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高中(北师大版)数学必修4(45分钟课时作业与单元测试卷):16从力做的功到向量的数量积 Word版含解析


16 从力做的功到向量的数量积 时间:45 分钟 满分:80 分 班级________ 姓名________ 分数________ 一、选择题:(每小题 5 分,共 5×6=30 分) 1.已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=4,且 a· b=2,则 a 与 b 的夹角 θ 为( ) π π A.6 B.4 π π C.3 D.2 答案:C π 解析:由题意,知 a· b=|a||b|cosθ=4cosθ=2,又 0≤θ≤π,所以 θ= . 3 2.下列命题正确的是( ) A.若 a· b=0,则 a=0 或 b=0 B.若 a· b=0,则 a∥b C.若 a⊥b,则 a· b=(a· b)2 2 2 D.a >|a| 答案:C 解析:a· b=0 时,可能为 a⊥b 的情况;|a|2=a2,故选 C. 3.设向量 a,b 均为单位向量,且|a+b|=1,则 a 与 b 的夹角为( ) π π A. B. 3 2 2π 3π C. 3 D. 4 答案:C 1 解析:∵|a+b|=1,∴|a|2+2a· b+|b|2=1,∴cos〈a,b〉=- .又〈a,b〉∈[0,π], 2 2π ∴〈a,b〉= . 3 4.若|a|=|b|=1,a⊥b,且(2a+3b)⊥(ka-4b),则 k=( ) A.-6 B.6 C.3 D.-3 答案:B 解析:由题意,得(2a+3b)· (ka-4b)=0,由于 a⊥b,故 a· b=0,又|a|=|b|=1,于 是 2k-12=0,解得 k=6. → → → 5.在△ABC 中,若BC=a,CA=b,AB=c,且 a· b=b· c=c· a,则△ABC 的形状是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.以上都不对 答案:C → → → 解析:∵a+b+c=BC+CA+AB=0,∴a+b=-c. 又∵a· c=b· c,即(a-b)· c=0, ∴-(a-b)· (a+b)=0,即|a|=|b|. 同理,|a|=|c|,|b|=|c|,故|a|=|b|=|c|. → → → 6.在边长为 2的正三角形 ABC 中,设AB=c,BC=a,CA=b,则 a· b+b· c+c· a 等于( ) A.-3 B.0 C.1 D.2

答案:A 2π 解析:a· b+b· c+c· a=b· (a+c)+c· a=b· (-b)+c· a=-b2+c· a=-2+ 2· 2· cos 3 =-3. 二、填空题:(每小题 5 分,共 5×3=15 分) 7.已知|a|=4,a 与 b 的夹角 θ 为 30° ,则 a 在 b 方向上的投影为________. 答案:2 3 解析:a 在 b 方向上的投影为|a|· cosθ=4×cos30° =2 3. 8.向量 a 与 b 满足|a|=2,|a+b|=3,|a-b|=3,则|b|=________. 答案: 5 解析:|a+b|2=|a|2+2a· b+|b|2=9,∴2a· b=9-|a|2-|b|2=5-|b|2.① 2 2 2 |a-b| =|a| -2a· b+|b| =9. ∴2a· b=|a|2+|b|2-9=|b|2-5.② ∴|b|= 5. → → → → 9.如图,在平行四边形 ABCD 中,已知 AB=8,AD=5,CP=3PD,AP· BP=2, → → 则AB· AD的值是__________.

答案:22 → → → 1 → 1→ → → → → 1→ → → → 解析: 由CP=3PD, 得DP=4DC=4AB, AP=AD+DP=AD+4AB, BP=AP-AB= 1 → 1→ ? → 3→? → 1→ → → 3→ → → → AD-4AB =2,即AD2- AD+ AB-AB=AD- AB.因为AP· BP=2,所以?AD+4AB?· 4 4 2 ? ?? ? → → 3 →2 → → → → AD· AB- AB =2.又因为AD2=25,AB2=64,所以AB· AD=22. 16 三、解答题:(共 35 分,11+12+12) 10.已知 e1 与 e2 是两个夹角为 60° 的单位向量,a=2e1+e2,b=2e2-3e1,求 a 与 b 的夹角. 1 解析: 因为|e1|=|e2|=1, 所以 e1· e2=1×1×cos60° =2, |a|2=(2e1+e2)2=4+1+4e1· e2 =7,故|a|= 7, 2 |b|2=(2e2-3e1)2=4+9+2×2×(-3)e1· e2=7, 故|b|= 7, 且 a· b=-6e2 e2 1+2e2+e1· 1 7 =-6+2+ =- , 2 2 7 - 2 a· b 1 所以 cos〈a,b〉= = =- , 2 |a|· |b| 7× 7 所以 a 与 b 的夹角为 120° . 11.已知|a|=|b|=2,a· b=-2,(a+b)⊥(a+tb),求实数 t 的值. 解析:由题意,得(a+b)· (a+tb)=0, ∴a2+(t+1)a· b+tb2=0, 即 4+(t+1)×(-2)+4t=0, 得 t=-1. 12.已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=4,且 a,b 的夹角为 60° . (1)求(2a-b)· (a+b); (2)若(a+b)⊥(λa-2b),求实数 λ 的值.

1 解析:(1)由题意,得 a· b=|a|· |b|cos60° =1×4×2=2. ∴(2a-b)· (a+b)=2a2+a· b-b2=2+2-16=-12. (2)∵(a+b)⊥(λa-2b),∴(a+b)· (λa-2b)=0, 2 2 ∴λa +(λ-2)a· b-2b =0,∴λ+2(λ-2)-32=0, ∴λ=12.


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