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河北省衡水中学2015届高三四调考试 数学理试题 Word版含答案


河北衡水中学四调考试 高三年级数学(理科)试卷
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟.

第Ⅰ 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题: (本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在四个选项中,只有一项是符合要求的) 1.已知命题 p : ?x ? R,cos

x ? 1, 则 A. ?p : ?x ? R, cos x ? 1; C. ?p : ?x ? R, cos x ? 1; ( B. ?p : ?x ? R, cos x ? 1; D. ?p : ?x ? R, cos x ? 1; ) )

2.数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,则该数列的通项 an ? ( A. 2 n ? 3 B.

2n ? 1

C. 3 ? 2 n

D. 2

n ?1

3.在 ?ABC 中,若 sin( A ? B) ? 1 ? 2cos( B ? C )sin( A ? C ) ,则 ?ABC 的形状一定是( A.等边三角形 C.钝角三角形 B. 直角三角形 D.不含 60 ? 角的等腰三角形



2 4.已知 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 4 | 的最小值是 n ,则二项式 ( x ? ) 展开式中 x 项的系数为(
n

1 x



A. 15

B.

?15

C. 30

D. ?30

5. 高三要安排毕业晚会的 4 个音乐节目,2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则 不同排法的种数是( A.1800 ) C.4320 D.5040

B.3600

6. 右图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为 2 和 4,腰长为 4 的等腰梯形,则该几何体 的侧面积是( A. 24? C. 18? ) B. 6? D. 12?
俯视图 正视图
侧视图

7. 6 张卡片上分别写有数字 1,1,2,3,4,5,从中取 4 张排成一排,可以组成不同的 4 位奇数的个数为( A.180 B.126 C.93 D.60



8.已知 OA ? 1, OB ? 3, ?AOB ? 则 OC ? mOA ? nOB ,

5? , 点 C 在∠AOB 外且 OB ? OC ? 0. 设实 数 m , n 满足 6


m 等于( n

A.2

B. 3

C.-2

D.- 3 :Z§

9.能够把圆 O : x 2 ? y 2 ? 16 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆 O 的“和 谐函数”,下列函数不是 圆 O 的“和谐函数”的是( .. A. f ( x) ? 4x3 ? x C. f ( x) ? tan )

B. f ( x) ? 1n

5? x 5? x

x 2

D. f ( x) ? e x ? e? x

x2 y2 10. 点 P 是双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) 左支上的一点, 其右焦点为 F ( c,0) , 若 M 为线段 FP 的中点, 且 M 到 a b
坐标原点的距离为 A. ?1,8?

c ,则双曲线的离心率 e 的取值范围是 8
B. ? 1,

(

)

? 4? ? ? 3?

C. ( , )

4 5 3 3

D. ? 2,3?

11.已知函数 f (x ) ?

x 3 mx 2 ? (m ? n )x ? 1 的两个极值点分别为 x1 , x2 ,且 x1 ? (0, 1 ) , x2 ? (1, ? ?) ,点 p (m, n) 表 ? 3 2


示的平面区域为 D ,若函数 y ? log a ( x ? 4)(a ? 1) 的图像上存在区域 D 内的点,则实数 a 的取值范围是(

1,3) A. (

B. ( 1,3]

C. (3, +?)

+?) D. [3,

12. 设函数 f ( x ) 的定义域为 D , 若满足: ① f ( x ) 在 D 内是单调函数; ②存在 ? a, b ? ? D (b ? a) ,使得 f ( x ) 在 ? a, b? 上的值域为 ? a, b? ,那么就称 y ? f ? x ? 是定义域为 D 的“成功函数”.若函数 g ( x) ? log a (a 域为 R 的“成功函数”,则 t 的取值范围为 ( )
1 A. (??, ) 4 1 B. ( ,1) 4 1 C. (0, ) 4 1 D. (0, ] 4
2x

? t )(a ? 0, a ? 1) 是定义

Ⅱ卷 非选择题 (共 90 分)
二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置) 13.对一个各边不等的凸五边形的各边染色,每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种,但是不允许相邻的边有相 同的颜色,则不同的染色方法共有________种(用数字作答) . 14.已知 ΔABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c,若 a = 1, 2cosC + c = 2b,则 ΔABC 的周长的取值范围是__________. 15.已知定义在 R 上的偶函数 y ? f ( x) 满足: f ( x ? 4) ? f ( x) ? f (2) ,且当 x ? [0, 2] 时, y ? f ( x) 单调递减,给出以下四个命题: ① f (2) ? 0 ;

② x ? ?4 为函数 y ? f ( x) 图像的一条对称轴; ③函数 y ? f ( x) 在 [8,10] 单调递增; ④若关于 x 的方程 f ( x) ? m 在 [?6, ?2] 上的两根 x1 , x2 ,则 x1 ? x2 ? ?8 . 以上命题中所有正确的命题的序号为_______________.

O 的截面面积为 16.如图,已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的内切球,则平面 ACD 1 截球
D1 A1 ·O D A 三、解答题(本题 6 个题, 共 70 分,把每题的答案填在答卷纸的相应位置) 17.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边为 a、b、c ,且满足 B C B1 C1

?? ? ?? ? cos 2 A ? cos 2 B ? 2 cos? ? A ? cos? ? A ? ?6 ? ?6 ?
(Ⅰ)求角 B 的值; (Ⅱ)若 b ?

1 3 且 b ? a ,求 a ? c 的取值范围. 2

18、已知数列{an}满足: a1 ? 20 , a2 ? 7 (Ⅰ)求 a3 ,

, an?2 ? an ? ?2 (n ? N * )

a4 ,并求数列{an}通项公式;

(Ⅱ)记数列{an}前 2n 项和为 S 2 n ,当 S 2 n 取最大值时,求 n 的值.

19. 正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直, AD ? CD, AB / /CD , AB ? AD ? 段 EC 上且不与 E , C 重合。

1 CD ? 2 ,点 M 在线 2

(Ⅰ)当点 M 是 EC 中点时,求证:BM//平面 ADEF; (Ⅱ)当平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角的余弦值为

6 时,求三棱锥 6

M ? BDE 的体积.

20、如图,已知抛物线 C : y 2 ? 2 px 和⊙ M : ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 1 ,过抛物线 C 上一点

H ( x0 , y 0 )( y 0 ? 1) 作两条直线与⊙ M 相切于 A 、 B 两点,分别交抛物线为 E、F 两点,圆心
点 M 到抛物线准线的距离为

17 . 4

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)当 ?AHB 的角平分线垂直 x 轴时,求直线 EF 的斜率;

(Ⅲ)若直线 AB 在 y 轴上的截距为 t ,求 t 的最小值.

21. 设 f ( x) ?

a ? x ln x , x

g ( x) ? x3 ? x2 ? 3 .

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线的方程; (Ⅱ)如果存在 x1 , x2 ?[0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立,求满足上述条件的最大整数 M ;

(Ⅲ)如果对任意的 s , t ? [ , 2] ,都有 f (s) ? g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围.
请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答。注意:只能做所选定题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分。 22. 如图,在正△ABC 中,点 D,E 分别在边 AC, AB 上,且 AD= AE=

1 2

1 AC 3

2 AB,BD,CE 相交于点 F. 3

(Ⅰ)求证:A,E,F,D 四点共圆; (Ⅱ)若正△ABC 的边长为 2,求 A,E,F,D 所在圆的半径. 23. 设 f ( x) ?| x ? a |, a ? R. (Ⅰ)当 a ? 5 ,解不等式 f ( x) ? 3 ; (Ⅱ)当 a ? 1 时,若 ? x ? R ,使得不等式 f (x ? 1) ? f (2x ) ? 1 ? 2m 成立,求实数 m 的取值范围. 24. 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数 方程为 ?

?x ? 1 ? t ? y ? 2 ? 3t

( t 为参数).

(Ⅰ)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程;

?x ' ? x ? 2 2 (Ⅱ)设曲线 C 经过伸缩变换 ? 1 得到曲线 C ? ,设 M ( x, y) 为曲线 C ? 上任一点,求 x ? 3xy ? 2 y 的 ' ?y ? y 2 ?
最小值,并求相应点 M 的坐标。

2013~2014 学年度上学期四调考试
高三年级数学(理科)答案
一、选择题 1-5 DCBAB 6-10 DBADB 11-12 AC

11.试题分析: f ?( x) ? x2 ? mx ?

m?n ? 0 的两根为 x1 , x2 ,且 x1 ? (0, 1) , 2

?m ? n ? 0, ? ? f ?(0) ? 0, ? 2 x2 ? (1, ? ?) ,故有 ? ?? ? f ?(1) ? 0 ?1 ? m ? m ? n ? 0, ? ? 2

?m ? n ? 0, 即? 作出区域 D,如图阴影部分, ?3m ? n ? 2 ? 0,

可得 log a( ? 1 ?4) ? 1 ,∴1 ? a ? 3 ,故选 B. 12.试题分析:无论 0 ? a ? 1 ,还是 a ? 1 ,都有 g ( x) 是增函数, 故 g ? a ? ? a ,

g ? b ? ? b ,所以方程 g ( x) ? x 有两个根,
2 x 2x x 即 a ? a ? t 有两个根,设 m ? a ,则直线 y ? t 与函数 y ? ?m ? m(m ? 0) 有两个交点,

1 画出这两个图象可以看出 t 的取值范围是 (0, ) ,显然此时函数定义域为 R ,选 C. 4 二、填空题

13、30

14、 (2,3]

15、①②④

16.

? 6

1 3 ? 2? ? 3 故 a ? c ? 2 sin A ? sin C ? 2 sin A ? sin? ? A ? ? sin A ? cos A 2 2 ? 3 ? 2
?? ? ? 3 sin? A ? ? 6? ?

----------8 分
? 2? ? ? ? ? A? , ? A ? ? ,----------10 分 3 3 6 6 2

因为 b ? a ,所以

? 1 ?? ? 3 ? 所以 a ? c ? 3 sin ? A ? ? ? ? , 3 ? ?. 2 6? ? 2 ? ?
18 解: (I)∵ a1=20,a2=7,an+2﹣an=﹣2 ∴ a3=18,a4=5

----------12 分

由题意可得数列{an}奇数项、偶数项分布是以﹣2 为公差的等差数列 当 n 为奇数时, 当 n 为偶数时, =21﹣n =9﹣n

∴ an= ---------------------------------------------6 分 (II)s2n=a1+a2+…+a2n

=(a1+a3+…+a2n﹣1)+(a2+…+a2n)
=

=﹣2n2+29n
结合二次函数的性质可知,当 n=7 时最大----------------------------------12 分 19. 试题解析: (Ⅰ )以 DA、DC、DE 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系

则 A(2,0,0), B(2, 2,0), C (0, 4,0), E(0,0, 2), M (0, 2,1)

? BM ? (?2,0,1), 面ADEF 的一个法向量 DC ? (0, 4,0)

BM ? DC ? 0 ,? BM ? DC 。即 BM / /面ADEF --------------------4 分
(Ⅱ )依题意设 M (0, t , 2 ? )(0 ? t ? 4) ,设面 BDM 的法向量 n1 ? ( x, y , z ) 则 DB ? n ? 2x ? 2 y ? 0 , DM ? n ? ty ? (2 ? ) z ? 0 令 y ? ?1 ,则 n1 ? (1, ?1,

t 2

t 2

2t ) ,面 ABF 的法向量 n2 ? (1, 0, 0). 4?t

| cos ? n1 , n2 ?|?

| n1 ? n2 | | n1 | ? | n2 |

?

1 6 ? ,解得 t ? 2 ---------------------10 分 6 4?2 2? (4 ? t ) 2
1 S?CDE ? 2 , B 到面 DEM 的距离 h ? 2 2

? M (0, 2,1) 为 EC 的中点, S?DEM ?

1 4 ?VM ? BDE ? ? S ?DEM ? h ? ------------------------------------------12 分 3 3 p 17 20、解(1)∵ 点 M 到抛物线准线的距离为 4 ? ? , 2 4 1 ∴ p ? ,即抛物线 C 的方程为 y 2 ? x .----------------------------------------------2 分 2
(2)法一:∵ 当 ?AHB 的角平分线垂直 x 轴时,点 H (4,2) ,∴k HE ? ?k HF , 设 E ( x1 , y1 ) , F ( x2 , y2 ) , ∴

yH ? y1 y ? y2 , ?? H xH ? x1 xH ? x2



yH ? y1 y ? y2 , ?? H 2 2 2 2 yH ? y1 yH ? y2
y2 ? y 1 y 2 ? y 1 1 1 ? 2 ? ? ? .---------------------------6 分 2 x2 ? x1 y2 ? y1 y2 ? y1 4
∴ 直线 HA 3 ,k HB ? ? 3 ,

∴ y1 ? y2 ? ?2 yH ? ?4 .

k EF ?

法二: ∵ 当 ?AHB 的角平分线垂直 x 轴时, 点 H (4,2) , ∴?AHB ? 60 ? , 可得 k HA ?

的方程为 y ? 3 x ? 4 3 ? 2 , 联立方程组 ?

? y ? 3x ? 4 3 ? 2 ,得 3 y 2 ? y ? 4 3 ? 2 ? 0 , 2 y ?x ?
∴y E ?

∵ yE ? 2 ?

3 3

3?6 13 ? 4 3 , xE ? . 3 3

同理可得 y F ?

1 ? 3?6 13 ? 4 3 , xF ? ,∴k EF ? ? .---------------------------6 分 4 3 3

(3)法一:设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) ,∵k MA ?

y1 4 ? x1 ,∴k HA ? , y1 x1 ? 4

可得,直线 HA 的方程为 (4 ? x1 ) x ? y1 y ? 4 x1 ? 15 ? 0 , 同理,直线 HB 的方程为 (4 ? x2 ) x ? y 2 y ? 4 x2 ? 15 ? 0 , ∴(4 ? x1 ) y 0 ? y1 y 0 ? 4 x1 ? 15 ? 0 , (4 ? x2 ) y 0 ? y 2 y 0 ? 4 x2 ? 15 ? 0 ,
2 2 ∴ 直线 AB 的方程为 (4 ? y 0 ) x ? y0 y ? 4 y0 ? 15 ? 0 ,

2

2

令 x ? 0 ,可得 t ? 4 y 0 ?

15 ( y 0 ? 1) , y0
∴t min ? ?11 .------------------------------12 分

∵t 关于 y0 的函数在 [1, ??) 单调递增,

法二:设点 H (m2 , m)(m ? 1) , HM 2 ? m 4 ? 7m 2 ? 16 , HA2 ? m 4 ? 7m 2 ? 15 . 以 H 为圆心, HA 为半径的圆方程为 ( x ? m 2 ) 2 ? ( y ? m) 2 ? m 4 ? 7m 2 ? 15 , .................. ① ⊙M 方程: ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 1 . ............................................................................................... ② ① -② 得: 直线 AB 的方程为 (2 x ? m 2 ? 4)(4 ? m 2 ) ? (2 y ? m) m ? m 4 ? 7 m 2 ? 14 . 当 x ? 0 时,直线 AB 在 y 轴上的截距 t ? 4m ? ∵t 关于 m 的函数在 [1, ??) 单调递增,
21. 【答案】(1)当 a ? 2 时, f ( x) ?

15 (m ? 1) , m

∴t min ? ?11 . ------------------------12 分

2 2 ? x ln x , f '( x ) ? ? 2 ? ln x ? 1 , f (1) ? 2 , f '(1) ? ?1 , x x
2分

所以曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? ? x ? 3 ;

(2)存在 x1 , x2 ?[0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立 等价于: [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? M ,
3 2 考察 g ( x) ? x ? x ? 3 , g '( x) ? 3 x ? 2 x ? 3 x( x ? ) ,
2

2 3

x
g '( x ) g ( x)

由上表可知: g ( x) min ? g ( ) ? ?

2 3

85 , g ( x) max ? g (2) ? 1 , 27

[ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? g ( x) max ? g ( x) min ?
所以满足条件的最大整数 M ? 4 ; (3)当 x ? [ , 2] 时, f ( x ) ?

112 , 27
7分

1 2

a ? x ln x ? 1恒成立等价于 a ? x ? x 2 ln x 恒成立, x

22. 【答案】(Ⅰ)证明:∵AE= AB,

∴ BE= AB,

∵ 在正△ ABC 中,AD= AC, ∴ AD=BE, 又∵ AB=BC,∠ BAD=∠ CBE, ∴ △ BAD≌ △ CBE, ∴ ∠ ADB=∠ BEC, 即∠ ADF+∠ AEF=π,所以 A,E,F,D 四点共圆. ---------------------------5 分 (Ⅱ )解:如图, 取 AE 的中点 G,连接 GD,则 AG=GE= AE, ∵ AE= AB, ∴ AG=GE= AB= , ∵ AD= AC= ,∠ DAE=60° ,∴ △ AGD 为正三角形, ∴ GD=AG=AD= ,即 GA=GE=GD= , 所以点 G 是△ AED 外接圆的圆心,且圆 G 的半径为 . 由于 A,E,F,D 四点共圆,即 A,E,F,D 四点共圆 G,其半径为 . -------------------10 分 23. (I) a ? 5 时原不等式等价于 x ? 5 ? 3 即 ?3 ? x ? 5 ? 3, 2 ? x ? 8 , 所以解集为 x 2 ? x ? 8 .---------------5 分

?

?

1 ? ? ?3 x ? 3( x ? 2 ) ? 1 ? (II)当 a ? 1 时, f ( x) ?| x ? 1 | ,令 g ( x) ? f ( x ? 1) ? f (2 x) ? x ? 2 ? 2 x ? 1 ? ? x ? 1( ? x ? 2) , 2 ? ? 3 x ? 3( x ? 2) ? ?
1 3 3 时, g ( x) 取得最小值 ,由题意知: ? 1 ? 2m , 2 2 2 1 所以实数 m 的取值范围为 m ? ? .-------------------10 分 4
由图像知:当 x ? 24. 试题解析: (1) 3x ? y ? 3 ? 2 ? 0

x 2 ? y 2 ? 4 ------------------------ 4 分
(2) C ' :

x2 ? y2 ? 1 4

设 M 为: x ? 2 cos? , y ? sin ?

x 2 ? 3 xy ? 2 y 2 ? 3 ? 2 cos( 2? ?
所以当 M 为( 1,

?
3

)

---------------- 7 分

3 3 )或 (?1,? ) 2 2
----------------10 分

x 2 ? 3xy ? 2 y 2 的最小值为 1

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