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高二数学竞赛


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2013/2014 学年第二学期

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江苏省六合职业教育中心校 综高高二数学竞

赛试卷
出卷人:陆东柱 时间:60 分钟 专业:数学 班级:1211-1221 得分:

学号:

一、选择题(本大题共 5 题,每小题 4 分,共 20 分,正确答案有且仅有一个) 1.下面的电路图由电池、开关和灯泡 L 组成,假定所有零件均能 正常工作,则电路中“开关 S 1 闭合”是“灯泡 L 亮”的( )

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D. 既非充分又非必要条件 2.预测人口的变化趋势有多种方法, “直接推算法”使用的公式是
Pn ? P0 (1 ? k ) n (k ? ?1) ,其中 Pn 为预测期人口数, P0 为初期人口数, k 为预测期内年

姓名:

班级:

增长率, n 为预测期间隔年数.如果在某一时期有 ? 1 ? k ? 0 ,那么在这期间人口数 ( ) A.呈上升趋势 B.呈下升趋势 C.摆动变化 D.不变 3.我市提供甲、乙、丙、丁 4 企业供职教中心高二年级 3 个班级进行见习实践活动, 其中甲企业是市明星企业,必须有班级去进行见习实践活动,每个班级去哪个企业可 由班级自己在 4 个企业中任意选择一个,则所有不同的安排见习实践的方案种数是 ( ) A.48 B.37 C.18 D.36 4.某商品降价 1 0% 后,欲恢复原价,则应提价为 ? ( (A)10% (B)9% (C)11% )
1 (D)11 % 9

5. 从 6 人中选出 4 人分别去美国的纽约、旧金山、华盛顿、休斯顿四个城市游览,要 求每个城市有一人游览, 每人只游览一个城市, 且这 6 人中甲、 乙两人不去纽约游览, 则不同的选择方案共有 A. 300 种 B. 240 种 C. 144 种 D. 96 种

第Ⅱ卷 (非选择题 共 80 分) 二、填空题: (本大题共 6 题,每小题 5 分,共 30 分) 6. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码。有一种用“因式分解”法产生的密码,
4 4 2 2 方便记忆。原理是:如对于多项式 x ? y ,因式分解的结果是 ( x ? y)(x ? y)(x ? y ) , 2 2 若取 x ? 9, y ? 9 时,则各个因式的值是: x ? y ? 0, x ? y ? 18, x ? y ? 162,于是就可以 3 2 把“ 018162 ”作一个六位数的密码。对于多项式 4x ? xy ,取 x ? 10, y ? 10 时,用上述

学校:

方法产生的密码是: 7、函数 y=

. (写出一个即可) 。

log 1 ( 2 ? x) 的定义域是
2

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2009/2010 学年第一学期

8、函数 f(x)=4x2-mx+5 在区间[-2,+∞)上是增函数,在区间(-∞,-2)是减函数。 则 f(1) = 。 9、已知集合 A={x x ? 1 <2},B={x x ? 1 >1},则 A∩B 等于 (用区间

表示) 10.受日月的引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐,在通常情况下,船在涨潮时 驶 进 航 道 , 靠 近 船 坞 ; 卸 货 后 落 潮 时 返 回 海 洋 , 某 港 口 水 的 深 度 y ( m) 是 时 间

t (0 ? t ? 24,单位:时 ) 的函数,记作错误!未找到引用源。 ,下面是该港口在某季节每
天水深的数据:
t /时 y/m

0 10.0

3 13.0

6 9.9

9 7.0

12 10.0

15 13.0

18 10.1

21 7.0

24 10.0

经长期观察, y ? f (t ) 曲线可以近似地看作函数 y ? A sin ?t ? k 的图象.根据以上 数据,函数 y ? f (t ) 的近似表达式是 .

1 的半圆 2 后得到图形 P2,然后依次剪去一个更小半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)得

11.如图 P1 是一块半径为 1 的半圆形纸板,在 P1 的左下端剪去一个半径为

圆形 P3、 P4、 ….., Pn, …,记纸板 Pn 的面积为 并猜测得到 S n ? S n?1 = (n≥2)。

Sn , 则试计算求出 S =
2

; S3=



P1

P2

P3

P4

三、解答题: 12. (本小题 8 分) 设方程 x2-px-3=0 的解集是 A,方程 x2+2x+q=0 的解集是B.且 A∩B={3} 求 ① q、p 的值; ② A∪B

13. (本小题 10 分) 已知数列{an}: 2
log a b

、4

loga b

、8

loga b

、¨¨¨、

?2 ?

n loga b

、¨¨¨

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其中 a、b 都是大于零的常数,且 a≠1 ① 求证:数列{an}是等比数列 ② 若数列{an}同时又是等差数列,求 b

14. (本小题 8 分) 已知函数 f(x)是定义在[2,+∞)上的减函数,求实数 a 的范围,使不等式 f(a2-2)-f(2-3a)>0 成立

15 某上市股票在 30 天内每股的交易价 p (元)与时间 t (天)组成有序数对 (t , p ) ,点
(t , p ) 落在下图中的两条线段上。该股票在 30 天内的日交易量 Q(万股)与时间(天)

的部分数据如下表所示。 第t 天 4 Q ( 万 36 股) 10 30 16 24 22 18

(1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格 p (元)与时间 t (天)所满足 的函数关系式; (本小题满分 4 分) (2)根据表中数据确定日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函数关系式; (本 小题满分 4 分) (3)用 y 表示该股票日交易额(万元) ,写出 y 关于 t 的函数关系式,并求在这 30
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天中第几天日交易额最大,最大值为多少?(本小题满分 4 分)

16. (本小题 12 分) 某商店按批发价每件 6 元购进一批货,零售价为 8 元时可卖出 100 件,如果零售价高 于 8 元,则一件也卖不出去,如果零售价从 8 元每降低 0.1 元则可多卖 10 件。 ①写出可卖出的件数 q 与零售价 x (6<x≤8)之间的函数关系式. ②写出所获利润 y 与零售价 x (6<x≤8)之间的函数关系式. ③试求零售价定为多少时,所获利润最大?最大利润是多少?

综高高二数学竞赛试卷答案
一、选择题: 1、A, 2、B, 3、C, 4、D, 5、B。
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二、填空题: 6、答案不确定; 7、[1,2) 8、f(1)=25 9、 (-1,0)∪(2,3) 10、

y ? 3 sin ? 6 t ? 10

3? 11? ? 1 ; S3 ? ; S n ? S n ?1 ? ? ( ) n ?1. 8 32 2 4 三、解答题:

11、 S2 ?

12、解:① 根据已知条件得,x=3 是方程 x2-px-3=0 和方程 x2+2x+q=0 的公共解。 ∴ 32-3p-3=0 且 32+2×3+q=0 ∴p=2,q=-15 ② ∵ A={ x x2-px-3=0 }={ x x2-2x-3=0 }={-1,3} B={ x x2+2x+q=0 }={ x x2+2x-15=0 }={-5,3} ∴ A∪B={-1,-5,3} 13、① 证明:根据已知条件 an=

?2 ?

n loga b
loga b

2 n?1 an?1 [( n?1) loga b?n loga b ] log b ∴ 对于 ? n∈N+ 都有 = =2 = 2 a (常数) n loga b an 2
∴数列{an}是等比数列 ② ∵ 数列{an}既是等比数列又是等差数列,∴{an}是非零常数列, ∴ ∴

? ? ? ?

2 log a b ≠0 2 log a b =1



2 l o agb = 4 loga b = (2
∴ log a b =0

loga b 2

)



b=1

14、解:根据题意知 a2-2≥2 2-3a≥2 a2-2<2-3a 由①得 a2≥4 4 由②得 a≤ 3 ① ② ③ ∴a≤-2 或 a≥2

由③得 a2+3a-4<0

∴-4<a<1
4 }∩{a|-4<a<1}=(-4,2] 3

∴ 不等式组的解集为{a|a≤-2 或 a≥2}∩{a|a≤ 因此,符合题设条件的 a 的范围是(-4,2]
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?1 t ? 2, 0 ? t ? 20, t ? N , ? ?5 15、解: (1) p ? ? ?? 1 t ? 8, 20 ? t ? 30, t ? N . ? ? 10

(2) Q ? ?t ? 40,

0 ? t ? 30, t ? N.

? 1 ? (t ? 15) 2 ? 125, 0 ? t ? 20, t ? N , ? ? 5 (3) y ? ? ? 1 (t ? 60) 2 ? 40, 20 ? t ? 30, t ? N . ?10 ?

当 0 ? t ? 20, t ? 15 时, y max ? 125万元;当 20 ? t ? 30 , y 随 t 的增大而减小。 所以,在 30 天中的第 15 天,日交易额取得最大值 125 万元。 8? x 16、解 ① q=100+ ×10=100+100(8-x)=900-100x (6<x≤8) 0.1 ② y=(x-6)(900-100x)=-100x2+1500x-5400 ③ 对于函数 y=-100x2+1500x-5400 当 x= ?
1500 =7.5 元时,ymax=(7.5-6)(900-100×7.5)=225 元 2 ? (?100)

(6<x≤8)

所以定价为 7.5 元时,所获利润最大,最大利润为 225 元。

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