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从力做的功到向量的数量积导学案参考答案


从力做的功到向量的数量积导学案参考答案
活动与探究 1 解:(1)a· b=|a||b|· cos θ=5×4×cos 120° =-10; 5 a· b -10 (2) a 在 b 上的射影为|a|· cos θ= = =- . |b| 4 2 a· b -10 迁移与应用 解:(1)b 在 a 上的射影为|b|cos θ= = =-2; |a| 5 (2)∵a∥b,∴a 与 b 的夹角 θ=0° 或 180° . 当 θ=0° 时,a· b=|a||b|cos 0° =20. 当 θ=180° 时,a· b=|a||b|cos 180° =-20. 1 活动与探究 2 解:①a· b=|a||b|cos〈a,b〉=4×5× =10; 2 ②(a+b)2=|a|2+2a· b+|b|2=16+20+25=61; ③(a-b)2=|a|2-2a· b+|b|2=16-20+25=21; 2 2 2 2 ④a -b =|a| -|b| =16-25=-9; ⑤(2a+3b)· (3a-2b)=6|a|2+5|a||b|cos 60° -6|b|2 1 =6×16+5×4×5× -6×25=-4. 2 2 2 迁移与应用 1.1+ 解析:a· a+a· b=1+1×1×cos 45° = 1+ . 2 2 1? 2 2.0 解析:b· (2a+b)=2a· b+b2=2|a||b|cos 120° +|b|2=2×4×4×? ?-2?+4 =-16+16=0. 活动与探究 3 (1)B 解析:|2a-b|= ?2a-b?2 = 4a2-4a· b+b2 = 4-4×0+4=2 2. (2)解:因为 a2=|a|2=25,b2=|b|2=25, π 25 a· b=|a||b|cos θ=5×5×cos = , 3 2 所以|a+b|= ?a+b?2= a2+b2+2a· b = 25+25+25=5 3. |a+2b|= ?a+2b?2= a2+4a· b+4b2 25 = 25+4× +4×25= 175=5 7. 2 迁移与应用 解:∵a⊥(a-2b), ∴a· (a-2b)=0, 2 ∴a -2a· b=0, 1 ∴a· b= . 2 |3a+b|= ?3a+b?2= 9a2+6a· b+b2 1 = 9×1+6× +4=4. 2 |a-2b|= ?a-2b?2= a2-4a· b+4b2 1 = 12-4× +4×22 2 = 15.
1

1 活动与探究 4 解:(1)∵(a-b)· (a+b)=|a|2-|b|2= , 2 1 又|a|=1,∴|b|2= , 2 2 ∴|b|= . 2 设 a 与 b 的夹角为 θ, a· b 则 cos θ= |a||b| 1 2 2 = = , 2 2 1× 2 ∴θ=45° . ∴a 与 b 的夹角为 45° . (2)|a-b|= ?a-b?2 = a2-2a· b+b2 1 1 2 = 1-2× + = , 2 2 2 |a+b|= ?a+b?2 = a2+2a· b+b2 1 1 10 = 1+2× + = . 2 2 2 设 a-b 与 a+b 的夹角为 φ,则 1 2 ?a-b?· ?a+b? 5 cos φ= = = . |a-b||a+b| 2 10 5 × 2 2 5 ∴a-b 与 a+b 的夹角的余弦值为 . 5 迁移与应用 1.135° 解析:设夹角为 θ, ∵a· (a+b)=1, ∴|a|2+a· b=1,即 2+ 2×1×cos θ=1, 2 ∴cos θ=- , 2 ∴a,b 的夹角为 135° . → → 2.解:如图所示,在平面内取一点 O,作OA=a,OB=b,

→ → → → 以OA,OB为邻边作平行四边形 OACB,使|OA|=|OB|, → → 所以四边形 OACB 为菱形,OC 平分∠AOB,这时OC=a+b,BA=a-b.

(1)由于|a|=|b|=|a+b|, → → → 即|OA|=|AC|=|OC|, 所以∠AOC=60° ,即 a 与 a+b 的夹角为 60° . (2)∵∠AOC=60° , ∴∠AOB=120° . → → 又|OA|=|OB|, ∴∠OAB=30° , 即 a 与 a-b 的夹角为 30° . 活动与探究 5 解:∵a⊥b, ∴a· b=0. 又 a+(t-3)b 与-ka+tb 垂直,∴[a+(t-3)b]· (-ka+tb)=0. 2 2 ∴-ka +ta· b+(t-3)(-k)a· b+(t-3)tb =0, ∴-4k+(t-3)t=0. 1 ∴k= (t2-3t) 4 1? 3?2 9 = ?t-2? - (t≠0). 4 16 3 9 ∴当 t= 时,k 取最小值- . 2 16 ? ?7a-5b?=0, ??a+3b?· 迁移与应用 解:由条件知? ??a-4b?· ?7a-2b?=0, ?
2 ? b-15b2=0, ?7a +16a· ∴? 2 ?7a -30a· b+8b2=0. ?

?λ+4+1+4λ?|a|2=0. 2 ? ?
1+4λ 3 ∵|a|>0,∴λ+4+ =0,即 λ=- . 2 2 3 故存在实数 λ=- ,使(a-4b)⊥(λa-b). 2

① ②

由①-②得 46a· b-23b2=0, 即 2a· b=b2,代入①式得 a2=b2,∴|a|=|b|. 1 2 b a· b 2 1 ∴cos θ= = = . |a||b| b2 2 ∴θ=60° . 【当堂检测】 1.A 2.B 3.B 4. 43 5.解:由(a-3b)⊥(7a+5b), 得(a-3b)· (7a+5b)=0. 2 即 7|a| -15|b|2-16a· b=0,① 由(a-4b)⊥(λa-b),得(a-4b)· (λa-b)=0, 2 2 即 λ|a| +4|b| -(1+4λ)a· b=0.② 1 又 a· b=|a||b|cos 120° =- |a||b|,③ 2 把③代入①得|a|=|b|, 再代入②得
2


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