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2.2.2反证法


2. 2.2 反证法 课前预习学案 一、预习目标: 使学生了解反证法的基本原理;掌握运用反证法的一般步骤;学会用反证法证明一些 典型问题. 二、预习内容: 提出问题: 问题 1:桌面上有 3 枚正面朝上的硬币,每次用双手同时翻转 2 枚硬币,那么无论怎么 翻转,都不能使硬币全部反面朝上。你能解释这种现象吗? 学生尝试用直接证明的方法解释。 采用反证法证明:假设经过若干次翻转可以使

硬币全部反面向上,由于每枚硬币从正 面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次,所以 3 枚硬币全部反面朝上时,需要翻转 3 个 奇数之和次,即要翻转奇数次.但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币, 3 枚硬币被翻转 的次数只能 是 2 的倍数,即偶数次.这个矛盾说明假设错误,原结论正确,即无论怎样翻 转都不能使 3 枚硬币全部反面朝上. 问题 2:A、B、C 三个人,A 说 B 撒谎,B 说 C 撒谎,C 说 A、B 都撒谎。则 C 必定 是在撒谎,为什么? 分析:假设 C 没有撒谎, 则 C 真.那么 A 假且 B 假;由 A 假, 知 B 真. 这与 B 假矛盾.那么 假设 C 没有撒谎不成立;则 C 必定是在撒谎. 推进新课 在解决某些数学问题时,我们会不自觉地使用反证法 反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假设 出发,经过 正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方 法。 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格 中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一、 学习目标 (1)使学生了解反证法的基本原理; (2)掌握运用反证法的一般步骤; (3)学会用反证法证明一些典型问题. 二、学习过程:
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例 1、已知直线 a , b 和平面 ? ,如果 a ? ? , b ? ? ,且 a || b ,求证 a || ? 。 解析:让学生理解反证法的严密性和合理性; 证明:因为 a || b , 所以经过直线 a , b 确定一个平面 ? 。 因为 a ? ? ,而 a ? ? , 所以

? 与 ? 是两个不同的平面. 因为 b ? ? ,且 b ? ? , 所以 ? ? ? ? b .
下面用反证法证明直线 a 与平面 ? 没有公共点.假设直线 a 与平面 ? 有公共点 P ,则

P ?? ? ? ? b ,即点 P 是直线 a 与 b 的公共点,这与 a || b 矛盾.所以 a || ? .
点评:用反证法的基本步骤: 第一步 第二步 第三步 第四步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论 ; 作出与所证不等式相反的假定; 从条件和假定出发,应用证确的推理方法,推出矛盾结果; 断定产生矛盾结果的原因,在于开始所作的假定不正确,于是原证不等利

变式训练 1.求证:圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分.

例 2、求证: 2 不是有理数 解析:直接证明一个数是无理数比较困难,我们采用反证法.假设 2 不是无理数,那 么它就是有理数.我们知道,任一有理数都可以写成形如 的形式.下 面我们看看能否由此推出矛盾. 证明:假设 2 不是 无理数,那么它就是有理数.于是,存在互质的正整数 m, n ,使 得 2?

m ( m, n 互质, m ? Z , n ? N * ” n

m ,从而有 m ? 2n , n 2 2 因此, m ? 2n ,

所以 m 为偶数.于是可设 m ? 2 k ( k 是正整数) ,从而有

4k 2 ? 2n2 ,即 n 2 ? 2k 2
所以 n 也为偶数.这与 m , n 互质矛盾! 由上述矛盾可知假设 错误,从而 2 是无理数. 点评:反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从 这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确
2

的一种方法。 变式训练 2、已知 a ? b ? 0 ,求证: n a ? n b ( n ? N 且 n ? 1 )

例 3、设二次函数 f ( x) ? x 2 ? px ? q , 求证: f (1) , f (2) , f (3) 中至少有一个不小 于

1 . 2
解析:直接证明 f (1) , f (2) , f (3) 中至少有一个不小于

1 .比较困难,我们应采用反证 2

法 证明:假设 f (1) , f (2) , f (3) 都小于

1 ,则 2
(1)

f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? 2.
另一方面,由绝对值不等式的性质,有

f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? (1 ? p ? q) ? 2(4 ? 2 p ? q) ? (9 ? 3 p ? q) ? 2

(2)

(1) 、 (2)两式的结果矛盾,所以假设不成立,原来的结论正确。 点评:结论为“至少”、“至多”等时,我们应考虑用反 证法解决。 变式训练 3、设 0 < a, b, c < 1,求证:(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于

1 4

反思总结: 1.反证法的基本步骤: (1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立; (2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾; (3)从矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确 2.归缪矛盾: (1)与已知条件矛盾; (2)与已有公理、定理、定义矛盾; (3)自相矛盾。
3

3.应用反证法的情形: (1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论; (3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 类命题; (4 结论为 “唯一”类命题; 当堂检测: 1. 证明 3,5,7 不可能成等差数列.

2.设 a ? b ? 2 ,求证 a ? b ? 2.
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证明:假设 a ? b ? 2 ,则有 a ? 2 ? b ,从而

a 3 ? 8 ? 12b ? 6b 2 ? b 3 , a 3 ? b 3 ? 6b 2 ? 12b ? 8 ? 6(b ? 1) 2 ? 2.
因为 6(b ? 1) 2 ? 2 ? 2 , 所以 a ? b ? 2 , 这与题设条件 a ? b ? 2 矛盾, 所以,
3 3 3 3

原不等式 a ? b ? 2 成立。 课后练习与提高 一、选择题 1.用反证法 证明命题:若整系数一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有有理根,那么
a,b,c 中至少有一个是偶数时,下列假设中正确的是(



A.假设 a,b,c 都是偶数 B.假设 a,b,c 都不是偶数 C.假设 a,b,c 至多有一个是偶数 D.假设 a,b,c 至多有两个是偶数 2. (1)已知 p3 ? q3 ? 2 ,求证 p ? q ≤ 2 ,用反证法 证明时,可假设 p ? q ≥ 2 , ( 2) 已知 a,b ? R , a ? b ? 1 ,求证方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的两根的绝对值都小于 1.用反证法证 明时可假设方程有一根 x1 的绝对值大于或等于 1, 即假设 x1 ≥1 , 以下结论正确的是 ( A. (1) 与 (2) 的假设都错误 B. (1) 与 (2) 的假设都正确 C. (1) 的假设正确; (2) 的假设错误 D. (1) 的假设错误; (2) 的假设正确 3.命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是( A.有两个内角是钝角 B.有三个内角是钝角 C.至少有两个内角是钝角 D.没有一个内角是钝角 二、填空题 4..三角形 ABC 中,∠A,∠B,∠C 至少有 1 个大于或等于 60 的反面为_______.
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?





5. 已知 A 为平面 BCD 外的一点,则 AB、CD 是异面直线的反面为_______. 三、解答题 6.已知实数 a,b,c,d 满足 a ? b ? c ? d ? 1 , ac ? bd ? 1 ,求证 a,b,c,d 中至少有 一个是负数.

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