当前位置:首页 >> 数学 >>

高考数学直线和圆的方程专题复习(专题训练)


专题六、解析几何(一)
直线和圆
1.直线方程: y ? kx ? t或ax ? by ? c ? 0

2.点关于特殊直线的对称点坐标: (1)点 A( x0 , y0 ) 关于直线方程 y ? x 的对称点 A?(m, n) 坐标为: m ? y0 , n ? x0 ; (2)点 A( x0 , y0 ) 关于直线方程 y ? x ? b 的对称点 A?(m, n) 坐标为: m ? y0 ? b , n ? x0 ? b ; (3)点 A( x0 , y0 ) 关于直线方程 y ? ? x 的对称点 A?(m, n) 坐标为: m ? ? y0 , n ? ? x0 ; (4) 点 A( x0 , y0 ) 关于直线方程 y ? ? x ? b 的对称点 A?(m, n) 坐标为: n ? ?x0 ? b ; m ? ? y0 ? b , 3.圆的方程: 无 xy。 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 或 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 ,
2 2 2

?

?

1

4.直线与圆相交: (1)利用垂径定理和勾股定理求弦长: 弦长公式: l ? 2 r 2 ? d 2 ( d 为圆心到直线的距离) ,该公式只适合于圆的弦长。 若直线方程和圆的方程联立后,化简为: ax ? bx ? c ? 0 ,其判别式为 ? ,则
2

弦长公式(万能公式) : l ? 1? k

2

x1 ? x2 ?

x ?x ? ?1 ? k ? ? ??
2 1 2

2

? 4 x1 x2 ? ?

b 2 c ? ? 1 ? k 2 (? ) ? 4 ? 1? k2 a a a
注意:不需要单独把直线和圆的两个交点的坐标求出来来求弦长,只要设出它们的坐标即可, 再利用直线方程和圆的联立方程求解就可达到目标。这是一种“设而不求”的技巧,它可以简 化运算,降低思考难度,在解析几何中具有十分广泛的应用。 5.圆的切线方程: (1)点在圆外: 如定点 P ? x0 , y0 ? ,圆: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ,[ ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r ]
2 2 2 2 2 2

第一步:设切线 l 方程 y ? y0 ? k ? x ? x0 ? ;第二步:通过 d ? r ,求出 k,从而得到切线方程, 这里的切线方程的有两条。特别注意:当 k 不存在时,要单独讨论。 (2)点在圆上: 若点 P ? x0, y0 ? 在圆 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 上,利用点法向量式方程求法,则切线方程为:
2 2 2

( x ? x0) ( x0 ? a) ? ( y ? y0) ( y0 ? b) ? 0 ? ? x0 ? a ?? x ? a ? ? ? y0 ? b?? y ? b? ? r 2 。
点在圆上时,过点的切线方程的只有一条。 由(1) (2)分析可知:过一定点求某圆的切线方程,要先判断点与圆的位置关系。

(3)若点 P ? x0, y0 ? 在圆 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 2 外,即 ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r 2 ,
2 2 2 2

过 点 P ? x0, y0 ? 的 两 条 切 线 与 圆 相 交 于 A 、 B 两 点 , 则 AB 两 点 的 直 线 方 程 为 :

( x0 ? a)(x ? a) ? ( y0 ? b)( y ? b) ? r 2 。
6.两圆公共弦所在直线方程: 圆 C1 : x ? y ? D1x ? E1 y ? F 2 ? 0, 1 ? 0 ,圆 C2 : x ? y ? D2 x ? E2 y ? F
2 2 2 2

则 ? D1 ? D2 ? x ? ? E1 ? E2 ? y ? ? F 1 ?F 2 ? ? 0 为两相交圆公共弦方程。 7.圆的对称问题: (1)圆自身关于直线对称:圆心在这条直线上。 (2)圆 C1 关于直线对称的圆 C2:两圆圆心关于直线对称,且半径相等。 (3)圆自身关于点 P 对称:点 P 就是圆心。 (4)圆 C1 关于点 P 对称的圆 C2:两圆圆心关于点 P 对称,且半径相等。
2

例 1.已知直线 ax ? by ? c ? 0 中的 a,b,c 是取自集合{﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3}中的 3 个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,则这样的直线共有_______条。

例 2.已知圆 C: x 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 ,直线 l : (3m ? 1) x ? (1 ? m) y ? 4 ? 0 (Ⅰ)求直线 l 被圆 C 所截得的弦长最短时 m 的值及最短弦长; (Ⅱ) 已知坐标轴上点 A (0, 2) 和点 T (t, 0) 满足: 存在圆 C 上的两点 P 和 Q, 使得 TA ? TP ? TQ , 求实数 t 的取值范围.

变式训练: 1.直线 2ax ? (a 2 ? 1) y ?1 ? 0 的倾斜角的取值范围是____________ 2.若 kxy ? 8 x ? 9 y ? 12 ? 0 表示两条直线,则实数 k =__________ 3.若点 A(1,0)和点 B(4,0)到直线 l 的距离依次为 1 和 2,则这样的直线有____条。 4.直线 l 过 P (1, 2) , 且A (2, 3) , B (4, ﹣5) 到 l 的距离相等, 则直线 l 的方程是_________________ 5.若直线 l 1: ax ? 2 y ? a ? 3 ? 0 与 l 2: x ? (a ? 1) y ? 4 ? 0 平行,则实数 a 的值为________ 6.过点 P(3,0)有一条直线 l ,它夹在两条直线 l 1:2x﹣y﹣2=0 与 l 2:x+y+3=0 之间的线段恰 被点 P 平分,则直线 l 方程为____________________ 7.过点(5,2),且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程是__________________ 8.(2007 湖北)已知直线

x y ? ? 1 ( a, b 是非零常数)与圆 x2 ? y 2 ? 100 有公共点,且 a b

公共点的横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有_______________条。

9.数学家欧拉在 1765 年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到 外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.若△ABC 的顶 点A (2, 0) , B (0, 4) , 且△ABC 的欧拉线的方程为 x ? y ? 2 ? 0 , 则顶点 C 的坐标为 ( A.(﹣4,0)B.(﹣4,﹣2) C.(﹣2,2) D.(﹣3,0) )

3

10.已知直线 l 过点 P(?4,1) ,且与直线 m : 3x ? y ? 1 ? 0 的夹角为 arccos 直线 l 的方程为_________________________ 11.已知 ?ABC 的三个顶点为 A(2,1), B(6,1), C (5,5) , 则 ? A 的平分线所在直线的方程为________________

3 10 , 10

12.若点 P(m﹣2,n+1) ,Q(n,m﹣1)关于直线 l 对称,则直线 l 的方程是__________________ 13.直线 x-y-2=0 关于直线 x+y+1=0 对称的直线方程__________________ 14.(2012 全国)正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 在边 AB 上,点 F 在边 BC 上,AE=BF=

3 , 7

动点 P 从 E 出发沿直线向 F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当 点 P 第一次碰到 E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为( A.16B.14 C.12 D.10 )

15.如图,点 A、B、C 的坐标分别为(0,2) , (﹣2,0) , (2,0) ,点 M 是边 AB 上异于 A、B 的一点, 光线从点 M 出发, 经 BC, CA 反射后又回到起点 M. 若光线 NT 交 y 轴于点 ( 0, ) , 则点 M 的坐标为______________

2 3

16.(2016 金山区一模)已知点 P、Q 分别为函数 f ( x) ? x ? 1( x ? 0) 和 g ( x) ?
2

x ?1 图像上

的点,则点 P 和 Q 两点距离的最小值为____________ 17.在 Rt△ABC 中,AB=2,AC=4,∠A 为直角,P 为 AB 中点,M、N 分别是 BC,AC 上任一 点,则△MNP 周长的最小值是____________

4

18.直线 (2k ? 1) x ? (k ? 3) y ? k ? 11 ? 0 所经过的定点坐标为_________

19.曲线 C1:

x y x y ? ? 1 |与曲线 C2: ? ? 1 |所围成的图形面积为_________ 4 2 8 2

20.点 P 在△ABC 内部 (包含边界) , |AC|=3, |AB|=4, |BC|=5, 点 P 到三边的距离分别是 d1, d2, d3,则 d1+d2+d3 的取值范围是____________

21.已知 P 是以 F1, F2 为焦点的椭圆上一点, 过焦点 F2 作∠F1PF2 外角平分线的垂线, 垂足为 M, 则点 M 的轨迹是( A.椭圆 )

B.圆 C.双曲线 D.双曲线的一支

22.已知圆 C 满足:①截 y 轴所得的弦长为 2;②被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3:1;③ 圆心到直线 l:x﹣2y=0 的距离为
2 2

5 ;则圆 C 的方程为______________________ 5

23.设集合 A={ ( x, y ) x ? y ? x ? y },则集合 A 所表示图形的面积为___________

2 2 24.已知圆 C: x ? y ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0 ,直线 l : 3x ? 4 y ? k ? 0 圆上存在两点到直线 l 的距

离为 1,则 k 的取值范围是___________ 25.已知 a≠b,且 a sin ? ? a cos ? ?
2

?
4

? 0 , b 2 sin ? ? b cos ? ?

?
4

? 0 ,则连接两点(a,a2) ,

(b,b )的直线与圆心在坐标原点的单位圆的位置关系是( A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定

2



5

26.已知圆 C: ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 1 ,点 P 为直线 l : 3x ? 4 y ? 1 ? 0 上的一动点,若在圆 C 上 存在点 M 使得∠MPC=30° ,则点 P 横坐标的取值范围________________ 27.已知⊙O1: 则两圆公切线的方程为________ x 2 ? y 2 ? 144与⊙O2: x 2 ? 30x ? y 2 ? 216 ? 0 , 28.过圆 x 2 ? y 2 ? 1 外一点 M ( 2,3) ,作这个圆的两条切线 MA 、 MB ,切点分别是 A 、 B ,则 直线 AB 的方程为_______________ 29.圆 C 的方程为 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 ,圆 M 的方程为 ( x ? 2 ? 5 cos? ) 2 ? ( y ? 5 sin ? ) 2 ? 1 ,过 圆 M 上任意一点 P 作圆 C 的两条切线 PE、PF,切点分别为 E、F, 则 PE ? PF 的最小值为________________ 30.设 P ? x, y ? 为圆 x ? ? y ? 1? ? 1 上的任一点, 欲使不等式 x ? y ? c ? 0 恒成立, 则 c 的取值
2 2

范围是____________ 31.(2005 江西)如图,设抛物线 C:y=x2 的焦点为 F,动点 P 在直线 l:x﹣y﹣2=0 上运动, 过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB,且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点. (1)求△APB 的重心 G 的轨迹方程; (2)证明:∠PFA=∠PFB.

(0,a) 32.如图,过点 A 作直线 l ,交圆 M: ( x ? 2) ? y ? 1于点 B、C,在 BC 上取一点 P,
2 2

使 P 点满足 AB ? ? AC , BP ? ? PC . (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若点 P 的轨迹交圆 M 于点 R、S,求△MRS 面积的最大值.

6


相关文章:
2015-2016高三理科数学直线与圆专题练习
2015-2016高三理科数学直线与圆专题练习_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 ...6 ,则圆 C 的方程为___. 17.已知 AC、BD 为圆 O : x2 ? y2 ? 4...
2015-2016年高考数学圆的方程专题练习(含答案)
2015-2016年高考数学圆的方程专题练习(含答案)_从业资格考试_资格考试/认证_...则直线 AB 的方程为 ___.[解析] 由题意得圆心与 P 点连线垂直于 AB,所以...
北京市2016届高三数学一轮专题突破训练《直线与圆》(文...
北京市 2016 届高三数学文一轮复习专题突破训练 直线与圆 1、 (2015 年北京高考)圆心为 ?1,1? 且过原点的圆的方程是( A. ? x ? 1? ? ? y ? 1? ...
2017高考数学专题复习:直线与圆
2017 高考数学专题复习:直线与圆直线方程: 直线名称 点斜式 斜截式 两点式 ...2017 高考数学专题训练:直线与圆一、选择题 1.已知 A, B 两点分别在两条...
高考数学二轮总复习专题训练八 直线与方程、圆与方程 理
高考数学二轮总复习专题训练直线与方程、圆与方程 理_高三数学_数学_高中教育_教育专区。数学高考专题训练直线与方程、圆与方程 班级___ 姓名___ 时间:45...
(四川专版)2016高考数学二轮复习 专题十五 直线与圆练...
(四川专版)2016高考数学二轮复习 专题十五 直线与圆练习 理_数学_高中教育_教育...设圆的方程为 x +(y-m) =m , |m- 3| 3 则=|m|,解得 m=- 3或...
高考数学专题八几何第练直线与圆锥曲线练习讲解
高考数学专题八几何第练直线与圆锥曲线练习讲解_高考_高中教育_教育专区。【...若存在,求出圆 N 的方程;若不存在,请说明理由. 2 3 答案解析 2 ,得 a=...
江苏专用2018版高考数学专题复习专题9平面解析几何第60...
江苏专用2018版高考数学专题复习专题9平面解析几何第60练直线与圆综合练练习理_...(1)求圆的方程;(2)切线问题、弦长问题; 训练题型 (3)直线与圆的位置关系的...
2013最新高考复习专题限时练习:数学第14讲 直线与圆
高考复习有机合成推断专题... 9页 免费 备战2012年高考数学专题复... 5页 免费 直线与圆方程专题 5页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功...
高中数学圆的方程专题复习
高中数学圆的方程专题复习_数学_高中教育_教育专区。...直线与圆的位置关系 将直线方程代入圆的方程得到一...且经过 A, B 两点的圆的方程; 【巩固训练】 1....
更多相关标签: