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平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角教案


学生教案

第一课时
2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义

教学目的: 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义; 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重点:平面向量的数量积定义 教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量

积的应用 教学过程: 一、复习引入: (1)物理学中,在力的作用下,功的表达式 W = |F|?|s|cos?,?是 F 与 s 的夹 角.

二、讲解教材: 1.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量 a 与, b 它们的夹角 是θ ,则数量|a||b|cos?叫a与b的数量积,记作 a?b,即有 a?b = |a||b|cos?, (0≤θ ≤π ). 并规定 0 向量与任何向量的数量积为 0. ?探究:1、向量数量积是一个向量还是一个数量?它的符号什么时候为正?什么 时候为负? 2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别? (1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos?的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积,写成 a?b;今后要学到两个向量的外积 a×b,
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而 a?b 是两个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不 是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替. (3)在实数中,若 a?0,且 a?b=0,则 b=0;但是在数量积中,若 a?0,且 a?b=0, 不能推出 b=0.因为其中 cos?有可能为 0. (4)已知实数 a、b、c(b?0),则 ab=bc ? a=c.但是 a?b = b?c a = c 如右图:a?b = |a||b|cos? = |b||OA|,b?c = |b||c|cos? = |b||OA| ? a?b = b?c 但a ? c

(5)在实数中,有(a?b)c = a(b?c),但是(a?b)c ? a(b?c) 显然, 这是因为左端是与 c 共线的向量,而右端是与 a 共线的 向量,而一般 a 与 c 不共线. 2.“投影”的概念:作图

定义:|b|cos?叫做向量 b 在 a 方向上的投影.投影也是一个数量,不是向量; 当?为锐角时投影为正值; 为 0; 当? = 0?时投影为 |b|; 3.向量的数量积的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos?的乘积. 探究:两个向量的数量积的性质:设 a、b 为两个非零向量, 1、a?b ? a?b = 0 2、当 a 与 b 同向时,a?b = |a||b|; 当 a 与 b 反向时,a?b = ?|a||b|. 当? = 180?时投影为 ?|b|. 当?为钝角时投影为负值; 当?为直角时投影

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特别的 a?a = |a|2 或 | a |? a ? a 探究:平面向量数量积的运算律 1.交换律:a ? b = b ? a 证:设 a,b 夹角为?,则 a ? b = |a||b|cos?,b ? a = |b||a|cos? a ? b = b ? a 2.数乘结合律:( ? a)?b = ? (a?b) = a?( ? b) 3.分配律:(a + b)?c = a?c + b?c
2 4.有如下常用性质: a ?| a | 2

|a?b| ≤ |a||b|

cos? =

a ?b | a || b |



(a+b) (с +d)=a·с +a·d+b·с +b·d 三、讲解例题:
? ? ? ? 例 1.已知|a|=12, |b|=9, a ? b ? ?54 2 ,求 a 与 b 的夹角。

例 2.已知|a|=6, |b|=4, a 与 b 的夹角为 60o 求: (1)(a+2b)·(a-3b). (2) |a+b|与|a-b|. ( 利用
| a |? a ? a )

例 3.已知|a|=3, |b|=4, 且 a 与 b 不共线,k 为何值时,向量 a+kb 与 a-kb 互相垂直.

四、课堂练习: 1.下列叙述不正确的是( A. 向量的数量积满足交换律 C. 向量的数量积满足结合律 ) B. 向量的数量积满足分配律 D. a·b 是一个实数
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2.|a|=3,|b|=4,向量 a+ A.平行 B.垂直
3 3 b 与 a- b 的位置关系为( 4 4



C.夹角为

? 3

D.不平行也不垂直

3.已知|a|=8, |b|=10, |a+b|=16,求 a 与 b 的夹角. 五、小结: 1.平面向量的数量积及其几何意义; 2.平面向量数量积的重要性质及运算律; 3.向量垂直的条件.

第二课时 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的: 1.掌握平面向量数量积运算规律; 2.能利用数量积的 5 个重要性质及数量积运算规律解决有关问题; 3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断,会证明两向量垂直,以及能解决一些简 单问题. 教学重点:平面向量数量积及运算规律. 教学难点:平面向量数量积的应用 教学过程: 一、复习引入: 1.平面向量数量积(内积)的定义: 2.两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位 向量. 1? e?a = a?e =|a|cos?; 2? a?b ? a?b = 0
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3? 当 a 与 b 同向时,a?b = |a||b|;当 a 与 b 反向时,a?b = ?|a||b|. 特别的 a?a = |a|2 或 | a |? a ? a 4?cos? =
a ?b ; | a || b |

5?|a?b| ≤ |a||b|

二、讲解新课: 探究:已知两个非零向量 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) ,怎样用 a 和 b 的坐标表示
? ? a ? b ?.

1、平面两向量数量积的坐标表示
? ? 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即 a ? b ? x1 x 2 ? y1 y 2

2. 平面内两点间的距离公式 (1)设 a ? ( x, y) ,则 | a | 2 ? x 2 ? y 2 或 | a |? x 2 ? y 2 . (2)如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x 2 , y 2 ) , 那么 | a |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 (平面内两点间的距离公式) 3.向量垂直的判定
? ? 设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) ,则 a ? b

? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0

4.两向量夹角的余弦( 0 ? ? ? ? ) cos? =
a ?b ? | a |?| b |
x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1
2 2

x2 ? y2
2

2

三、讲解范例: 例题 1
? ? a ?b .
? ? ? ? ? ? 解(1)当 a || b 时, a ?b = a b cos 00 ? 2 ? 5 ? 1 ? 10 或
? ? ? ? ? ? ? ? 已知 a ? 2, b ? 5, 若(1)a || b ; (2) a ? b ;(3) a与b 的夹角为 30 0 ,分别求

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? ? ? ? a ?b = a b cos1800 ? 2 ? 5 ? ( ?1) ? ?10 .

? ? ? ? ? ? (2)当 a ? b 时, a ?b = a b cos 900 ? 2 ? 5 ? 0 ? 0 .
? ? ? ? ? ? 3 ?5 3. (3)当 a与b 的夹角为 30 0 时, a ?b = a b cos 300 ? 2 ? 5 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 例题 2 (2005 年北京)若 a ? 1, b ? 2, c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与向量 b 的夹角

为 (

) A. 30 0 B. 60 0 C. 1200 D. 1500
? cos ? ? ? 1 2
?? ? 1200

? ? ? ?2 ? ? 解:依题意 a ? (a ? b) ? 0 ? a ? a b cos ? ? 0
选C



学生训练: ? ? ? ? ? ? ① 已知 a ? 2, b ? 3, a ? b ? 7 ,求向量 a 与向量 b 的夹角.
? ? ? ? ? ② 已知 a ? (1, ?2), b ? (4, 2) , a与(a ? b) 夹角为 ? ,则 cos ? ?

.

解:分析:为求 a 与 b 夹角,需先求 a·b 及|a|·|b|,再结合夹角θ 的范围 确定其值.

? ? ?2 ? ? ?2 ? ? ? ? a? b 3 1 b ① a ? b ? 7 ? a ? 2a? ? b ? 7 ? cos? a, b? ? ? ? ? ? a b 2?3 2
,故夹角为 60 0 .

? ? ? ? ? a? a ? b) ?3 ? 8 ( 5 ②依题意得(a ? b) ? (?3, ?4) ? cos ? ? ? ? ? ? . ? 5 a a ? b 5? 5
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 例题 3 已知向量 a , b 满足 a ? 6, b ? 4 ,且 a与b 的夹角为 60 0 ,求 a ? b 和 a ? 3b . ? ? ? ? 解: ? a ? 6, b ? 4 ,且 a与b 的夹角为 60 0

? ? ? a? ? 12 b

? ? ?2 ? ? ?2 ? a ? b ? a ? 2a? ? b ? 76 ? 2 19 ; b ? ? ?2 ? ? ?2 a ? 3b ? a ? 6a? ? 9b ? 108 ? 6 3. b
? ? ? ? 例题 4 (2006 年全国卷)已知向量 a ? (sin ? ,1), b ? (1, cos ? ), ? ? ? ? . 2 2 ? ? ? ? (1) 若 a ? b, 求? ; (2)求 a ? b 的最大值 .
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? ? ? ? ? 解:(1)若 a ? b ,则 sin ? ? cos? ? 0 , ? tan ? ? ?1, (? ? ? ? ) ?? ? ? . 2 2 4

? ? ? (2) a ? b = (sin ? ? 1) 2 ? (1 ? cos ? ) 2 ? 3 ? 2(sin ? ? cos ? ) = 3 ? 2 2 sin(? ? ) 4
??

?
2

4 4 ? ? ? ?当? ? 时 , a ? b 的最大值为 3 ? 2 2 ? ( 2 ? 1) 2 ? 2 ? 1 . 4

?? ?

?
2

,??

?

?? ?

?

?

? 2 3? ,1] , ? sin(? ? ) ? (? 4 2 4

点评:应特别注意利用向量垂直这一重要条件: a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 三、课堂练习:
(1)已知|a|=1,|b|= 2 ,且(a-b)与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角是( A.60° B.30° C.135° D.45° ) )

(2)已知|a|=2,|b|=1,a 与 b 之间的夹角为

? ,那么向量 m=a-4b 的模为( 3
C.6 D.12

A.2

B.2 3

(3) 已知 A(3, B(-1, 2), -1), 若点 P(x, -

1 )在线段 AB 的中垂线上, x= 则 2

.

四、小结: 1、 a ? b ? x1 x 2 ? y1 y 2 2、平面内两点间的距离公式 | a |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 3、向量垂直的判定: 设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0

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