合 A = x , x ? y ,

{

解:(1)若 x = 0 ,则 A = 0 , 0 , 故 y ≠ 0。 (3)若

{

x ? y 与集合 B = {0 , x , y}表示同一集合, x 、y 的值。 求 ? y ,这与集合中元素的互异性矛盾,故 x ≠ 0 。

}

}

(2)若 x ? y = 0 ,由 x ≠ 0 ,则 y = 0 ,此时, B = 0 , x , 0 ,与互异性矛盾,

{

}

解得 x = ±1 。若 x = 1 ,则 A = { , 1 , 0} = B ,与互异性矛盾。 1 若 x = ?1 ,则 A = {? 1 , 1 , 0} = B 适合。 综上, x = y = ?1

x ? y = 0 ,则 x = y ,此时 A = {x , x 2 , 0}, B = {0 , x , x}故 x 2 = x ,

[例 3] 设 A = x x 2 + 4 x = 0 , B = x x 2 + 2( a + 1) x + a 2 ? 1 = 0 (1)若 B ? A ,求实数 a 的取值集合;

{

}

{

}

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(2)若 A ? B ,求实数 a 的取值集合;
2

(1)若 B ? A

解:解方程 x + 4 x = 0 ,则 x = 0 或 x = ?4 ,故 A = {0 , ? 4}

① 当 B = φ 时,由 ? = 4( a + 1) 2 ? 4( a 2 ? 1) < 0 ,则 a < ?1 ② 当 B ≠ φ 时,由 0 ∈ B ,则 a ? 1 = 0 ,故 a = ±1 。
2

若 a = ?1 ,则 B = {0} ? A
2

若 a = 1 ,则 B = {0 ,?4} ? A

若 a = 7 ,则 B = {? 4 ,?12}? A 故 a = 7 不合题意,舍去。 (2)若 A ? B ,则 B = {0 ,?4} ,由韦达定理可得 a = 1 ,故 a 的取值集合为 { } 。 1 综上,a 的取值集合为 a a = ±1或a < ?1

由 ? 4 ∈ B ,则 a ? 8a + 7 = 0 ,故 a = 1 或 a = 7 若 a = 1 ,则 B = {0 , ? 4} ? A

{

}

[例 4] 已知 I = ? 2 , 1 , a + 3 , a 2 ? a ? 2 , a ∈ R , A ? I , C I A = {4},试求集合 A。 解:由 4 ∈ I ,则 a + 3 = 4 或 a ? a ? 2 = 4 2 (1)当 a + 3 = 4 ,即 a = 1 时, a ? a ? 2 = ?2 ,此时 I = {? 2 , 1 , 4 , ? 2}与互异性
2

{

}

矛盾。 (2)当 a ? a ? 2 = 4 即 a = ?2 或 a = 3 时 若 a = ?2 ,则 a + 3 = 1 , I = {? 2 , 1 , 1 , 4} ,与互异性矛盾。
2

若 a = 3 ,此时 A = {? 2 , 1 , 6} 满足条件,综上, A = {? 2 , 1 , 6}

模拟试题】 【模拟试题】
一. 选择题 1. 下列命题中正确的是( A.
*

{4 , 5}和 {5 , 4}是两个不同的集合;



B.

{x ∈ R x

2

+ x + 1 = 0 是空集;


}

C. 若 a ∈ N , b ∈ N ,则 a + b 最小值为 2;D. 小于 10 的偶数集合是有限集; 2. 若集合 A = x kx 2 + 4 x + 4 = 0 , x ∈ R 只有一个元素,则 A 中实系数 k 值为( A. 1 B. 0 C. 0 或 1 D. 以上均不对 3. 设集合 U 为全集,集合 M、N ? U ,且 M ? N ,则下列各式成立的是( A. CU M ? CU N C. CU M ? CU N )

{

}



B. CU M ? M D. CU N ? M

4. 设 S = x x = 2n , n ∈ z , P x x = 4n + 2 , n ∈ z ,则下列关系正确的是( A. S ? P B. S = P C. S ? P

{

}

{

}





D. S ? P



二. 填空题 5. 以下关系正确的是 ① φ ∈ { }且 φ ? { } φ φ

≠ ③ 0 = {0}且 φ = { } φ

② 0 ? { }且 φ ? { } φ φ

6. 已知 U = R , A = x 3 < x < 5 则 CU A =

{

}



φ ∈ {0} 且 0 ∈ {φ }
CU (CU A) =

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三. 解答题

7. 已知 A = x ∈ N x < 4 , B = ( a , b) a + b = 1 , b ∈ A ,试用列举法表示集合 B
2

{

*

}

{

}

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试题答案】 【试题答案】
一. 1. B 二. 5. ① 6. 2. C 3. A 4. C

{x x ≤ 3或 x ≥ 5} {x 3 < x < 5}

三. 7. 解: A = { , 2 , 3},B={(0,1),(-3,2),(-8,3)} 1

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