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安徽省马鞍山市2012届高三4月第二次教学质量检测(数学文)


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安徽省马鞍山市 2012 届高三第二次教学质量检测 数学文
第 I 卷(选择题,共 50 分)
一、透择月:本大题共 10 个小皿,每小班 5 分,共 so 分.在每小月给出的四个选项中,只有-项是 符合题目要求的. (1)在复平面内,复

数 2012.4

1 ? i 2012 (i 是虚数单位)对应的点位于 1? i

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)己知全集 U=R,函数 y=

1 的定义域为集合 A,函数 y=log2(x+1)的定义域为 B,则集合 x?2

A I (CU B) =
A. (2,-1) B. (-2,-1] C.(-∞,-2) D. [-1,+ ∞)

(3)已知函数 f(x)= ? A、-3 B、-1

?2 x, x ? 0 ,若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于 ? x ? 1, x ? 0
C、1 D、3

? )的图象,只需将函数 y=sinx 的图象 3 ? ? A.向左平移 个长度单位 B.向右平移 个长度单位 6 6 5? 5? C.向左平移 个长度单位 D.向右平移 个长度单位 6 6 1 (5)在等差数列{ an }中, a9 ? a12 ? 6 ,则数列{ an }前 11 项和 S11 等于 2
(4)为得到函数 y=cos(x+ A.、24 B.、48
x ?1

C.、66

D.、132

(6)函数 f(x)= a

+3(a>0 且 a≠1)的图象过一个定点 P,且点 P 在直线 mx

+ny-1=0(m>0,且 n>0)上,则

1 4 ? 的最小值是 m n

A、12 B、16 C、25 D、24 (7)如图是一个几何体的三视,则它的表面为 A、4 ? B、

15 ? 4

C、5 ?

D、

17 ? 4

(8)函数 f(x)在定义域 R 内可导,若 f(x)=f(2-x),且当 x∈(-∞,1)时, ( x ? 1) f '( x) <0,

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设 a=f(0) ,b=f(

1 ) ,c=f(3) ,则 2
C、c <b<a D、b<c<a

A、a<b<c B、c<a<b (9)已知椭圆 C1: 围为 A、 (

x2 y2 x2 y 2 ? =1 与双曲线 C2: ? =1 共焦点,则椭圆 C1 的离心率 e 的取值范 m n m?2 n

2 ,1) 2

B、 (0,

2 ) C、 (0,1) 2

D、 (0,

1 ) 2

(10)设 x1 , x2 是关于 x 的方程 x2 ? mx ? 1 ? m2 =0 的两个不相等的实数根, 那么过两点 A( x1, x12 ) ,

B( x2 , x22 ) 的直线与圆 x2+y2=2 的位置关系是
A. 相切 B.相离 C. 相交 D.随 m 的变化而变化

第 II 卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:共 25 分。 (11)抛物线 y=2x2 的准线方程为______ (12)某程序的框图如下图所示,若执行该程序,则输出的 i 值为

?x ? y ? 3 ? 3 ? (13)目标函数 z=2x+y 在约束条件 ? 2 x ? 3 ? 0 下取得的最大值是_____ ?y ? 0 ?
( 14 ) 已 知 | OA |? 1,| OB |? 3, OAg OB ? 0 , 点 C 在 ∠ AOB 内 , 且 ∠ AOC = 30 ° , 设

uur

uur u

uur uur u

uuu r uur uur u m OC ? mOA ? nOB(m, n ? R) ,则 等于_______ n
(15)下面命题: ①函数 f(x)= lg

x 的定义域是(0,+∞) ; x ?1
2

②在空间中,若四点不共面,则每三个点一定不共线; ③若数列{ an }为等比数列,则“ a3a5 =16”是“ a4 =4”的充分不必要条件;
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④直线 l1 经过点(3,a) ,B(a-2,3) ,直线 l2 经过点 C(2,3) ,D(-1,a-2) ,若 l1 ? l2 ,则 a=0: 其中真命题的序号为____(写出所有真命题的序号) . 三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
1 (16)(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,且 cos A ? . 3

(Ⅰ)求 sin 2

B?C (Ⅱ)若 a ? 3 ,求 bc 的最大值. ? cos 2 A 的值; 2

(17)(本小题满分 10 分现对某市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查,随机抽查了 50 人, 他们月收入(单位:百元)的频数分布及对“楼市限购政策”赞成人数如下表: 月收入(单位百元) [15,25 ) 频数 赞成人数 5 4 [25,35 ) 10 8 [35,45 ) 15 12 [45,55 ) 10 5 [55,65 ) 5 2 [65,75 ) 5 1

(Ⅰ)根据以上统计数据填写下面 2× 列联表,并回答是否有 99%的把握认为月收入以 5500 元 2 为分界点对“楼市限购政策” 的态度有差异? 月收入不低于 55 百元的人数 赞成 不赞成 合计
a? c?

月收入低于 55 百元的人数
b? d ?

合计

(Ⅱ)若从月收入在[55,65)的被调查对象中随机选取两人进行调查,求至少有一人不赞成“楼 市限购政策”的概率. (参考公式: K 2 ? 参考值表: P( K 2 ? k0 )
k0

n(ad ? bc) 2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d .) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

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(18) (本小题满分 12 分)如图,平行四边形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直, AB ? 1 ,
AD ? 2 , ?ADC ? 60? , AF ?
3 . 2

E F

(Ⅰ)求证: AC ? BF ; (Ⅱ)求多面体 ABCDEF 的体积.

C

B

D

A

(19) (本小题满分 13 分)如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍且 经过点 M(2,1) ,平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0) ,直线 l 交椭圆于 A、 B 两个不同点(A、B 与 M 不重合). (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)当 MA ? MB 时,求 m 的值.
O y M B x

l

A

(20) (本小题满分 13 分)在等比数列 {an } 中, an ? 0(n ? N ? ) ,公比 q ? (0,1) , 且 a3 a5 ? 2a4 a6 ? a3 a9 ? 100 ,又 4 是 a 4 与 a 6 的等比中项. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log 2 a n ,求数列 {| bn |} 的前 n 项和 S n .

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(21)(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的表达式;

ax 在 x ? 1 处取得极值 2 . x ?b
2

(Ⅱ)当 m 满足什么条件时,函数 f ( x) 在区间 (m , 2m ? 1) 上单调递增? (Ⅲ)若 P( x0 , y0 ) 为 f ( x) ?
ax ax 图象上任意一点,直线 l 与 f ( x) ? 2 的图象切于点 P , x ?b x ?b
2

求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

文科数学参考答案及评分标准 一、选择题: 题号 答案 1 D 2 B 3 A 4 C 5 D 6 C 7 D 8 B 9 A 10 C

(1) 【命题意图】本题考查复数运算、复数的几何意义. (2) 【命题意图】本题考查集合运算、基本初等函数定义域,简单题. (3) 【命题意图】本题考查分段函数求值,简单题. (4) 【命题意图】本题考查三角函数图象变换,诱导公式,简单题. (5) 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、求和. (6) 【命题意图】指数函数的性质及重要不等式的性质.中等题 (7) 【命题意图】.本题考查三视图,几何体表面积计算,中等题. (8) 【命题意图】本题考查函数的单调性与导数的关系,体现数形结合的思想,中等题. (9) 【命题意图】.本题考查椭圆、双曲线的概念及性质,中等题. (10) 【命题意图】.本题考查直线和圆的位置关系,构造法、数形结合的思想,难题. 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.请在答题卡上答题.
1 (11) 【答案】 y ? ? .【命题意图】.本题考查抛物线的性质,简单题. 8

(12) 【答案】6;

【命题意图】.本题考查框图的应用,简单题.
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(13) 【答案】6; (14) 【答案】3;

【命题意图】.本题考查线性规划的应用,简单题. 【命题意图】本题考查向量加减法法则、平面向量基本定理,中等题.

(15) 【答案】①②; 【命题意图】.本题考查基本概念理解的综合能力,难题. 三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
1 (16)(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,且 cos A ? . 3

(Ⅰ)求 sin 2 解: (Ⅰ) sin 2

B?C (Ⅱ)若 a ? 3 ,求 bc 的最大值. ? cos 2 A 的值; 2

B?C 1 1 ? cos 2 A = [1 ? cos( B ? C )] ? (2cos2 A ? 1) = (1 ? cos A) ? (2cos2 A ? 1) 2 2 2

1 1 2 1 = ? (1 ? ) ? ( ? 1) ? ? ……………………………………………………………6 2 3 9 9

分 (Ⅱ)因为 分 又因为 a ? 3 ,所以 bc ? 分 【命题意图】.本题考查三角函数恒等变换、正弦定理、余弦定理解三角形以及综合运算求解能力.中 等题. (17)(本小题满分 10 分现对某市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查,随机抽查了 50 人, 他们月收入(单位:百元)的频数分布及对“楼市限购政策”赞成人数如下表: 月收入(单位百元) [15,25 ) 频数 赞成人数 5 4 [25,35 ) 10 8 [35,45 ) 15 12 [45,55 ) 10 5 [55,65 ) 5 2 [65,75 ) 5 1
9 3 9 9 ,当且仅当 b ? c ? 时, bc ? ,故 bc 的最大值为 .--12 4 2 4 4

2 b2 ? c 2 ? a 2 1 ? cos A ? ,所以 bc ? b2 ? c2 ? a2 ? 2bc ? a 2 ……………………………8 3 2bc 3

(Ⅰ)根据以上统计数据填写下面 2× 列联表,并回答是否有 99%的把握认为月收入以 5500 元 2 为分界点对“楼市限购政策” 的态度有差异? 月收入不低于 55 百元的人数 赞成 不赞成
a? c?

月收入低于 55 百元的人数
b? d ?

合计

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合计

(Ⅱ)若从月收入在[55,65)的被调查对象中随机选取两人进行调查,求至少有一人不赞成“楼 市限购政策”的概率. (参考公式: K 2 ? 参考值表: P( K 2 ? k0 )
k0

n(ad ? bc) 2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d .) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

2 解:(Ⅰ)根据题目得 2× 列联表: 月收入不低于 55 百元人数 赞成 不赞成 合计
a ?3 c?7

月收入低于 55 百元人数
b ? 29
d ? 11

合计 32 18 50

10

40

??????????????????????????????????????4 分 假设月收入以 5500 为分界点对“楼市限购政策” 的态度没有差异,根据列联表中的数据,得 到:
K2 ? 50 ? (3 ? 11 ? 7 ? 29) 2 ? 6.27 ? 6.635 ??????????????????6 分 (3 ? 7)(29 ? 11)(3 ? 29)(7 ? 11)

假设不成立. 所以没有 99%的把握认为月收入以 5500 元为分界点对“楼市限购政策”的态度有差异??8 分 (Ⅱ)设此组五人为 A, B, a, b, c ,其中 A, B 表示赞同者, a, b, c 表示不赞同者 从中选取两人的所有情形为: AB, Aa, Ab, Ac, Ba, Bb, Bc, ab, ac, bc 其中至少一人赞同的有 7 种, 故所求概率为 P ? 【命题意图】.本题考查独立性检验、古典概型,中 等题. (18) (本小题满分 12 分)如图,平行四边形 ABCD 和 矩 形 ACEF所 在 的 平 面 互 相 垂 直 , AB ? 1 ,
7 ??????????????12 分 10

E F

C
·7·

B

D

A

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AD ? 2 , ?ADC ? 60? , AF ?

3 . 2

(Ⅰ)求证: AC ? BF ; (Ⅱ)求多面体 ABCDEF 的体积. 【证明】 (Ⅰ)∵AB ? 1 , AD ? 2 , ?ADC ? 60? , 由余弦定理:
AC 2 ? CD 2 ? AD 2 ? 2CD ? AD ? cos 60? ? 1 ? 4 ? 2 ?1? 2 ?

1 ?3 2

于是

2 2 A D ? C D?

2 A ,∴?ACD ? 90? , C

∵ AB / / CD ,∴ AC ? AB ?????????????????2 分 又∵四边形 ACEF 是矩形,所以 FA ? AC
AC ? AF 于是 AC ? AB AF ? AB ? ? ? ? ? AC ? 平面AFB ? ? ? AC ? BF ?????? 6分 A? 又BF ? 平面AFB ? ?

(Ⅱ)令多面体 ABCDEF 的体积为 V ,
V ? VD ? ACEF ? VB ? ACEF ? 2VD ? ACEF ???????????????8 分

又∵平面 ABCD ? 平面 ACEF , DC ? AC , 根据两平面垂直的性质定理: DC ? 平面AFEC , 所以 DC 为四棱锥 D ? AFEC 的高,?????????????10 分
3 3 3 , S矩形AFEC ? ? 3 ? 2 2

所以 VD ? AFEC ? ?

1 3 3 3 ?1 ? 3 2 2
y M B O x

∴ V ? 2VD ? AFEC ? 3 ,即多面体 ABCDEF 的体积为 3 .?????12 分 【命题意图】.本题考查空间几何体的线、面位置关系用相关量的运 算,中等题 .
l A

(19) (本小题满分 13 分)如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1) ,平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0) ,直线 l 交椭圆于 A、B 两个不同点(A、B 与 M 不重合). (Ⅰ)求椭圆的方程;
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(Ⅱ)当 MA ? MB 时,求 m 的值. 解: (Ⅰ)设椭圆方程为
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

?a ? 2b ? 2 ? ?a ? 8 则? 4 1 ?? 2 ? a 2 ? b2 ? 1 ?b ? 2 ? ?

∴椭圆方程为 (Ⅱ)依题意 kOM ?

x2 y 2 ? ? 1 ……………………6 分 8 2

1 ,………………………………………………………………………7 分 2

1 可设直线 l 的方程为: y ? x ? m , A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,则 2 ???? ???? MA ? ( x1 ? 2 , y1 ? 1) , MB ? ( x2 ? 2 , y2 ? 1)

∵ MA ? MB ,∴ MA ? MB ? 0 , ? ( x1 ? 2) ? ( x2 ? 2) ? ( y1 ? 1) ? ( y2 ? 1) ? 0 …………………8 分
? x1 x2 ?2 ( x1 ? x2) ? y1 y2?( y1? y2 ?5 ??① ) ?0

???? ????



x ?x 1 1 y1 ? y2 ? ( x1 ? m) ? ( x2 ? m) ? 1 2 ? 2m 2 2 2 1 1 1 1 y1 y2 ? ( x1 ? m) ? ( x2 ? m) ? x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m2 2 2 4 2

代入①得:

5 1 5 x1 x2 ? ( m ? )( x1 ? x2 ) ? m2 ? 2m ? 5 ? 0 ???② 4 2 2

1 ? ?y ? 2 x ? m ? 由? 2 消 y 并整理化简得: x 2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0 ,此方程有两解 x1 , x2 2 ?x ? y ?1 ?8 2 ?

∴ ? ? (2m)2 ? 4(2m2 ? 4) ? 0

解得: ?2 ? m ? 2 …………………………………10 分

由韦达定理得: x1 ? x2 ? ?2m , x1 ? x2 ? 2m2 ? 4 代入②得:
5 1 5 6 (2m2 ? 4) ? ( m ? )(?2m) ? m2 ? 2m ? 5 ? 0 解: m ? 0 或 m ? ? ………………12 分 4 2 2 5

6 ∵点 A , B 异于 M ,∴ m ? ? ………………………………………………………13 分 5

【命题意图】.本题考查椭圆的性质及直线和圆锥曲线的位置关系,中等题. (20) (本小题满分 13 分)在等比数列 {an } 中, an ? 0(n ? N ? ) ,公比 q ? (0,1) , 且 a3 a5 ? 2a4 a6 ? a3 a9 ? 100 ,又 4 是 a 4 与 a 6 的等比中项.
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(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log 2 a n ,求数列 {| bn |} 的前 n 项和 S n . 解:(I) 因为 a3 a5 ? 2a4 a6 ? a3 a9 ? 100 ,即 a42 ? 2a4 a6 ? a62 ? 100 ,? (a4 ? a6 ) 2 ? 100 , 又? an ? 0 ,? a4 ? a6 ? 10 ,………………………………………………………………………2 分 又? 4 为 a4与a6 的等比中项,? a4 a6 ? 16 ,………………………………………………………3 分
? a 4 , a 6 是方程 x 2 ? 10 x ? 16 ? 0 的两个根,而 q ? (0,1) ,? a4 ? a6 ,? a4 ? 8 , a6 ? 2 ………4 分
q? 1 1 , a1 ? 64 ,∴an ? 64 ? ( )n ? 1 ? 27 ? n …………………………………………………………6 分 2 2 n(13 ? n) 2

(II) bn ? log 2 an ? 7 ? n ,则 {bn } 的前 n 项和 Tn ? ∴ 1 ? n ? 7 时, bn ? 0 ,∴Sn ? 当

n(13 ? n) ………………………………………………………8 分 2

当 n ? 8 时, bn ? 0 , Sn ? b1 ? b2 ? ? ? b7 ? (b8 ? b9 ? ? ? bn ) ……………………………………10 分
? ?(b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? 2(b1 ? b2 ? ? ? b7 ) , ? ?

n(13 ? n) 7 ? (6 ? 0) n2 ?13n ? 84 , ? 2? ? 2 2 2

?13n ? n 2 ? ? ∴Sn ? ? 2 2 ? n ? 13n ? 84 ? ? 2

(1 ? n ? 7且n ? N ? ) (n ? 8且n ? N ? )

…………………………………………………13 分

【命题意图】.本题考查等比数列、等差数列有关性质及求和的应用,中等题.

(21)(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的表达式;

ax 在 x ? 1 处取得极值 2 . x2 ? b

(Ⅱ)当 m 满足什么条件时,函数 f ( x) 在区间 (m , 2m ? 1) 上单调递增? (Ⅲ)若 P( x0 , y0 ) 为 f ( x) ?
ax ax 图象上任意一点,直线 l 与 f ( x) ? 2 的图象切于点 P , x ?b x ?b
2

求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 解: (Ⅰ)因为 f / ( x) ?
? f / (1) ? 0 ? f (1) ? 2
a ( x 2 ? b) ? ax(2 x) ax ,而函数 f ( x) ? 2 在 x ? 1 处取得极值 2, ( x 2 ? b) 2 x ?b

所以 ?

, 即 ? a

?a(1 ? b) ? 2a ? 0 ?a ? 4 4x ? , 解得 ? 所以 f ( x) ? b ?1 ?2 1 ? x2 ? ?1 ? b ?
4( x 2 ? 1) ? 8 x 2 ?4( x ? 1)( x ? 1) ? ( x 2 ? 1) 2 (1 ? x 2 ) 2
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即为所求 .….…4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f / ( x) ?

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x
f ?( x) f ( x)

(?? , ? 1)

?1

( ?1,1)

1

(1, ? ?)



0 极小值

+ ↗

0 极大值



? m ? ?1 ? 可知, f ( x) 的单调增区间是 [?1 , 1 ] ,所以, ? 2m ? 1 ? 1 ? ?1 ? m ? 0 . ? m ? 2m ? 1 ?

所以当 m ? (?1 , 0 ] 时,函数 f ( x) 在区间 (m , 2m ? 1) 上单调递增. (Ⅲ)由条件知,过 f ( x) 的图形上一点 P 的切线 l 的斜率 k 为:
k ? f / ( x0 ) ? 4(1 ? x0 2 ) ?1 ? x0 2 ? 2 2 1 ? 4[ ? ], ? 4? 2 2 (1 ? x0 2 ) 2 1 ? x0 2 (1 ? x0 ) (1 ? x0 2 ) 2

…………………………9 分

令 t?

1 ,则 t ? (0 , 1] , 1 ? x0 2

1 1 1 此时 , k ? 8(t 2 ? t ) ? 8(t ? )2 ? . 2 4 2

1 1 1 1 根据二次函数 k ? 8(t ? )2 ? 的图象性质知:当 t ? 时, kmin ? ? ; 4 2 4 2

当 t ? 1时, kmax ? 4 .

1 所以,直线 l 的斜率 k 的取值范围是 [? , 4 ] . ………… ………………………………………13 分 2

【命题意图】本题考查导数及其应用,较难题.

·11·


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