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反证法——教学PPT课件


反证法 前面我们学习了直接证明的两种最基本的方法: 综合法和分析法,其基本特点如下: 综合法 特点 条件 格式 关系 由因索果 充分条件 P→Q1→Q2→...→Qn→Q 解答个一般方式 分析法 由果索因 不要条件 Q←P1←P2←...←Pn←P 解法的探讨 实际证题过程,分析与综合是统一运用的 P→Q1→Q2→...→Qn→ Q←Pn←... ←P2 ←P1←P 反证法(reduction to absurdity)是间接证明 的一种基本方法,对于这种方法,我们在日 常生活中并不陌生,在我们日常生活中,我 们经常不自觉的利用这种方法来解决一些实 际问题。 路边苦李 古时候有个人叫王戎,7岁那年 的某一天和小伙伴在路边玩,看见 一棵李子树上的果实多得把树枝都 快压断了,小伙伴们都跑去摘,只 有王戎站着没动。他说:“李子是 苦的,我不吃。”小伙伴摘来一尝, 李子果然苦的没法吃。 小伙伴问王戎:“这就怪了!你又没有吃, 怎么知道李子是苦的啊?” 王戎说:“如果李子是甜的,树长在路 边,那么李子早就没了!李子现在还 那么多,所以啊,肯定李子是苦的!” 1.定义:从命题的反面出发,引出矛盾,从而 证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。 2、反证法的基本思路:只要证明所求证的结 论不成立是错误的,从而肯定求证的结论是 成立的。 3.反证法证题的基本步骤 (1)假设命题的结论不成立,即假 设结论的反面成立; (2)从这个假设出发,经过推理论 证,得出矛盾; (3) 由矛盾判定假设不正确, 从而肯定命题的结论正确。 归缪矛盾: (1)与已知条件矛盾; (2)与已有公理、定理、定义矛盾; (3)可能与临时假设矛盾; (4)自相矛盾。 反证法的一般适用情形: (1)结论为否定性命题; (2)结论为“至少”、“至多”类命题; (3)结论为 “唯一”类命题; (4)结论为 “有无穷多个”类命题。 已知:在⊙O中,AB,CD为圆的两条相交弦,且不 全为直径.求证AB,CD不能互相平分 证明 假设AB,CD互相平分,则ACBD 为平行四边形 所以∠ACB=∠ADB,∠CAD=∠CBD 因为 ABCD为圆内接四边形 A D 所以 ∠ACB+∠ADB=180?, ∠CAD+∠CBD=180? 因此 ∠ACB=90?,∠CAD=90? C B 所以对角线AB,CD均为直径,与已知矛盾. 因此,AB,CD不能互相平分. 求证 2是无理数. 分析 如果直接证明,我们基本上是不知道从 哪里着手,虽然我们有方法计算它的值,但不 可能将它无止境的计算下去,这样做比较麻烦 或根本就不可能,那么我们就采用反证法来证 明。 求证 2是无理数. 证明 假设 2不是无理数, 那么它就是有理数. 于是,存在互质的正整数m,n m ? 2n m 使得 2 ? n m2=2n2 m为偶数,令m=2k(k是正整数) 4k2=2n2 n2=2k2 n也为偶数.与m,n互质矛盾! 所以 2是无理数. 练习 求证:两条直线相交,只有一个交点。 已知:直线 L1、 L2 相交 A B L2 只有一个交点。 求证:直线 L1、 用反证法证明 : 如果a ? b ? 0, 那么 a ? b . 证明: 假设 a不大于 b , 则或者 a ? b , 或者 a ? b 因为a ? 0, b ? 0, 所以 a ? b ? a a ? b a与 a b ? b b ? a ? b a? b?a?b 这些都同已知条件a ? b

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