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第60讲 随机事件的概率与古典概型


第 60 讲
知识梳理

随机事件的概率与古典概型

就说事件 A1,A2,…,An 彼此互斥.有概率计算公式 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).( ) 3.古典概型的判断 (1)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”,属于古典概型,其基本事件是“发芽和不发芽”.( ) (2)从市场上出售的标准为 500±5 g 的袋装食盐中任取一袋,测其重量,属于古典概型.( )

一、随机事件的含义 1.必然事件:在一定条件下,______发生的事件. 2.不可能事件:在一定条件下,________发生的事件. 3.随机事件:在一_____________________的事件. 二、随机事件的概率 1.事件的频率:在相同的条件下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数,称事件 A 出现的比例 fn(A)=__________为事件 A 出现的频率. 2.概率的统计定义:一般地,如果随机事件 A 在 n 次试验中发生了 m 次,当试验的次数 n 很大时,我们可以 将发生的频率 作为事件 A 发生的概率的近似值,即 P(A)≈________. 三、事件间的关系 1.包含关系:如果事件 A 发生,事件 B 一定发生,则称事件 B 包含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B),记作

考点一

随机事件的频率与概率问题
办理业务所需的时间(分) 频率 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1

例 1 [2012· 陕西卷改编] 某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整 数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:

从第一个顾客开始办理业务时计时.估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率. 解:设 Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得 Y 的分布列如下:

m n

Y P

1 0.1

2 0.4

3 0.3

4 0.1

5 0.1

B

?A

(或者 A

?

B),任何事件都包含不可能事件

2.相等关系:若 A

?

B,且 B

?

?

.

A,那么称事件 A 与事件 B 相等,记作 A=B.

3.和事件:若某事件发生当且仅当事件 A 发生______事件 B 发生,则称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件 (或和事件),记作 A∪B(或 A+B). 4. 积事件: 若某事件发生当且仅当事件 A 发生______事件 B 发生, 则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件, 或者积事件,记作 A∩B 或者 AB. 5.互斥事件:当 A∩B 为____________时,称事件 A 与事件 B 互斥,其含义是:事件 A 与事件 B 在任何 一次试验中不会同时发生. 6.对立事件:当 A∩B 为____________,A∪B 为__________时,称事件 A 与事件 B 互为对立事件,其 含义是:事件 A 和事件 B 在任何一次试验中有且只有一个发生. 注:上面事件的关系与运算类似于集合之间的关系与运算. 四、概率的基本性质 1.任何事件 A 的概率都在[0,1]内,即 0≤P(A)≤1,不可能事件 的概率为 0,必然事件 Ω 的概率为 1. 2.如果事件 A,B 互斥,则 P(A+B)=__ P(A)+P(B) __________. 3.事件 A 与它的对立事件 A 的概率满足 P(A)+P(A)=1. 五、古典概型 1. 古典概型的特征: (1)有限性: 在一次试验中, 可能出现的结果是______的, 即只有有限个不同的基本事件; (2)等可能性:每个基本事件出现的可能性______. 2.古典概型的概率计算的基本步骤: (1)判断试验的结果是否是等可能的,设出所求的事件为 A. (2)分别计算基本事件的个数 n 和所求的事件 A 所包含的基本事件个数 m. (3)利用古典概型的概率公式 P(A)=______,求出事件 A 的概率.

①第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟;②第一个顾客办理 业务所需的时间为 3 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时 间均为 2 分钟. 所以 P(A)=P(Y=1)P(Y=3)+P(Y=3)P(Y=1)+P(Y=2)P(Y=2)=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22. 归纳总结 概率可看成频率在理论上的稳定值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小,它是频率 的科学抽象,当试验次数越来越多时频率向概率靠近,只要次数足够多,所得频率就近似地当做随机事件的概率. 变式题 某企业自行设计了两条某种大型设备的生产线,分别称为 1 号线和 2 号线,经过两年的运行,每条生 产线生产一台合格的该大型设备的时间数据统计如下表: 时间(天) 1 号线生产一台合格的该大型设备的频率 2 号线生产一台合格的该大型设备的频率 15~25 0.1 0 25~35 0.15 0.25 35~45 0.45 0.4 45~55 0.2 0.3 55~65 0.1 0.05

A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务”,则事件 A 对应三种情形:

?

其中 m~n 表示生产一台合格的该大型设备的时间大于 m 天而不超过 n 天,m,n 为正整数. 现该企业接到甲、乙两公司各一个订单,每个公司需要生产一台合格的该大型设备,甲、乙两公司要求交货时 间分别为不超过 45 天和 55 天,为了尽最大可能在甲、乙两公司订单要求的时间内交货,该企业应如何选择生产 甲、乙两公司订购的该大型设备的生产线?

疑难辨析
1.概率与频率的联系 (1)事件发生的频率和概率是相同的.( ) (2)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.( ) 2.事件之间的关系 (1)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.( ) (2)两个事件对立时一定互斥,但两个事件是互斥事件时这两个事件未必对立.( ) (3)互斥事件的概念可以推广到多个事件的互斥,即如果事件 A1,A2,…,An 中的任何两个都是互斥的,那么 解:用 Ak 表示事件“k 号线生产甲公司订购的合格的大型设备时,在规定的时间内交货”,用 Bk 表示事件“k 号 线生产乙公司订购的合格的大型设备时,在规定的时间内交货”,其中 k=1,2. 用频率估计相应的概率可得 P(A1)=0.1+0.15+0.45=0.7, P(A2)=0.25+0.4=0.65,

P(A1)>P(A2),所以用 1 号线生产甲公司订购的合格的大型设备. P(B1)=1-0.1=0.9,P(B2)=0.25+0.4+0.3=0.95, P(B2)>P(B1),
所以用 2 号线生产乙公司订购的合格的大型设备.

只需从其他 8 人中选 1 人,有 C81 种, ∴甲、乙两人都被选中的概率 P(A)=

C8 1 1 = . C103 15

考点二

互斥事件与对立事件的概率问题

[点评] 应用古典概型求解随机事件的概率,一般可按以下步骤进行:一是确定基本事件的总数,二是求出事 件 A 包含的基本事件数,三是应用古典概型的公式计算. 归纳总结 古典概型是基本事件个数有限,每个基本事件发生的概率相等的一种概率模型,其概率等于随机事 件所包含的基本事件的个数与基本事件的总个数的比值. 变式题 [2012· 南京一模] 袋中装有大小相同且形状一样的四个球,四个球上分别标有 “2”“3”“4”“6” 这四个 数.现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是________. [解析] 从中随机选取三个球, 所有的取法共有 C43=4 种; 其中, 取出的 3 个球能构成等差数列的取法有 2 种: 2 1 三个球的号码分别为 2、3、4 和 2、4、6,故所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是 P= = . 4 2

例 2 (1)一盒中装有分别标记着 1,2,3,4 的 4 个小球,每次从盒中取一个球,设每个小球被取出的可能性相 同.若每次取出的球不放回 盒中,现连续取三次球,则恰好第三次取出的球的标号为最大数字的球的概率是____ ... (2)[2012· 南京二模] 某单位从 4 名应聘者 A,B,C,D 中招聘 2 人,如果这 4 名应聘者被录用的机会均等, 则 A,B 两人中至少有 1 人被录用的概率是________. [解析] (1)由题意,每次取出的球不放回盒中,现连续取三次球,共有 A43=24 种取法, 设事件 A 表示“恰好第三次取出的球的标号为最大数字的球”,事件 A1 表示“恰好第三次取出的球的标号 3 为最 大数字的球”,事件 A2 表示“恰好第三次取出的球的标号 4 为最大数字的球”,则事件 A1,A2 互斥,且 A=A1+A2. 2 1 若最大数字为 3 时,前两次取球标号只能是 1,2,可能的取法为(1,2)或(2,1)共 2 种,则 P(A1)= = ; 24 12 6 3 若最大数字为 4 时,前两次取球标号可能是 1,2,3 中的两个,故有 A32=6 种取法,则 P(A2)= = , 24 12 1 3 1 1 ∴P(A)=P(A1)+P(A2)= + = ,即“恰好第三次取出的球的标号为最大数字的球”的概率为 . 12 12 3 3 (2)用 E 表示事件“A,B 两人都不被录用”,用 F 表示事件“A,B 两人中至少有 1 人被录用”,得事件 E, F 互斥,且事件 E,F 必有一个发生,则事件 E,F 是对立事件, 由这个单位从 4 名应聘者 A,B,C,D 中招聘 2 人,这 4 名应聘者被录用的机会均等,则 A,B 两人都不被录 C22 1 用的概率为 P(E)= = , C42 6 5 ∴A,B 两人中至少有 1 人被录用的概率 P(F)=1-P(E)= . 6 [点评] 求复杂事件的概率通常有两个思路:一是将随机事件表示为一些互斥事件的和,二是先求其对立事件

考点四

复杂的古典概型的概率问题
)

例 4 (1)[2012· 广东卷] 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为 0 的概率是( 4 1 2 1 A. B. C. D. 9 3 9 9

(2)甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记 为 b,其中 a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心 有灵犀”的概率为( ) 1 2 7 4 A. B. C. D. 9 9 18 9 [解析] (1)用 A 表示事件“从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,个位数为 0”,首先确定符合条件 的两位数的所有个数,设个位数与十位数分别为 y,x,如果两位数之和是奇数,则 x,y 分别为一奇数一偶数: 第一类 x 为奇数,y 为偶数共有 C51×C51=25; 另一类 x 为偶数,y 为奇数共有 C41×C51=20, 两类共计 45 个, 其次,再找到个位是 0 的个数,个位数是 0,十位数是奇数的两位数有 10,30,50,70,90 这 5 个数,所 5 1 以个位数是 0 的概率为 P(A)= = ,故选 D. 45 9 (2)用 A 表示事件“心有灵犀”, 由题意知本题是一个古典概型, 试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏, 共有 6×6=36 种猜字结果,其中满足|a-b|≤1 的有如下情形: ①若 a=1,则 b=1,2; ②若 a=2,则 b=1,2,3; ③若 a=3,则 b=2,3,4; ④若 a=4,则 b=3,4,5; ⑤若 a=5,则 b=4,5,6; ⑥若 a=6,则 b=5,6, 由分类加法计数原理,得满足|a-b|≤1 的情形有 2+3+3+3+3+2=16 种, 16 4 ∴他们“心有灵犀”的概率为 P(A)= = ,故选 D. 36 9 归纳总结 古典概型是基本事件个数有限,每个基本事件发生的可能性相同的概率模型,遇到一个求解概率的 问题首先要判断这个概率问题是否属于古典概型,然后再根据古典概型的概率计算公式进行计算.

的概率,再确定所求的概率,这是一种重要的解题技巧,这种方法解题过程表达清晰,还能有效地优化解题思路、 避免错误. 归纳总结 对互斥事件要把握住不能同时发生,而对于对立事件除不能同时发生外,其并事件应为必然事件, 这些也可类比集合进行理解,具体应用时,可把所有试验结果写出来,看所求事件包含哪几个试验结果,从而断定 所给事件的关系.

考点三

简单的古典概型的概率问题

例 3 (1)[2012· 太原三模] 4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率是( ) 1 1 2 3 A. B. C. D. 3 2 3 4 (2) 从某学习小组 10 名同学中选出 3 人参加一项活动,其中甲、乙两人都被选中的概率是________. [解析] (1)从这 4 张卡片中随机抽取 2 张, 共有 C42 种, 设事件 A 表示“取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数”, 要使取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数,则取出的 2 张卡片上的数字必须一奇一偶,有 C21C21 种, C21C21 2 ∴取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率 P(A)= = ,故选 C. C4 2 3 3 (2)从 10 名同学中选出 3 人,共有 C10 种,设 A 表示事件“甲、乙两人都被选中”,若甲、乙两人都被选中,则

变式题 [2012· 常州调研] 用三种不同的颜色给图 10-60-2 中的三个矩形随机涂色, 每个矩形只涂一种颜色, 则三个矩形中有且仅有两个矩形颜色相同的概率是________.

均被关闭.为保持教室空气流通,班长在这些关闭的门和窗户中随机地敞开 2 扇. (1)记“班长在这些关闭的门和窗户中随机地敞开 2 扇”为事件 A,请列出 A 包含的基本事件; (2)求至少有 1 扇门被班长敞开的概率. 解:(1)事件 A 包含的基本事件为(a,b),(a,c),(a,x),(a,y),(b,c),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y), (x,y),共 10 个. (2)方法一:记“至少有 1 扇门被班长敞开”为事件 B. ∵事件 B 包含的基本事件有(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y),(x,y),共 7 个. 7 ∴P(B)= . 10 方法二:事件“2 个门都没被班长敞开”包含的基本事件有(a,b),(a,c),(b,c),共 3 个. 3 ∴2 个门都没被班长敞开的概率 P1= , 10 3 7 ∴至少有 1 个门被班长敞开的概率 P2=1- = . 10 10 4.某地区有 5 个工厂,由于用电紧缺,规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电(选哪一天是等可能的).假定工 厂之间的选择互不影响. (1)求 5 个工厂均选择星期日停电的概率; (2)求至少有两个工厂选择同一天停电的概率. 解:(1)设 5 个工厂均选择星期日停电的事件为 A, 1 1 则 P(A)= 5= . 7 16807 (2)设 5 个工厂选择的停电时间各不相同的事件为 B, A75 7×6×5×4×3 360 则 P(B)= 5 = = . 7 75 2401 因为至少有两个工厂选择同一天停电的事件是 B, 360 2041 所以 P(B)=1-P(B)=1- = . 2401 2401

[解析] (1)用 A 表示事件“三个矩形中有且仅有两个矩形颜色相同”,根据题意,每个矩形有 3 种涂色方法,则三 个矩形有 3×3×3=27 种涂色方法; 要使三个矩形中有且仅有两个矩形颜色相同,分 2 步进行:在三个矩形中任取两个,有 C32=3 种取法;为选 出的 2 个矩形选 1 种颜色,有 3 种情况,剩余的 1 个再选 1 种,有 2 种情况,则三个矩形中有且仅有两个矩形颜色 相同有 3×3×2=18 种情况, 18 2 ∴三个矩形中有且仅有两个矩形颜色相同的概率为 P(A)= = . 27 3

习题 1

[2012· 哈三中三模] 口袋里装有 4 个大小相同的小球,其中两个标有数字 1,两个标有数字 2.

(1)第一次从口袋里任意取一球,放回口袋里后第二次再任意取一球,记第一次与第二次取到小球上的数字之和 为 ξ.当 ξ 为何值时,其发生的概率最大?说明理由; (2)第一次从口袋里任意取一球,不再放回口袋里,第二次再任意取一球,记第一次与第二次取到小球上的数字 之和为 η.求 η 大于 2 的概率.

2[2012· 云南宣威二中模拟] 有一种旋转舞台灯,外形是正六棱柱,在其每一个侧面上安装 5 只颜色各异的彩灯, 假若每只灯正常发光的概率均为 0.5.若一个面上至少有 3 只灯发光,则不需要维修,否则需要更换这个面. (1)恰好有两个面需要维修的概率; (2)至少三个面需要更换的概率. C53+C54+C55 1 解: (1)因为一个面不需要维修的概率为 P5(3)+P5(4)+P5(5)= = , 25 2 1 所以一个面需要维修的概率为 . 2 因此,六个面中恰好有两个面需要维修的概率为 C62 15 P6(2)= 6 = . 2 64 C6 0 1 C6 1 3 C62 15 (2)P6(0)= 6 = ,P6(1)= 6 = ,P6(2)= 6 = . 2 64 2 32 2 64 故至少有三个面需要更换的概率是 1 3 15 21 1-P6(0)-P6(1)-P6(2)=1- - - = . 64 32 64 32 21 至少三个面需要更换的概率是 . 32 3[2012· 福州质检] 某教室有 4 扇编号为 a,b,c,d 的窗户和 2 扇编号为 x,y 的门,窗户 d 敞开,其余门和窗户

课后习题(随机事件的概率与古典概型)

1.[2013· 海口二中月考] 从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球,那么互斥而不对立的事件是( A.至少有一个红球与都是红球 B.至少有一个红球与都是白球 C.至少有一个红球与至少有一个白球 D.恰有一个红球与恰有两个红球 2.[2013· 长春调研] 甲、乙、丙、丁四人排成一列,则甲不排在乙之后的概率为( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 12 6 4 2

)

3.一个数学兴趣小组有女同学 2 名,男同学 3 名,现从这个数学兴趣小组中任选 2 名同学参加数学竞赛,则 参加数学竞赛的 2 名同学中,女同学人数不少于男同学人数的概率为________. 4.[2013· 哈师大附中月考] 甲、乙两颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率 分别为 0.8 和 0.75,则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________. 5.将一个骰子抛掷一次,设事件 A 表示向上的一面出现的点数不超过 3,事件 B 表示向上的一面出现的点 数 不小于 4,事件 C 表示向上的一面出现奇数点,则( ) A.A 与 B 是对立事件 B.A 与 B 是互斥而非对立事件 C.B 与 C 是互斥而非对立事件 D.B 与 C 是对立事件 6. 从 3 男 1 女 4 位同学中选派 2 位同学参加某演讲比赛,那么选派的都是男生的概率是( ) 3 1 2 1 A. B. C. D. 4 4 3 2 7.[2013· 安徽“江南十校”联考] 现有甲、乙、丙、丁四名义工到三个不同的社区参加公益活动.若每个社区至 少一名义工,则甲、乙两人被分 到不同社区的概率为( ) 1 5 10 17 A. B. C. D. 6 6 27 27 π 8. [2013· 汕头六校联考] 连续掷两次骰子分别得到点数 m, n, 则向量 a=(m, n)与向量 b=(-1, 1)的夹角 θ> 2 的概率是( ) 1 1 7 5 A. B. C. D. 2 3 12 12 9.[2013· 江苏卷] 现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项,-3 为公比的等比数列 ,若从这 10 个数中随 机抽取一个数,则它小于 8 的概率是________. 10.[2013· 哈六中四模] 在一个袋子中装有分别标注 1,2,3,4,5 的 5 个小球,这些小球除标注的数字外完 全相同,现从中随机取出 2 个小球,则取出小球标注的数字之差的绝对值为 2 或 3 的概率是________. 11.[2013· 宁波调研] 连掷骰子两次(骰子六个面上分别标以数字 1,2,3,4,5,6)得到的点数分别记为 a 和 b,则使直线 3x-4y=0 与圆(x-a)2+(y-b)2=4 相切的概率为________. 12.(13 分)[2013· 包头一模] 有两枚大小相同、质地均匀的正四面体玩具,每个玩具的各个面上分别写着数字 1,2,3,5.同时投掷这两枚玩具一次,记 m 为两个朝下的面上的数字之和. (1)求事件“m 不小于 6”的概率; (2)“m 为奇数”的概率和“m 为偶数”的概率是不是相等?证明你作出的结论.[来源:学科网 ZXXK] 13.(12 分)[2013· 昆明检测] 甲同学有一只装有 a 个红球,b 个白球,c 个黄球的箱子,假设 a≥0,b≥0,c≥0, a+b+c=6.乙同学有一只装有 3 个红球,2 个白球,1 个黄球的箱子,甲乙两同学各自从自己的箱子中随机取出一 个球,然后对取出的球的颜色进行比较,规定颜色相同时为甲同学胜,颜色不同时为乙同学胜,假设甲同学箱子中 的每个球被取出的概率相等,乙同 学箱子中的每个球被取出的概率也相等. 24-a+c (1)求证:乙同学胜的概率等于 ; 36 1 (2)假设甲同学胜的概率等于 ,求 a,b,c 的值. 2

课后习题答案(随机事件的概率与古典概型)
1.D [解析] A 中的两个事件不互斥,B 中两个事件互斥且对立,C 中两个事件不互斥,D 中的两个事件互斥 而不对立,故选 D. 4 2.D [解析] 方 法一:甲、乙、丙、丁四人排成一列,有 A4 种排法 ;把甲乙当作一个整体(顺序固定,甲在 2 C2 1 4A2 2 前,乙在后),有 C2 = ,故选 D. 4种排法,其余 2 人有 A2种排法,则甲不排在乙之后的概率为 P= A4 2 4 方法二:甲、乙、丙、丁四人排成一列,甲在乙之前与甲在乙之后的排法种数相等,则甲不排在乙之后的概率 1 为 ,故选 D. 2 3.D [解析] 3 名男同学,2 名女同学,共 5 名同学,从中取出 2 人,有 C2 5=10 种情况,女同学人数不少于 2 1 男同学人数,包括 2 名女生和 1 名女生 1 名男生,共 C2 +C1 2C3=7 种情况,则参加数学竞赛的 2 名同学中,女同学 7 人数不少于男同学人数的概率为 ,故选 D. 10 4.0.95 [解析] 甲、乙两颗卫星都预报不准确的概率是(1-0.8)×(1 -0.7 5)=0.2×0.25=0.05, ∴在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率是 P=1-0.05=0.95. 【能力提升】 5.A [解析] 由题意知,事件 A 包含的基本事件为向上点数为 1,2,3,事件 B 包含的基本事件为向上的点 数为 4,5,6,事件 C 包含的点数为 1,3,5,A 与 B 是对立事件,故选 A. 6.D [解析] 由题意 3 男 1 女 4 位同学中选派 2 位同学参加某演讲比赛,总的选法有 C2 4=6 种,两位选手都 3 1 2 是男生的选法种数是 C3=3 种,则选派的都是男生的概率是 P= = ,故选 D. 6 2 7.B [解析] 用 A 表示事件“甲、乙两人被分到不同社区”,用 B 表示事件“甲、乙两人被分到同一社区”,得 事件 A,B 互斥,且事件 A,B 必有一个发生,则事件 A,B 是对立事件.把甲、乙、丙、丁四名义工到三个不 同 3 A3 3 3 的社区, 每个社区至少一名义工,共有 C2 则 P(B)= 2 3 4A3种分配方法,其中甲、乙两人被分到同一社区,有 A3种, C4A3 1 5 = ,∴甲、乙两人被分到不同社区的概率为 P(A)=1-P(B)= ,故选 B. 6 6 π 8.D [解析] 总的基本事件有 6×6=36 种,θ> ,即 a· b<0,所以 n-m<0.事件“n<m”包含 15 个基本事件,故 2 15 5 P= = ,故选 D. 36 12 9. 3 - [解析] 由通项公式 an=1×(-3)n 1 得,满足条件的数有 1,-3,-33,-35,-37,-39,共 6 个,从 5

5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,5)共 16 种, (1)事件“m 不小于 6”包含(1,5),(2,5),(3,3),(3,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,5)8 个基本事件, 8 1 所以 P(m≥6)= = . 16 2 (2)“m 为奇数”的概率和“m 为偶数”的概率不相等. 2 2 2 3 因为 m 为奇数的概率为 P(m=3)+P(m=5)+P(m=7)= + + = , 16 16 16 8 3 5 m 为偶数的概率为 1- = . 8 8 这两个概率值不相等. 【难点突破】 13. 解: (1)证明: 设甲同学胜的概率为 P(甲), 乙同学胜的概率为 P(乙), 显然甲同学胜与乙同学胜为对立事件, 所以 P(乙)=1-P(甲). 甲同学胜分为三个基本事件:①A1: “甲乙均取到 红球”: ②A2: “甲乙均取到白球”; ③A3: “甲乙均取到黄球”. a×3 a b×2 b c×1 c 3a+2b+c ∵P(A1)= = ,P(A2)= = ,P(A3)= = .∴P(甲)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= . 6×6 12 6×6 18 6×6 36 36 ∵a+b+c=6,∴b=6-a-c, 3a+2b+c 3a+2(6-a-c)+c 12+a-c P(甲)= = = , 36 36 36 12+a-c 24-a+c ∴P(乙)=1-P(甲)=1- = . 36 36 24-a+c ∴乙同学胜的概率为 . 36 24-a+c (2)由(1)知,乙同学胜的概率 P(乙)= . 36 1 ∵甲同学胜的概率等于 ,P(乙)=1-P(甲), 2 24-a+c 1 = . 36 2 ∵a≥0,b≥0,c≥0,a+b+c=6,∴a≤6,c≥0. ∴-a≥-6,c≥0.[来源:学科网 ZXXK] 24-a+c 24-6 1 ∴P(乙)= ≥ = . 36 36 2 ∴P(乙)= “=”成立的充要条件为? ∴b=6-a-c=0, 此时 a=6,b=c=0.

3 而所求概率为 P= .[来源:学.科.网] 5 1 10. [解析] 从 5 个球中随机取出 2 个小球有 10 种取法:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2, 3),(2, 2 4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).数字之差的绝对值为 2 的情况有:(1,3),(2,4),(3,5)三种;数字之 差的绝对值为 3 的情况有:(1,4),(2,5)两种.[来源:学#科#网 Z#X#X#K] 3+2 1 故所求概率为 P= = . 10 2 1 11. [解析] 连掷骰子两次总的试验结果有 36 种,要使直线 3x-4y=0 与圆(x-a)2+(y-b)2=4 相切,则 18 |3a-4b| =2,即满足|3a-4b|=10,符 合题意的(a,b)有(6,2),(2,4)两个,由古典概型概率计算公式可得所 32+42 2 1 求概率为 P= = . 36 18 12.解:因玩具是均匀的,所以玩具各面朝下的可能性相等,出现的可能情况有(1,1),(1,2),(1,3),(1,

?a=6, ?c=0.

1 ∴当甲同学胜的概率等于 时,a=6,b=c=0. 2


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