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《算术平均数与几何平均数》公开课课件


几何平均数与算术平均数 --利用均值不等式求最值 引入 请同学们帮我女儿解决这样一个难题: 上周末,我女儿的数学老师布置了一个家庭作业, 用 20 厘米长的铁丝制作一个矩形,并猜测怎样设 计长和宽才能使做出的矩形的面积最大? 我女儿做了如下几种情况的矩形 (1)长为8,宽为2 (2)长为7,宽为3 (3)长为6,宽为4 于是她就猜想出结果: 矩形面积最大值为24 (1) (2) (3) 即x+y=10, 因面积P=xy, 由基本不等式 得 x+y≥2 xy , xy x? y 2 即P=xy≤ ( 2 ) =25(定值) 在周长给定后,长x和宽y的和x+y不 变(定值),但长和宽还可以在一定范 围内变化,这样面积也在变,面积 xy 的取值构成一个集合,但集合中 每个元素的数值不超过25,且在 x=y=5时,即是正方形时面积等于25, 所以面积的最大值为25 9 16 21 ? ? ? 25 例1、 已知x、 y都是正数, 求证: (1)如果和x+y是定值S, 那么当x=y时 , 积xy有最大值 s2 4 (2)如果积xy是定值P, 那 么 当 x=y 时 , 和x+y有最小值2 P x? y S xy ? ( ) ? x ? y ? 2 xy ? 2 在两个证明中的关键步骤 2 4和 都出现一端是定值,限定了另一端的变化的范 围,这是用不等式求最值的重要依据。 2 2 P 例2、判断正误 1 (1)函数y=x+ 的最小值为2 x ( 2 )已知 1 ≤x≤3, 2≤y≤4, 则当 x=y=3 时, xy 有 最大值9 x ?3 1 ? x ? 2 ? (3)函数y=x ? 2 的最小值为2 x ?2 例1、 2 2 2 2 利用均值不等式求最值应注意三点: ⅰ)条件(或目标)式中各项必须都是正数; ⅱ)目标式中含变数的各项的和或积必须是定值 (常数); ⅲ)等号成立的条件必须存在. 例题1的变式 例题3 (1)已知m 、n都是正数,且 2m+n=3,求mn的最大值 (2) 若正数x,y满足6x+5y=18, 求xy的最大值. 目标式 6 x ? 5 y 1 6 x ? 5 y 2 81 27 xy ? ? ( ) ? ? 30 30 2 30 10 例题1的变式 练习1、(1)已知y=x(1-x) ,(0<x<1), 求 y的最大值 (2)y=x(1-2x) ,(0<x< 的最大值 1 练习2、(1)求函数y=x+ x 1 2 ), 求y 值域 (2)求函数y=x+ 1 值域 x ?1 课堂小结: 利用均值不等式求最值应具备三个条 件,简单概括就是三个字:正、定、等 正:两项必须都是正数; 定:求两项和的最小值,它们的积应为定值; 求两项积的最大值,它们的和应为定值。 等 : 等号成立的条件必须存在. 作业与补充练习 1. 作业4、5、6、7 补充练习 1.已知a、b是实数,且a+b=4, 求2a+2b的最小值 1 2.求函数y=x+ 2 x 的 值域 b 2 3.已知a、b是正数 ,且a + 2 =1,求a 1 ? b2 的最大 值 1 4.y=3x+ x ? 3 ( x ? ?3) 的最小值 5.y=2x 1 ? x 2 ,(0<x<1), 求y的最大值 2

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