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【步步高】2015届高考数学总复习 中档题目强化练 三角函数、解三角形课件 理 北师大版


数学

北(理)

中档题目强化练——三角函数、 解三角形
第四章 三角函数、解三角形

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9 10

7 1.已知角 A 是△ABC 的一个内角,若 sin A+cos A= ,则 13 tan A 等于 12 A.- 5 7 B. 12 7 C.- 12 ( A ) 12 D. 5

12 ? 7 ? sin A = , ? ?sin A+cos A= , 13 13 解析 由? 得? 5 2 2 ? ? cos A=-13 ?sin A+cos A=1, ?

5 ? ?sin A=-13, 或? ?cos A=12 13 ?

12 (舍去),∴tan A=- 5 .

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π 2.函数 y=3cos(x+φ)+2 的图像关于直线 x= 对称,则 φ 的 4 可能取值是 3π 3π A. B.- 4 4 ( A ) π C. 4 π D. 2

解析 ∵y=cos x+2 的对称轴为 x=kπ(k∈Z),

∴x+φ=kπ(k∈Z),即 x=kπ-φ(k∈Z), π π 令4=kπ-φ(k∈Z)得 φ=kπ-4(k∈Z), 3π 在四个选项中,只有 4 满足题意.

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π 3.已知函数 f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0)的图像关于直线 x= 对称, 12 ?π? 且 f ?3?=0,则 ω 的最小值为 ( A ) ? ? A.2 B. 4 C.6 D.8

π π π 解析 由题意知 ω· +φ=k1π,ω·+φ=k2π+ , 12 3 2 其中 k1,k2∈Z,两式相减可得 ω=4(k2-k1)+2,
又 ω>0,易知 ω 的最小值为 2.故选 A.

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π 4.设函数 f(x)=cos(ωx+φ)- 3sin(ωx+φ)(ω>1,|φ|< ),且 2 π 其图像相邻的两条对称轴为 x1=0,x2= ,则 ( ) 2 ? π? ? A.y=f(x)的最小正周期为 π,且在?0,2 ? ?上为增函数 ? ? ? π? ? B.y=f(x)的最小正周期为 π,且在?0, ? ?上为减函数 2 ? ? C.y=f(x)的最小正周期为 2π,且在(0,π)上为增函数 D.y=f(x)的最小正周期为 2π,且在(0,π)上为减函数

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解析

由已知条件得

? π? ? f(x)=2cos?ωx+φ+ ? , ? 3? ?

T π 2π 由题意得 = ,∴T=π.∴T= ,∴ω=2. 2 2 ω
? π? ? 又∵f(0)=2cos?φ+3? ?,x=0 ? ?

为 f(x)的对称轴,

π π ∴f(0)=2 或-2,又∵|φ|< ,∴φ=- , 2 3
此时 f(x)=2cos 答案 B
? π? ? 2x,在?0,2? ?上为减函数,故选 ? ?

B.

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? π? 在?0,2?上有两个零 ? ?

5.已知函数 f(x)= 3sin 2x+cos 2x-m 点,则 m 的取值范围是 A.(1,2) B.[1,2) C.(1,2]

( B ) D.[1,2]

π 解析 利用三角函数公式转化一下, 得 f(x)=2sin(2x+6)-m, π 它的零点是函数 y1=2sin(2x+ )和 y2=m 的交点所对应的 x 的值, 6 ? π? ∴要在?0,2?上有两个零点,y1 和 y2 就要有两个交点, ? ? ? π? ? π? 结合函数 y1=2sin?2x+6?在?0,2?上的图像, ? ? ? ?
知道当 y2=m 在[1,2)上移动时,两个函数有两个交点.

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3 π 6. 已知△ABC 的面积为 , AC= 3, ∠ABC= , 则△ABC 2 3

3+ 3 . 的周长等于________
1 3 解析 S= acsin∠ABC= ,得 ac=2; 2 2 ①

a2+c2-b2 根据余弦定理 cos∠ABC= ,得 a2+c2=5. ② 2ac 由①②可求得 a+c=3,则三角形周长可求.

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7.函数

? ? π k π ? ? ? ? π - + , 0 ? ? ? 12 ?(k∈Z) 4 y=tan?2x+6 ?的对称中心为__________________ . ? ? ? ?

?kπ ? π ? 解析 ∵y=tan x(x≠ +kπ,k∈Z)的对称中心为? 2 ,0? ? 2 ? ?

(k∈Z),

π kπ π kπ ∴可令 2x+ = (k∈Z),解得 x=- + (k∈Z). 6 2 12 4
? π? ? 因此,函数 y=tan?2x+6? ?的对称中心为 ? ? ? ? π kπ ? ? - + , 0 ? 12 ?(k∈Z). 4 ? ?

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8. 已知函数 2 . =________. 3

?π? 2 ? ? f(x)=Acos(ωx+φ)的图像如图所示, f 2 =- , 则 3 ? ?

f(0)

2π 解析 由图像,可知所求函数的最小正周期为 , 故 ω=3. 3 ?7π ? 从函数图像可以看出这个函数的图像关于点?12,0?中心对称, ? ? ?7π ? ?7π ? 也就是函数 f(x)满足 f?12-x?=-f?12+x?, ? ? ? ? ?π ? ?2π? π 当 x= 时,得 f?2?=-f? 3 ?=-f(0), 故得 f(0)=2. 12 ? ? ? ? 3

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9.(2013· 重庆)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, 且 a2=b2+c2+ 3bc. (1)求 A; (2)设 a= 3, S 为△ABC 的面积, 求 S+3cos Bcos C 的最大值, 并指出此时 B 的值.

b2+c2-a2 - 3bc 3 解 (1)由余弦定理得 cos A= = =- . 2bc 2bc 2 5π 又因为 0<A<π,所以 A= 6 . 1 (2)由(1)得 sin A=2, 又由正弦定理及 a= 3得 1 1 asin B S=2absin C=2· asin C=3sin Bsin C, sin A ·

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9.(2013· 重庆)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, 且 a2=b2+c2+ 3bc. (1)求 A; (2)设 a= 3, S 为△ABC 的面积, 求 S+3cos Bcos C 的最大值, 并指出此时 B 的值.
因此,S+3cos Bcos C=3(sin Bsin C+cos Bcos C) =3cos(B-C). π-A π 所以,当 B=C,即 B= 2 =12时, S+3cos Bcos C 取最大值 3.

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π 10.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0,0<φ< )的 2 π 图像与 x 轴的相交点中, 相邻两个交点之间的距离为 , 2 ?2π ? ? 且图像上一个最低点为 M? 3 ,-2? ?. ? ? (1)求 f(x)的解析式; ?π π? ? (2)当 x∈?12,2 ? ?时,求 f(x)的值域. ? ?

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A=2. π T π 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2得,2=2, 2π 2π 即 T=π,所以 ω= T = π =2. ?2π ? ? ? 2π 由点 M? 3 ,-2?在函数 f(x)的图像上, 得 2sin?2× +φ?=-2, 3 ? ? ? ? ?4π ? 即 sin? 3 +φ?=-1. ? ? 4π π 11π 故 3 +φ=2kπ-2,k∈Z,所以 φ=2kπ- 6 (k∈Z).

? π? φ∈?0,2?,所以 ? ?



(1)由最低点为

?2π ? M? 3 ,-2?,得 ? ?

? π? π φ=6, 故 f(x)的解析式为 f(x)=2sin?2x+6?. ? ?

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(2)因为

?π π? x∈?12,2 ?,所以 ? ?

π ?π 7π? 2x+ ∈?3, 6 ?. 6 ? ?

π π π 当 2x+6=2,即 x=6时,f(x)取得最大值 2; π 7π π 当 2x+6= 6 ,即 x=2时,f(x)取得最小值-1.
故函数 f(x)的值域为[ -1,2] .

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2 1.若 0≤sin α≤ ,且 α∈[-2π,0],则 α 的取值范围是( ) 2 ? ? ? 7π? ? ? ? 5π A.?-2π,- ?∪?- ,-π? ? 4? ? 4 ? ? ? ? ? 5π ? 7π ? ? ? B.?-2π+2kπ,- +2kπ?∪?- +2kπ,-π+2kπ? ?(k∈Z) 4 4 ? ? ? ? ? ? ? π? ? ? ?3π C.?0, ?∪? ,π? ? 4? ? 4 ? ? ? ? ? π? 3π ? ? ? D.?2kπ,2kπ+ ?∪?2kπ+ ,2kπ+π? ?(k∈Z) 4? ? 4 ? ?

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解析

根据题意并结合正弦线可知, ? ? ? π? 3π ? ? ? α 满足?2kπ,2kπ+ ?∪?2kπ+ ,2kπ+π? ? 4? ? 4 ? ? (k∈Z),
∵α∈[ -2π,0] , ∴α
? ? ? 7π? ? ? ? 5π 的取值范围是?-2π,- 4 ?∪?- 4 ,-π? ?. ? ? ? ?

故选 A.
答案 A

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2.同时具有下列性质:“①对任意 x∈R,f(x+π)=f(x)恒 ? π π? π ? ? - , 成立;②图像关于直线 x= 对称;③在? 6 3 ?上是增 3 ? ? 函数”的函数可以是 ?x π? ? + A.f(x)=sin? ?2 6 ? ? ? ? π? ? B.f(x)=sin?2x-6 ? ? ? ? ? π? ? ? 2 x + C.f(x)=cos? 3? ? ? ? π? ? ? 2 x - D.f(x)=cos? 6? ? ? ( )

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解析

依题意,知满足条件的函数的一个周期是 π,

? π π? π ? - , 以 x= 为对称轴,且在? ? 6 3?上是增函数. 3 ? ?

对于 A,其周期为 4π,因此不正确;
对于
?π ? ? π π? ? ? ? - , C,f?3?=-1,但该函数在? ? 6 3?上不是增函数, ? ? ? ?

因此 C 不正确; 对于
?π ? ? D,f? 1,因此 ?3?≠± ? ?

D 不正确.

答案 B

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3.已知函数 f(x)=2sin

?π ? ? x,g(x)=2sin? -x? ?,直线 ?2 ?

x=m 与 f(x),

2 2 . g(x)的图像分别交于 M、N 两点,则|MN|的最大值为________
解析 构造函数 F(x)=2sin x-2cos x=2
? π? ? 2sin?x-4? ?, ? ?

故最大值为 2 2.

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4.曲线

? ? π? π? ? ? ? y=2sin?x+ ?cos?x- ? ?与直线 4 4 ? ? ? ?

1 y= 在 y 轴右侧的交点按横 2

π 坐标从小到大依次记为 P1,P2,P3,?,则|P2P4|=________.
? ? ? ? π? π? π? π π? ? ? ? ? ? ? ? ? x + x - x + x + - 解析 y=2sin? 4?cos? 4?=2sin? 4?· cos? 4 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? π? ? 2? x + =2sin ? 4? ? ?
? π? ? =1-cos?2x+2? ?=1+sin ? ?

2x ,

|P2P4|恰为一个周期的长度 π.

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5.已知函数 f(x)= 3(sin2x-cos2x)-2sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期; ? π π? (2)设 x∈?-3,3?,求 f(x)的值域和单调递增区间. ? ?
解 (1)∵f(x)=- 3(cos2x-sin2x)-2sin xcos x =- 3cos 2x-sin
? π? 2x=-2sin?2x+3?, ? ?

∴f(x)的最小正周期为 π.
? π π? π π (2)∵x∈?-3,3?,∴- ≤2x+ ≤π. 3 3 ? ?
? π? 3 ∴- 2 ≤sin?2x+3?≤1. ? ?

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5.已知函数 f(x)= 3(sin2x-cos2x)-2sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期; ? π π? (2)设 x∈?-3,3?,求 f(x)的值域和单调递增区间. ? ?
∴f(x)的值域为[-2, 3].
∵当
? π? y=sin?2x+3?递减时,f(x)递增, ? ?

π π 3π 令 2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 π 7π 则 kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z, 12 12

? π π? π π ? ? x∈ -3,3 ,∴ ≤x≤ . 12 3 ? ?



?π π? f(x)的单调递增区间为?12,3?. ? ?


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