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2011年港澳台联考数学真题(含答案)


绝密★启用前

2011 年中华人民共和国普通高等学校 联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试





一、选择题:本大题共 12 小题;每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1)已知 tan ? ? cot ? ? 0 ,那么角 ? 是 ( ) (A)第一或第二象限角 (B)第三或第四象限角 (C)第一或第三象限角 (D)第二或第四象限角

(2) 设 ABCD ? A ) 1B 1C 1 D 1 是棱长为 1 的正方体,则四面体 ACB 1D 1 的体积是( (A)

1 2

(B)

1 3

(C)

1 4
2 2 2

(D)

1 6

(3) 在△ ABC 中,角 A、B、C 的分别为 a、b、c ,若 a +c -b ? 3ac ,则 B =( ) (A)

? 6

(B)

? 3

(C)

? 5? 或 6 6


(D)

? 2? 或 3 3

3 (4) 若复数 z 的虚部不为零,且 z ? z ? 1 ? 0 ,则(

(A) ?z? ? 1

(B) ?z? ? 1

(C) 1 ? ?z? ? )

2

(D) ? z? ≥ 2

(5)若 a ? log 2 3 , b ? log4 6 , c ? log6 9 ,则 ( (A) a ? b ? c (B) a ? b ? c

(C) b ? c ? a

(D) c ? b ? a )

(6)在四面体 ABCD 中, AB ? 2 ,其余各棱长均为 1,则二面角 A ? CD ? B 的余弦值为( (A) ?

1 3

(B) 0

(C)

1 3

(D)

1 2

(7)设数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 1 ? (A)

1 2n ? 1

(B)

1 2n ? 1

1 ,则 an ? ( ) 2n ? 1 1 (C) (2n ? 1)(2n ? 1)

(D)

2 (2n ? 1)(2n ? 1)

(8)圆的直角坐标方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 4 ,在以原点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 该圆的方程为 (A) ? ? 2 (C) ? ? 4 cos(? ? (9)函数 y ? ( ) (B) ? ? 4 cos(? ?

?
3

)(? ? (?

? 5?
6 , 6

])

?
6

)(? ? (?

? 2?
3 , 3

])

(D) ? ? 4 cos ? (? ? (? )

? ?

, ]) 2 2

1 ? 1( ? x ? ?1) 的反函数为 ( x ?1

(A) y ? (C) y ?

1 ? 1( ? x ? 1) x ?1

(B) y ? (D) y ?

1 ? 1( ? x ? ?1) x ?1

1 ? 1( ? x ? ?1) x ?1

1 ? 1( ? x ? 1) x ?1

x2 y 2 (10) 设 F1 , F2 为双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 的两个焦点,P 为 C 上一点, 若△ F 则C 1 F2 P 是等腰直角三角形, a b
的离心率为 ( (A) ) (B)

1? 5 2

3? 5 2

(C) 1 ? 2

(D)

1? 2 2

(11)若函数 f ( x) ? ? (A)3

? x 2 ?,??????x ? 1, ? ax ? b,?x ? 1
(B)2

在 x ? 1 处可导,则 a ? b ? (C)1



) (D)0

???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BE= EF,  CF =FD,  (12)点 D、E、F 是△ ABC 内三点,满足 AD= DE,  设 AF =? AB+?   则 AC,  (? ,?? ) ? ( ) 4 2 1 4 4 1 2 4 (A) (? , ?) (B) (? , ?) (C) (? , ?) (D) (? , ?) 7 7 7 7 7 7 7 7
二、填空题:本大题共 6 小题;每小题 5 分.
3 2 (13)若关于 x 的方程 x ? x ? ax ? 0 有重根,则 a ? ____________________.

(14)已知两条直线 m, n ,两个平面 ? , ? ,给出四个命题: ①若 m ∥ n , m ? ? ,则 n ? ? ③若 m ∥ ? , m ? ? ,则 ? ? ? ②若 ? ∥ ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ∥ n ④若 ? ? ? , m ∥ ? ,则 m ? ?

其中正确命题的序号是____________________. (15) 设等比数列 ?an ? 的各项都为正数, 前 n 项和为 Sn . 若 S6 ? 7 S 2 , 则其公比为____________________. (16)在空间直角坐标系 O ? xyz 中,经过点 P(2,1,1) 且与直线 ? ____________________.
2 (17)若多项式 p ( x) 满足 p(1) ? 1,? p(2) ? 3?? ,则 p ( x) 被 x ? 3x ? 2 除所得的余式为_______________.

? x ? 3 y ? z ? 1 ? 0, 垂直的平面方程为 3 x ? 2 y ? 2 z ? 1 ? 0 ?

(18)设有 4 张不同的卡片,若有放回地抽取 4 次,每次随机抽取一张,则恰好有两张卡片未被抽到的概 率为____________________.

三、解答题:本大题共 4 小题;每小题 15 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (19)设函数 f ( x) ? 2x ? 3 ? x ? 2 . (Ⅰ)把 f ( x ) 写成分段函数,并求 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)解不等式 f ( x) ? 5 .

(20)设△ ABC 为锐角三角形.证明 (Ⅰ) sin A ? sin B ? 1 ? cos C ; (Ⅱ) 2 ? sin A ? sin B ? sin C ≤

3 3 2

x2 (21)设抛物线 C : y ? 与直线 l : y ? kx ? 1 交于 A、B 两点, P 为抛物线在这两点的切线的交点. 4
(Ⅰ)当 k ? 1 时,求点 P 的坐标; (Ⅱ)当 k 变化时,求点 P 的轨迹.

(22)数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 a1 ? 1,?an?1 ? Sn ? n .

2011 年港澳台联考数学真题答案
一、选择题:1—5:DBACD 二、填空题:13. 0或 三、解答题 19.解: (Ⅰ)当 x ? ?2 时, f ( x) ? 3 ? 2 x ? ( x ? 2) ? 1 ? 3x ; 当 ?2 ? x ? 6—10:ADCDC 15. 2 11—12:AB 16. 8x ? 5 y ? 7 z ? 28 ? 0 17. 2 x ? 1 18.

1 4

14.①③

21 64

3 时, f ( x) ? 3 ? 2 x ? ( x ? 2) ? 5 ? x ; 2

当x?

3 时, f ( x) ? 2 x ? 3 ? x ? 2 ? 3x ? 1; 2

?1 ? 3 x 7 ? 所以 f ( x ) ? ?5 ? x ,故 f ( x ) 的最小值为 . 2 ?3 x ? 1 ?
(Ⅱ)当 x ? ?2 时, f ( x) ? 5 ? 1 ? 3x ? 5 ? x ? ?

4 ,这与 x ? ?2 矛盾; 3

当 ?2 ? x ?

3 3 时, f ( x) ? 5 ? 5 ? x ? 5 ? x ? 0 ,此时解为 0 ? x ? ; 2 2

当x?

3 3 时, f ( x) ? 5 ? 3x ? 1 ? 5 ? x ? 2 ,此时解为 ? x ? 2 . 2 2

综上所述, f ( x) ? 5 的解为 0 ? x ? 2 . 20.解: (Ⅰ) 1 ? cos C ? 1 ? cos( A ? B) ? 1 ? sin A sin B ? cos A cos B ,

1 ? cos C ? sin A ? sin B ? (1 ? sin A)(1 ? sin B) ? cos A cos B ,
因为 A , B 都是锐角,所以 cos A , cos B 均大于 0,所以 1 ? cos C ? sin A ? sin B ? 0 , 所以 sin A ? sin B ? 1 ? cos C . (Ⅱ)因为 sin A ? sin B ? 1 ? cos C ,所以 sin A ? sin B ? sin C ? 1 ? cos C ? sin C ? 2 . 为证明 sin A ? sin B ? sin C ?

? 3 3 ,不妨设 C ? , 3 2

由于 sin A ? sin B ? 2sin

A? B A? B C C cos ? 2 cos ,所以 sin A ? sin B ? sin C ? sin C ? 2 cos , 2 2 2 2

sin C ? 2 cos

C ? ? ? C ? = sin[ ? (C ? )] ? 2 cos[ ? ( ? )] 2 3 3 6 2 6

=

3 ? C ? 1 ? C ? [cos(C ? )] ? 2cos( ? )] ? [sin(C ? )] ? 2sin( ? )] 2 3 2 6 2 3 2 6

注意到 = cos(C ?

?
3

)] ? 2 cos(

C ? ? C ? ? ) ? 3 , sin(C ? )] ? 2sin( ? ) ? 0 , 2 6 3 2 6

因此 sin C ? 2cos

3 3 C 3 3 ? , sin A ? sin B ? sin C ? . 2 2 2

21.解:设 l 与抛物线的两交点坐标分别为 A( xA , yA ) , B( xB , yB ) ,且 xA ? xB . (Ⅰ)当 k ? 1 时,直线 l : y ? x ? 1 代入抛物线方程,得 过 A , B 的抛物线的两条切线方程为: l A : y ? yA ?

x2 ? x ? 1 ,则 xA ? 2 ? 2 2 , xB ? 2 ? 2 2 , 4

xA x ( x ? xA ) , lB : y ? yB ? B ( x ? xB ) ,联立解得 2 2

x ? 2, y ? ?1 ,所以 P(2, ?1) .
2 2 (Ⅱ)将 l 与 C 的方程联立,解得 x A ? 2( k ? k ? 1) , xB ? 2( k ? k ? 1) ,将中两切线联立,解得

x ? 2k , y ? ?1,所以点 P 的轨迹方程为: lP : y ? ?1 .
22.解: (Ⅰ)由 a1 ? 1 , an?1 ? Sn ? n ,可得 a2 ? 2 , a3 ? 5 . (Ⅱ)由 an?1 ? Sn ? n 得 (Sn?1 ? Sn ) ? Sn ? n ,即 Sn?1 ? n ? 2 ? 2(Sn ? n ? 1) ,即 (Ⅲ)由(Ⅱ)得 Sn ? n ? 1 ? (S1 ? 1 ? 1)2n?1 ? 3? 2n?1 , Sn ? 3? 2n?1 ? n ?1 . 当 n ? 2 时, an ? Sn?1 ? n ?1 ? 3? 2n?2 ? n ? n ?1 ? 3? 2n?2 ?1 ,当 n ? 1 时, an ? 1 不适合上式. 所以 an ? ?

bn?1 ? 2 ,所以 ?bn ? 是 bn

?1,

n ?1

n?2 ?3 ? 2 ? 1,n ? 2



第 3 题解析:
3 3 方法 1:估值法, z ? z ? 1 , 1 ? z ? z ? z ? 1 ,可以估计 C 正确

方法 2:三次方程若只有一个实数解,则必有两个共轭复根,设三个根依次为 z1,z2,z3,不妨设 z3 为实 数,则由韦达定理, z1 z2 z3 ? ?1,则 z1 ? z2
2 2

? z1 z2 ? ?

1 , z3
1 2 3 ?0 8

3 3 构造函数 f ( x) ? x ? x ? 1 , 易知 f ( x) ? x ? x ? 1 在 R 上单调递增, 由 f (?1) ? ?1 ? 0 , f (? ) ?

3 可知 f ( x) ? x ? x ? 1 在 ( ?1, ? ) 存在零点,且零点唯一,故 ?1 ? z3 ? ?

1 2

1 , 2

z1 ? z2 ? z1 z2 ? ?

2

2

1 ? (1, 2) ,所以 1 ? ?z? ? 2 z3


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