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[[高二数学试题]]2007-2008学年上海交大附中高二数学下学期期中测试题


上海交通大学附属中学 2007-2008 学年度第二学期 高二数学期中试卷
(本试卷共有 22 道试题,满分 100 分,考试时间 90 分钟。 请考生用钢笔或圆珠笔将答案写在答题纸上 )

一、填空题(本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每个空格填对得 3 分,否则一律得零分。)
1. 已知两圆 x2 ? y 2 ? 10 和 (

x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 20 相交于 A, B 两点, 则直线 AB 的方程 是 __________ . 2 .圆心在 x 轴上,半径为 5 ,以 A ( 2 , -3 )为中点的弦长是 2 7 的圆的方程 为 。 3.在直角坐标系 xOy 中,有一定点 A(2,1)。若线段 OA 的垂直平分线过抛物线
y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,则该抛物线的准线方程是



4.已知双曲线 线方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,则以双曲线中心为焦点,以双曲线左焦点为顶点的抛物 4 5


5.将参数方程 ? _________

? x ? 1 ? 2 cos? (? 为参数)化为普通方程,所得方程是 y ? 2 sin ? ?


6.若 a , b 为非零实数,则下列四个命题都成立: ①a ?

1 ?0; a

2 2 ② ? a ? b ? ? a ? 2ab ? b ; 2

③若 a ? b ,则 a ? ?b ; 上述命题仍然成立的序号是

2 ④若 a ? ab ,则 a ? b 。则对于任意非零复数 a , b ,



7.

已 知 m?R , 复 数 z ? 。

m(m ? 2) 1 ? (m 2 ? 2m ? 3)i , 若 z ? ? 4i , 则 m ?1 2

m?

8.已知 log 1 x ? 4i ? 5 ,则实数 x 的取值范围是_______。
2

2 9 .已知 2 ? ai, b ? i 是实系数一元二次方程 x ? px ? q ? 0 的两根,则 p ? q 的值



。 10.记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照,要求排成一排,2 位老人相邻但

不排在两端,不同的排法共有 A.1440 种 B.960 种
2

。 C.720 种
n

11.把 1+(1+x)+(1+x) +…+(1+x) 展开成关于 x 的多项式,其各项系数和为 an,则 lim

2a n ? 1 等于 n?? a ? 1 n
n



2? ? 12 . 如 果 ? 3 x 2 ? 3 ? 的 展 开 式 中 含 有 非 零 常 数 项 , 则 正 整 数 n 的 最 小 值 x ? ?





二、选择题

(本大题共有 4 小题,满分 12 分,代号为(A)、(B)、(C)、(D)的四个结论中有且只有一

个是正确的,必须把正确结论的代号写在对应的空格内,选对得 3 分,不选或选错一律得零分。)

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是 ( 13.以双曲线 9 16
A. x 2 ? y 2 ? 10x ? 9 ? 0 C. x 2 ? y 2 ? 10x ? 16 ? 0 B. x 2 ? y 2 ? 10x ? 16 ? 0 D. x 2 ? y 2 ? 10x ? 9 ? 0



14. 已知抛物线 y ? ? x2 ? 3 上存在关于直线 x ? y ? 0 对称的相异两点 A 、B , 则 AB 等于 A.3 B.4 C. 3 2 D. 4 2 ( ) ( )

15.设 a 是实数,且 A.

1 2

a 1? i ? 是实数,则 a ? 1? i 2 3 B.1 C. D.2 2
( C.96 种 D.192 种

16.甲、乙、丙 3 位同学选修课程,从 4 门课程中,甲选修 2 门,乙、丙各选修 3 门, 则不同的选修方案共有 A.36 种 B.48 种 )

三、解答题

大题共有 6 小题,满分 52 分,解答下列各题必须写出必要的步骤。)

14 2x 17.(6 分)解方程: P 15 ? P 15 ( x ? R) 。

18. (6 分)计算

(?1 ? 3i) 3 ? 2 ? i 。 ? 1 ? 2i (1 ? i) 6

19 . ( 6

分 ) 设 两 个 复 数 集

M ? {z z ? a ? i(1 ?a 2 ),a ? R} ,

N ? {z z ? sin ? ? i(m ?
范围。

? 3 sin 2? ), m ? R,? ? [0, ]} ,若 M ? N ? ? ,求实数 m 的取值 2 2

20.(10 分)设过点 P?x, y ?的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A 、 B 两 点,点 Q 与点 P 关于 y 轴对称, O 为坐标原点,若 BP ? 2 PA ,且 OQ ? AB ? 1 ,求 P 点的轨迹方程。

21 .( 12 分)方程 (m ? 1) x ? (m ? 3) x ? m ? 0(m ? R, m ? 1) 有两个虚根 x1,x2, 且
2

x1 ? x2 ? 1 ,求 m 的值。

22.(12 分)已知椭圆的焦点为 F1(–t,0),F2(t,0),(t>0),P 为椭圆上一点,且 F1 F2 是 PF 1 , PF 2 的等差中项. (1)求椭圆方程; (2)如果点 P 在第二象限且∠PF1F2=1200,求 tan∠F1PF2 的值; (3)设 A 是椭圆的右顶点,在椭圆上是否存在点 M(不同于点 A),使∠F1MA=900,若 存在,请求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

上海交通大学附属中学 2007-2008 学年度第二学期 高二数学期中试卷参考答案
一.填空题(每小题 3 分,共 36 分) 1. x ? 3 y ? 0 2.设圆心为 M(a,0), A(2,-3), |MA|2+( 7 )2=r2=25,∴(a-2)2+9+7=25,∴a=5 或 a=-1,∴ 圆方程为:(x-5)2 + y2 = 25 或 (x+1)2 + y2 = 25。
5 1 5 3. x ? ? ;OA 的垂直平分线的方程是 y- ? ?2( x ? 1) ,令 y=0 得到 x= ; 4 2 4

4. y ? 12( x ? 3) 。双曲线
2

x2 y 2 ? ? 1 的中心为 O(0,0),该双曲线的左焦点为 F(- 4 5

3,0) 则抛物线的顶点为 (-3,0) , 焦点为 (0,0) , 所以 p=6, 所以抛物线方程是) y 2 ? 12( x ? 3) 5. (x-1)2+y2=4。 6.②④ 对于①:解方程 a ?

1 1 ? 0 得 a?? i,所以非零复数 a ??? i??使得 a ? ? 0 , a a

①不成立;②显然成立;对于③:在复数集 C 中,|1|=|i|,则 a ? b ?, a ? ?b ,所以③不 成立;④显然成立。则对于任意非零复数 a , b ,上述命题仍然成立的所有序号是②④ 7.-1。

m(m ? 2) 1 2 ? , m ? 2m ? 3 ? ?4 ? m ? ?1 。 m ?1 2 1 log 1 x ? 3 ? 0 ? x ? 或x ? 8 。 8 2

8.由题意,得

(log1 x) 2 ? 4 2 ? 5 ?
2

9.p ? q ? 1。因为 2? a?i, b?( i i 是虚数单位) 是实系数一元二次方程 x2 ? px ? q ? 0 的两个根,所以 a=-1,b=2,所以实系数一元二次方程 x2 ? px ? q ? 0 的两个根是? 2 ? i 所 以 p ? ?[(2 ? i) ? (2 ? i)] ? ?4, q ? (2 ? i)(2 ? i) ? 5. p ? q ? 1
5 10. 960。5 名志愿者先排成一排,有 A5 种方法,2 位老人作一组插入其中,且两位 5 老人有左右顺序,共有 2 ? 4 ? A5 =960 种不同的排法,选。

11 .

2 。 令

x=1



an=1+2+22+ … … +2n=

1 ? 2 n?1 ? 2 n?1 ? 1 , 1? 2

lim

2an ? 1 2 ? 2 n?1 ? 3 ? lim n?1 ?2。 n?? a ? 1 n?? 2 ?2 n
12.5.由展开式通项有
r

Tr ?1 ? C ? 3x
r n

2 n ?r

?

? 2? ?? 3 ? ? x ?
5 0? ?n 2

r ? Cn ? 3n ? r ? ? ?2 ? ? x 2 n ?5 r r











2n ?

5r ?

?

r

? 2 时,正整数 0 r ? , r1 , n ? 2 n,的最小值为 , 5。 1 ? ,故当

二.选择题(每小题 3 分,共 12 分) 13. 右焦点即圆心为 (5, 0) , 一渐近线方程为 y ? 圆方程为 ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 16 ,即 A 14 . 选 C . 设 直 线

4 | 20 ? 0 | x, r? ?4, 即 4x ? 3 y ? 0 , 3 5
,选 A

AB









y? ? x

b ,



? y ? ? x2 ? 3 ? x 2 ? x ? b ? 3 ? 0 ? x1 ? x2 ? ?1 , 进 而 可 求 出 AB 的 中 点 ? ?y ? x ?b
1 1 1 1 2 M ( ? , ? ? b) , 又由 M ( ? , ? ? b) 在直线 x ? y ? 0 上可求出 b ? 1 , ∴x ? x?2 ? 0, 2 2 2 2
由弦长公式可求出 AB ? 1 ? 1 15.设 a 是实数, B。 16.甲、乙、丙 3 位同学选修课程,从 4 门课程中,甲选修 2 门,乙、丙各选修 3 门,
2 3 3 则不同的选修方案共有 C4 ? C4 ? C4 ? 96 种,选 C。
2

12 ? 4 ? (?2) ? 3 2 .

a 1 ? i a(1 ? i ) 1 ? i (a ? 1) ? (1 ? a)i ? ? ? = 是实数,则 a ? 1,选 1? i 2 2 2 2

三.解答题
14 2x 17.:∵ P 15 ? P 15 ,∴2x=14,∴x=7.

14 15 14 2x 2 x ? 15,? x ? 又∵ P 15 ? P 15 ,由 P 15 ? P 15 还可以得

15 。 2

所以原方程的解为: x ? 7 或 x ?

15 。 2

1 3 3 2 3 (? ? i) i(2i ? 1) 8 2 2 ? ? ?i ? 0 18.原式= 2 3 1 ? 2i (?8i) [(1 ? i) ]
2 19.解:若 M ? N ? ? ,则有 z 0 ? a ? i(1 ? a ) ? sin ? ? i(m ?

3 sin 2? ) ,得 2

?a ? sin ? 3 ? 2 2 ? 1 ? sin ? ? cos ? ? m ? sin 2? , ? 3 2 2 1 ? a ? m ? sin 2 ? ? 2 ?
m?
3 3 1 1 ? 1 sin 2? ? cos2? ? ? sin(2? ? ) ? ,? m ? [0, ] 。 2 2 2 2 6 2

20 . . 由 BP ? 2PA 及 A, B 分 别 在 x 轴 的 正 半 轴 和 y 轴 的 正 半 轴 上 知 ,

3 A( x, 0), B(0,3 y) , AB ? (? 3 x,3 y ) , 由 点 Q 与 点 P 关 于 y 轴 对 称 知 , Q(? x, y ) , 2 2 3 3 2 2 则 OQ ? AB ? (? x,3 y ) ? (? x, y ) ? x ? 3 y ? 1( x ? 0, y ? 0) 。 所以 P 点 OQ = (? x, y ) , 2 2 3 2 2 的轨迹方程为 x ? 3 y ? 1( x ? 0, y ? 0) 。 2
21.解:由题意得

?m ? 1 ? 0 ? 2 ?? ? (m ? 3) ? 4m(m ? 1) ? 0
解不等式得 m ?

5 ? 2 13 5 ? 2 13 或m ? 。 3 3

且 x1 ? x2 , x2 ? x1 ,设 x1 ? a ? bi, x2 ? a ? bi(a, b ? R) ,

x1 ? x2 ? 2 b ? 1, x1 ? x2 ? 2a ?

m?3 m?3 2 ,? a 2 ? [ ] . m ?1 2(m ? 1)

x1 x2 ? a 2 ? b 2 ?
2

m m m?3 2 .? b 2 ? ?[ ] 代入 4b 2 ? 1 得 m ?1 (m ? 1) 2(m ? 1)

4m ? m ? 3 ? 2 ?? ? ? 1 ,整理得 m ? 4m ? 5 ? 0 ,解方程得 m ? ?1 或 m ? 5 。 m ?1 ? m ?1 ?
22.解:(1)设椭圆方程为
x2 y 2 ? ? 1 ,则 2a ? PF 1 ? PF 2 ? 2F 1 F2 ? 2 ? 2t , a2 b2

? a ? 2t, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3t 2 ,
x2 y2 所以所求椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 . 4t 3t
(2)设 PF 1 ? d1 , PF 2 ? d 2 ,则
2 2 2 0 ? ?d 2 ? d1 ? F1 F2 ? 2d1 F1 F2 cos120 , ? ? ?d1 ? d 2 ? 4t.

解方程组,得 d 1 ?

6 14 t, d 2 ? t 。 5 5

14t 2t 5 ? , 由正弦定理,得 sin ?F1 PF2 sin 1200

? sin ?F1 PF2 ?

5 3 5 3 。 ,? tan?F1 PF2 ? 14 11
2

(3)若椭圆上存在一点 M ( x1 , y1 ) ,使∠F1MA=900,则 MF1

? MA ? AF1 ,即

2

2

( x1 ? t ) 2 ? y12 ? ( x1 ? 2t ) 2 ? y12 ? (2t ? t ) 2 。
2 化简,得 x1 ? y12 ? tx1 ? 2t 2 ? 0

① ②



3t 2 x12 ? 4t 2 y12 ? 12t 4

由①、②,整理,得

x12 ? 4tx1 ? 4t 2 ? 0 ’,

? x1 ? 2t , y1 ? 0 ,
所以点 M 与右顶点 A 重合,矛盾.所以这样的 M 点是不存在的。


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