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历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选100题详析(一)[1]1


历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选 100 题详析
题 1 是 . (第十一届高二第一试第 11 题) 解法 1 已 知 0 ? a ? b, x ? a ? b ? b , y ? b ? b ? a , 则x, y 的 大 小 关 系

x ? a?b ? b ?

a a ,y ? b ? b?a ? . a?b ? b b ? b?a

?0 ? a ? b,? a ? b ? b ? b ? b ? a ,? x ? y .
解法 2

x x a?b ? b b ? b?a ,? a ? b ? b ? a,? ? 1,? x ? y . ? ? y y b ? b?a a?b ? b

解法 3

1 1 1 1 a?b ? b b ? b?a ? ? ? ? ? x y a a a?b ? b b ? b?a

=

a?b ? b?a 1 1 ? 0,? ? ? 0,? x ? y . a x y
解法 4 原问题等价于比较 a ? b ? b ? a 与 2 b 的大小.由 x ? y ?
2 2

( x ? y)2 ,得 2

( a ? b ? b ? a )2 ? 2(a ? b ? b ? a) ? 4b ,? a ? b ? b ? a ? 2 b .

? a ? b ? b ? a ,? a ? b ? b ? a ? 2 b ,? x ? y .
解法 5 如图 1,在函数 y ?

x 的图象上取三个不同的

y C B A

点 A( b ? a , b ? a ) B b , b ) ( a ? b , a ? b ) 、( 、C . 由图象, 显然有 kBC ? k AB , 即

a?b ? b b ? b?a , ? (a ? b) ? b b ? (b ? a)
O

即 a ? b ? b ? b ? b ? a ,亦即 x ? y .

b-a

b 图1

b+a

x

a ? 解法 6 令 f (t ) ? a ? t ? t , f (t ) ? 单 a?t ? t
调递减,而 b ? b ? a ,? f (b) ? f (b ? a) ,即 a ? b ? b ? b ? b ? a ,? x ? y . 解法 7 考虑等轴双曲线 x ? y ? a( x ? 0) .
2 2

如图 2,其渐近线为 y ? x .在双曲线上取两点 A( b , b ? a ) 、B( b ? a , b ). 由图形,显然有 k AB ? 1 ,即 y B A

b ? b?a ? 1 ,从而 x ? y . a?b ? b

解法 8 如图 3.在 Rt△ABC 中,∠C 为直角,BC= a , O AC= b ,BD= b ,则 AB= a ? b ,DC= b ? a . 在△ABD 中,AB-AD<BD,即 a ? b ? AD ? 从而 a ? b ? AD-DC< b ? DC, 即 a ? b ? b ? b ? b ? a ,故 x ? y . 评析 比较大小是中学代数中的常见内容.其最基本的方法是 作差比较法、作商比较法、利用函数的单调性.解法 1 通过分子有理 化(处理无理式常用此法)将问题转化成比较两个分母的大小.解法

a

b

a?b x

b,
图2 A D

a?b b
B

b b?a
C 图3

a 2 直接作商与 1 比较大小, 顺理成章, 也很简洁.要注意的是: , b ? 0
时,

a

a a ? 1 ? a ? b ; a, b ? 0 时, ? 1 ? a ? b .此题直接作差难以确定差与 0 的大小, b b 解法 3 对 x, y 的倒数作差再与 0 比较大小, 使得问题顺利获解, 反映了思维的灵活性.解法 6 运用函数的单调性解题,构造一个什么样的函数是关键.我们认为构造的函数应使得 x, y 恰 为其两个函数值, 且该函数还应是单调的 (最起码在包含 x, y 对应的自变量值的某区间上是 单调的).解法 5 与解法 7 分别构造函数与解几模型,将 x, y 的大小关系问题转化成斜率问
题加以解决,充分沟通了代数与几何之间的内在联系,可谓创新解法.解法 8 充分挖掘代数 式的几何背景,构造平面图形,直观地使问题得到解决,这也是解决大小关系问题和证明不 等式的常用方法. 有人对此题作出如下解答: 取 a ? 1, b ? 2, 则 x ? 3 ? 2 ?

1 1 , y ? 2 ?1 ? ,? 3 ? 2 ? 2 3? 2 2 ?1

?1 ? 0 ,

1 1 ? ,? x ? y. 可再取两组特殊值验证,都有 x ? y .故答案为 x ? y . 3? 2 2 ?1

从逻辑上讲,取 a ? 1, b ? 2 ,得 x ? y .即使再取无论多少组值(也只能是有限组值) 验证,都得 x ? y ,也只能说明 x ? y 或 x ? y 作为答案是错误的,而不能说明 x ? y 一定是 正确的,因为这不能排除 x ? y 的可能性.因此答案虽然正确,但解法是没有根据的.当然,如 果将题目改为选择题: 已 知 0 ? a ? b, x ? a ? b ? b , y ? b ? b ? a , 则x, y 的 大 小 关 系 是



) A、 x ? y

B、 x ? y

C、 x ? y

D、 x ? y

此时用上述解法,且不用再取特殊值验证就可选 D,并且方法简单,答案一定正确. 总而言之, 特殊值法在解许多选择题时显得特别简捷, 那是因为选择支中的正确答案是 唯一的,从而通过特殊值排除干扰支,进而选出正确答案.但特殊值法只能排除错误结论, 而不能直接肯定正确答案,因此,用此法解填空题(少数特例除外)与解答题是没有根据的. 当然,利用特殊值指明解题方向还是十分可取的. 题 2 ( ) A、2 设 a ? b ? c ,n? N ,且

1 1 n ? ? 恒成立,则 n 的最大值为 a?b b?c a ?c
C、4 D、5 (第十一届高二第一试第 7 题)

B、3

解法 1

原式 ?

a?c a?c a?c a?c ?a ?c a ?c? ? ? n .? n ? ? ? ? .而 a ? b ? b ? c a?b b?c ? a ? b b ? c ? min

?

a?b?b?c b?c? a ?b b?c a?b b?c a?b ? 2+ ? ,即 ? ? ? 4 ,且当 a?b b?c a?b b?c a?b b?c

?a ?c a ?c? ? 4 .? n ? 4 .故选 C . a ? c ? 2b 时取等号.? ? ? ? a ? b b ? c ? min ?
解法 2 ? a ? b ? c ,? a ? b ? 0, b ? c ? 0, a ? c ? 0 ,已知不等式化为

?a ? c? ?a ? c? ? ?a ? c? n? .由 ? a ? b ?? b ? c ? ? a ? b ?? b ? c ? ? a ? b ? b ? c ?2
2

2

2

? ?

2

? ?

? ?a ? c ?2 ? ? 4 ,即 ? ? ?4, ? ?a ? b ??b ? c ?? min

故由已知得 n ? 4 ,选 C . 解 法 3 由

a?b?c





a ? b ? 0, b ? c ? 0, a ? c ? 0






1 ? ? 1 n ? ?a ? c ?? ? ? ?a ?b b?c?



?a ? c ?? ?
? ?

1 1 ? 1 ? ? 1 2 ? ? ? ? ??a ? b ? ? ?b ? c ??? ? ? ?1 ? 1? ? 4 , ?a ?b b?c? ?a ?b b?c?

即 ??a ? c ??

1 ?? ? 1 ? ?? ? 4 ,由题意, n ? 4 .故选 C . ? a ? b b ? c ?? min

解法 4 ? a ? b ? c ,? a ? b ? 0, b ? c ? 0, a ? c ? 0 .? 已知不等式可变形为

?a ? c? ?a ? c? n? .记 k ? , ? a ? b ?? b ? c ? ? a ? b ?? b ? c ?
2 2

??a ? b ? ? ?b ? c ??2 则k ? ?a ? b ??b ? c ?

?2 ?

?a ? b ??b ? c ?? ?a ? b ??b ? c ?

2

? 4 .由题意, n ? 4 .故选 C .

解法 5 ? a ? b ? c ?

1 1 ? 0, ? 0. 于是 a ?b b?c

1 1 4 4 .比较得 n ? 4 .故选 C . ? ? ? a ? b b ? c ?a ? b ? ? ?b ? c ? a ? c
评析 由已知, 可得 n ? ?a ? c ??

1 ? ? 1 根据常识“若 a ? f ? x ? 恒成立, ? ? 恒成立. ?a ?b b?c? 1 ? ? 1 ? ? 的最小值就 ?a ?b b?c?

则 a ? f ?x?min ;若 a ? f ?x ? 恒成立,则 a ? f ? x ?max ,” ?a ? c ?? 是所求 n 的最大值,故问题转化为求 ?a ? c ??

1 ? ? 1 ? ? 的最小值,上述各种解法都是 ?a ?b b?c?

围绕这一中心的,不过采用了不同的变形技巧,使用了不同的基本不等式而已.解法 1 运用

b a ? a ?b? ? 了“ ? ? 2, a, b ? R ” ; 解 法 2 运 用 了“ab ? ? ? ”; 解 法 3 运 用 了 a b ? 2 ?
2

? 1 1? ; “?a ? b ?? ? ? ? 4”; 解 法 4 运 用 了“a ? b ? 2 ab a, b ? R ? ” 解 法 5 运 用 了 ?a b?
1 1 4 “ ? ? a, b ? R ? ” .虽解法异彩纷呈,但却殊途同归. a b a?b
此题使我们联想到最新高中数学第二册(上)P 30 第 8 题: 已知 a ? b ? c ,求证:

?

?

?

?

1 1 1 ? ? ? 0. a?b b?c c?a

证:令 a ? b ? x, b ? c ? y?x ? 0, y ? 0?,则 a ? c ? x ? y .

?
?

1 1 1 1 1 1 x2 ? y 2 ? xy .? x ? 0, y ? 0 , ? ? ? ? ? ? a ?b b ?c c ?a x y x ? y xy ? x ? y ?
1 1 1 ? ? ? 0. a?b b?c c?a

此证法通过换元将分母中的多项式改写成单项式,使得推证更简单了.运用这一思路, 又可得本赛题如下解法: 设 a ? b ? x, b ? c ? y?x ? 0, y ? 0?, a ? c ? x ? y . 则 就是

1 1 n ? ? 恒成立, a?b b?c a?c

?1 1? ?1 1? 1 1 n ? ? 恒成立.也就是 n ? ?x ? y ?? ? ? 恒成立.? ?x ? y ?? ? ? ? 4 恒 ? x y? ? x y? x y x? y ? ? ? ?

成立, ? 由题意得 n ? 4 .故选 C . 再看一个运用这一思想解题的例子. 例 设 a, b, c ? R ? ,求证:

a2 b2 c2 a?b?c ? ? ? . b?c c?a a?b 2
(第二届“友谊杯”国际数学竞赛题)

证明

设 b ? c ? x, c ? a ? y, a ? b ? z, 则 a ? b ? c ?

1 ?x ? y ? z ??x, y, z ? 0? . 2
2

2 ?ay ? bx?2 ? 0 ,? a2 ? b2 ? ? a ? b ? a 2 b 2 ?a ? b? ? ? ? ? x y x? y xy?x ? y ? x y x? y
2 2 2

① ,

?a ? b ? c? ? a ? b ? c a 2 b2 c 2 ? a ? b ? c 2 ? a ? b ? c ? ? ? ? ? ? ? ? ,即 x y z x? y z x? y?z 2?a ? b ? c? 2
a2 b2 c2 a?b?c a2 b2 c2 a ? b ? c ? ? ? ,? . ? ? ? b?c c?a a?b 2 x y z 2
本赛题还可直接由下面的命题得解. 命题 若 a1 ? a2 ? ? ? an ? 0 ,则

?n ? 1? . 1 1 1 ? ??? ? a1 ? a2 a2 ? a3 an?1 ? an a1 ? an
2

证明 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 0 ,? a1 ? a2 , a2 ? a3 ,?, an?1 ? an 都大于 0 .反复运用

? n ? ? xi ? n x x x xi 2 ? i ?1 ? ? ? ① 可得: “若 xi , yi ? R (i ? 1, 2,?, n) ,则 ? 式, ,当且仅当 1 ? 2 ? ? ? n ? n y1 y2 yn i ?1 yi ? yi
i ?1

2








2

”.


2



?1 ? 1 ? ? ? 1? ? n ? 1? 1 1 1 ? ?? ? ? ? . a1 ? a2 a2 ? a3 an ?1 ? an a1 ? a2 ? a2 ? a3 ? ? ? an ?1 ? an a1 ? an
也可以这样证明:

? a1 ? a2 ? ? ? an ? 0 ,? a1 ? a2 , a2 ? a3 ,?, an?1 ? an ? 0 .故由柯西不等式,得
( 1 1 1 ? ??? ) ?? a1 ? a2 ? ? ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an?1 ? an ?? ? a1 ? a2 a2 ? a3 an?1 ? an ?
2

? ?1 ? 1 ? ? ? 1? ?? ??? ? ?
? n?1?个1
2

? ? n ? 1? ,即 (

1 1 1 2 ? ??? )?a1 ? a n ? ? ?n ? 1? .? a1 ? an ? 0 , a1 ? a 2 a 2 ? a3 a n ?1 ? a n

?

?n ? 1? . 1 1 1 ? ??? ? a1 ? a2 a2 ? a3 an?1 ? an a1 ? an
2

由此可得本赛题的如下解法:

?
?

a?b?c
2



? a ? b ? 0, b ? c ? 0, a ? c ? 0



?1 ? 1? ? 4 .由 题意, n ? 4 .故选 C . 1 1 ? ? a ?b b?c a ?b?b?c a ?c
由此命题还可直接解决第七届高二培训题第 8 题:设 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2000 ? a2001 ,

并且 m ? ( )

1 1 1 4 ? 106 ,n? ,则 m 与 n 的大小关系是 ? ?? ? a1 ? a2 a2 ? a3 a2000? a 2001 a1 ? a2001
B、 m ? n C、 m ? n D、 m ? n

A、 m ? n

20002 4 ? 106 解 ? a1 ? a2 ? a3 ? .故选 C . ? ? a2 0 0 0? a ,0?1 ? ? 2 0 m a1 ? a2001 a1 ? a2001
题 3 ( ) A、
2 2 设实 数 m, n, x, y 满 足 m ? n ? a , x 2 ? y 2 ? b , 则 mx ? ny 的 最大值为

1 ?a ? b? 2

B、

1 2

a 2 ? b2

C、

a2 ? b2 2

D、

ab
(第十一届高二培训题第 5 题) 解法 1 则 mx ? ny ? 即 设m ?

a cos? , n ? a sin ? , x ? b cos ? , y ? b sin ? ,

ab cos? cos ? ? ab sin ? sin ? ? ab cos(? ? ? ) ? ab,

(m x? ny) max= ab .故选 D.
解 法 2

m2 ? n2 ? a ?

b 2 b 2 m ? n ?b a a

,



x 2 ? y 2 ? b ,?

b b (m x ? ny) ? m x? a a

b ny ? a

(

b 2 b b 2 m) ? x 2 ( n ) 2 ? y 2 (m ? n 2 ) ? ( x 2 ? y 2 ) a ? a ?a ? 2 2 2

b ?a ?b a ? b. 2

? mx ? ny ?

b b a

? ab, 当 且 仅 当

b m?x 且 a

b n ? y, 即 my ? nx 时 取 等 号 , a

? mx? ny) max ? ab. (
解法 3

(mx ? ny)2 ? m2 x2 ? 2mxny ? n2 y2 ? m2 x2 ? m2 y2 ? n2 x2 ? n2 y 2

x ? ? m 2 ? n 2 ?? x 2 ? y 2 ? ? ab, ?mx ? ny ? ab , 当 且 仅 当 m y? n 时 取 等 号 , 故

? mx ? ny ?max ?

? ? ? ?

ab .
?


?

4
? ? ?2 ?2


?2

p ? ? m, n ? , q ? ? x, y ? ,

?



p? q ? p ? q ? cos? ? p ? q , ? p? q ? p ? q ,
2

即? mx ? ny ? ? ? m2 ? n 2 ? ? x 2 ? y 2 ? ? ab, 当且仅当 p, q 共线,即 my ? nx 时取等号,故

? ?

? mx ? ny ?max ?
解法 5

ab .

若设 mx ? ny ? k ,则直线 mx ? ny ? k 与圆 x2 ? y 2 ? b 有公共点,于是

k m ? n2
2

? b ,即 k ? mx ? ny ? ab ,?? mx ? ny ?max ? ab .
法 6 设



z1 ? m ? ni, z2 ? x ? yi

,



z1z2 ? ? m ? ni ? ? ? x ? yi ? ? ? mx ? ny ? ? ? nx ? my ? i,?
z1 ? z2 ?

? mx ? ny ? ? ? nx ? my ?
2

2

?

? mx ? ny ?

2

? mx ? ny ? mx ? ny,? mx ? ny ? z1z2

? z1 ? z2

? m 2 ? n 2 ? x 2 ? y 2 ? ab , 当 且 仅 当 m y ?

n时 取 等 号 , 故 x

?m

x ?

n ?m ya ?x

.a b

解法 7

2 2 2 2 2 构造函数 f ? X ? ? m ? n X ? 2 ? mx ? ny ? X ? x ? y , 2 2

?

?

2 2 则 f ? X ? ? ? mX ? x ? ? ? nX ? y ? ? 0. 故 ? ? 4 ? mx ? ny ? ? 4 m ? n 2

?

?? x

2

? y2 ?

? 4 ? mx ? ny ? ? 4ab ? 0,
2


C

A

B

D

mx ? ny ? ab .?? mx ? ny ?max ? ab.
解 法 8 由 m2 ? n2 ? a, x2 ? y 2 ? b 还 可 构 造 图 形 ( 如 图 ), 其 中

?ACB ? ?ADB ? 90? , AC ?

b b m , BC ? n, a a
为 圆 的 直 径 , 由 托 勒 密 定

BD ? x , AD ? y , AB ? b

理 , AC ? BD ? BC ? AD ? AB ? CD ? AB2 , 得

b b m?x? n ? y ? b, , 从 而 得 a a

m x n? ? y

,当且仅当 my ? nx 且 mx ? 0 时取等号.?? mx ? ny ?max ? ab . ab

评析 解法 1 抓住已知条件式的结构特征,运用三角代换法,合情合理,自然流畅,也 是解决此类型问题的通法之一. 解法 2 运用基本不等式 ab ?

a2 ? b2 2 2 将 mx ? ny 放大为关于 m ? n 与 x 2 ? y 2 的式 2

子,再利用条件求出最大值.值得注意的是,稍不注意,就会得出下面的错误解法:
2 2 2 2 m2 ? x 2 n 2 ? y 2 ? m ? n ? ? ? x ? y ? a ? b a ?b mx ? ny ? ? ? ? ,?? mx ? ny ?max ? 2 2 2 2 2

.故选 A.错误的原因就在于用基本不等式求最值时未考虑等号能否取到.上述不等式取等
2 2 2 2 号的条件是 a ? x ① b ? y ② 且 ,而若① 式同时取得,则 m ? n ? x ? y ,即 a ? b, 这 ,②

与题设矛盾!即当 a ? b 时, mx ? ny 取不到

a?b .解法 2 是避免这种错误的有效方法. 2

由于向量与复数的模的平方是平方和形式, 与已知形式一致, 故解法 4 与解法 6 分别运 用了构造向量与构造复数的方法,新颖而简洁. 解法 5 设 m x ? ny ? k 后,将其看作动直线,利用该直线与定圆 x ? y ? b 有公共点,
2 2

则圆心到直线的距离小于等于半径,得 k ? mx ? ny ? 能. 解 法

ab ,充分体现了等价转化的解题功

7

运 用 的 是 构 造 函 数 法 . 为 什 么 构 造 函 数

f ? X ? ? ? m 2 ? n 2 ? X 2 ? 2 ? mx ? ny ? X ? x 2
① (值大于等于 0) ② , 由于 f ? X ? ? 0 , 故有 ? ? 0 , ? y 2 呢?主要基于两点: f ( X ) 为非负式 而 ? 沟通了已知与未知的关系,故使问题得到解决. 解法 8 抓住已知两条件式的特征, 构造了两个有公共边的直角三角形, 利用托勒密定理 及圆的弦小于等于半径使问题获解,充分揭示了这一代数问题的几何背景. 拓展 此题可作如下



广



a12 ? a22 ??? an2 ? p, b12 ? b22 ? ?? bn2 ? q,



? a1b1 ? a2b2 ??? anbn ?max
? pq (当且仅当
q ai ? bi ? i ? 1, 2,?, n ? 时取得最大值). p
2 2 2 2 2

证明

? q ? ? q ? ? q ? ? q. a ? a 2 ? ? ? an ? p ? ? a 1 ?? a ? ??? ? ? ? 2 ? p ? ? ? p an ? ? ? ? ? p ? ? ?
2 1

?a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ?

p? q a1 ? b1 ? ? q? p ?

q a2 ? b2 ? ? ? p

? q an ? bn ? ? p ?

?

2 2 ? ? q ?2 ? ? q ? ? q ? 2 2 ?? a1 ? ? b1 ? a2 ? ? b2 an ? ? bn 2 ? ? p ? p ? ? p ?? p ? ?? ?? ? ? ? ? 2 2 2 q ? ? ? ? ? ?

?

?q 2 ? 2 2 2 2 2 ? ? p a1 ? a 2 ? ? ? a n b ? b2 ? ? ? bn p ? ?? ? 1 q? 2 2 ? ? ? ? ?

?

?

?q ? ? ?p ? p? p q? ? ? q? 2 2? ? ? ? ?

pq, 当 且

仅当

q ai ? bi ?i ? 1,2,?, n?时取等号, ?a1b1 ? a2 b2 ? ? ? an bn ?max ? ? p

pq.

本推广实际就是由著名的 Cauchy(柯西)不等式

?a1b1 ? a2b2 ? ?? anbn ?2 ? ?a12 ? a2 2 ? ?? an 2 ?? ?b12 ? b2 2 ? ?? bn 2 ?
a a1 a2 ? ? ? ? n 时取等号)直接得到的一个结论. b1 b2 bn
推广有十分广泛的应用,现举一例:

( 当 且 仅 当

? , ? ? ? 例 已知 a, b, c, x, y, z R 且 a 2 b 3 c 4, ?
大值. 解

?

1 x

2 3 a b c ? ? 8. 求 最 ?2 ?3 y z x y z

a?2 b?3c ? 4 ?

? a ?? 2?b ? ? 3? c ?
2 2

2

? 1? ? 2? 1 2 3 ?4 , ? ? ? ? ?? 8 ? ?? ? x y z x? ? y? ? ? ? ?

2

2

? 3? ?? ? z? ? ? ?

2



8







广



a b c ?2 ?3 x y z
8 1 a? , 4 x

? a?

1 2 3 ? 2b ? ? 3c ? ? 4 ? 8 ? 4 2, 当 且 仅 当 x y z

1 8 2 8 3 2b ? , 3c ? , 即 ax ? by ? cz ? 时取等号. 2 4 y 4 z

? a b c? ?? ?2 ? 3 ? ? 4 2. ? x y z ?max ? ?
题 4 对于 m ? 1 的一切实数 m ,使不等式 2 x ? 1 ? m( x2 ? 1) 都成立的实数 x 的取值

范围是____ (第十三届高二培训题第 63 题)

?x2 ? 1 ? 0 ?x2 ? 1 ? 0 ?x2 ? 1 ? 0 ?x 2 ? 1 ? 0 ? ? ? 解法 1 题设等价于 ? ,即 ? 2x ? 1 或 ? 2x ? 1 或 ? 2x ? 1 或 2x ? 1 ? 0 m? 2 m? 2 1? 2 ? ? ? x ?1 ? x ?1 x ?1 ? ? ? ?x2 ? 1 ? 0 ?x 2 ? 1 ? 0 ? 或? ,所以 1 ? x ? 2 或 3 ? 1 ? x ? 1或 x ? 1 ,即 x ? ( 3 ? 1,2) . ? 2x ? 1 ?1 ? 2 ?2 x ? 1 ? 0 ? x ?1 ?
解法 2 已知不等式即 x ? 1 m ? ?2 x ? 1? ? 0 ,令 f (m) ? x ? 1 m ? ?2 x ? 1? ,则
2 2

?

?

?

?

2 当 x ? 1 ? 0 ,即 x ? ?1 时, f (m) 是 m 的一次函数,因为 m ? 1 ,即 ? 1 ? m ? 1 时

不 等 式 恒 成 立 , 所 以 f (m) 在 ?? 1,1? 上 的 图 象 恒 在 m 轴 的 下 方 , 故 有

? f ( ?1) ? ? x 2 ? 1 ? 2 x ? 1 ? 0 ?x2 ? 2x ? 2 ? 0 ,即 ? 2 ,解得 3 ? 1 ? x ? 2 ( x ? 1) . ? 2 ?x ? 2x ? 0 ? f (1) ? x ? 1 ? 2 x ? 1 ? 0
又当 x ? 1 时, f ( m) ? ?1 ,适合题意,当 x ? ?1 时, f (m) ? 3 不合题意. 故 x 的取值范围是 3 ? 1 ? x ? 2 . 评析 解决本题的关键是如何根据条件构建关于 x 的不等式或不等式组.解法 1 运用分
2

离参数法,为了达到分离参数的目的,又对 x ? 1 分大于 0、小于 0、等于 0 三类情形分别 构建关于 x 的不等式组,从而通过解不等式组解决了问题.解法 2 则转换思维角度,把已知 不等式看成关于 m 的不等式,从而将原问题转化为函数 f (m) ? x ? 1 m ? ?2 x ? 1? 在
2

?

?

?? 1,1? 上的图象恒在 m 轴下方的问题.这种方法称为变更主元法.用此方法,使得此题的解决

显得既简捷,又直观易懂. 题 5 当 0 ? x ? a 时,不等式

1 1 ? ? 2 恒成立,则 a 的最大值是________. 2 x (a ? x) 2
(第十一届高二培训题第

45 题) 解法 1

a?x x ( a ? x) 2 x2 ? ? 2 ①又有 当 0? x ? a 时, , ? ? 2 ②, x a?x x2 ( a ? x) 2

② × 得 +① 2,

a 2 ? x 2 2ax ? x 2 a2 a 2 ? ( a ? x) 2 a2 a2 ? ? 6 , 2 ?1 ? ?6 , 2 ? ?8 ,即 x (a ? x) 2 x2 ( a ? x) 2 x ( a ? x) 2

8 1 1 8 ? ? 2 .由 2 ? 2 ,得 0 ? a ? 2 ,?amax ? 2 . 2 2 a x (a ? x) a
解法 2

?1 1 ? 1 1 2 1 1 2 1 1 ?2 ? 2 ? ?( ? ) ?( ? ) , 又 ? ? 2 ? x a?x x a?x x a?x (a ? x) ? ?x

4 ? a

1 ( a

?1 a?x x 2 1 1 8 1 ? 4 ? ) , ? 2? 2 ? ? 2 , 当且仅当 ? ( )2 , 即 2 ? 2 2 ? x a?x x (a ? x) a (a ? x) ? a ?x
a?x ? x
1 1 a x 1 1 ? 且 , 即 x? 时取等号. ? ? ? 2 恒成立, 2 2 x a?x a?x x (a ? x) 2

?

8 ? 2, 0 ? a ? 2 . 于是 amax ? 2 . a2

解法 3

原不等式等价于

1 1 ? 2 1 1 x (a ? x) 2 ? 0. ? 1 ,由 0 ? x ? a ,可知 ? 0 , x a?x 2
2 ? 1, 即 a ? 2 x ? (a ? x)

由 “两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”, 可知只需 即可, 故 0 ? a ? 2 , 于是 amax ? 2 . 解法 4

?

1 1 ?2 ? 2 x (a ? x) 2



? 1 ? 1 ? x2 ? ? ? x 2 ? ? 2 ①成 立 , 又 2 x2 ? (a ? x) ?

?

1 1 ? x 2 ? 2 恒成立, ? a 只要满足 ? x 2 ? 0 ②就能使①恒成立.由②式,得 2 x (a ? x) 2

x 2 (a ? x)2 ? 1 , x(a ? x) ? 1 , ? x 2 ? ax ? 1 ? 0 ③ .由于对称轴 x ?

a ? (0, a ) ,由二次函 2

数的性质,当 x ? (0, a) 时,要③ 式恒成立,则 ? ? a2 ? 4 ? 0 ?0 ? a ? 2 ?amax ? 2 . 解法 5 设

1 x a?x 1 1 ? cos 2 ? , ? sin 2 ? ( 0 ? x ? a ) ,则 2 ? = 2 + 2 a a x (a ? x) a cos 4 ?

1 2 a sin 4 ?

=

1 sin 4 ? ? cos4 ? ? ? a 2 sin 4 ? cos4 ?

1 1 ? sin 2 2? 1 2 ? ? 2 1 a 4 sin 2? 16

8 2 ? sin 2 2? ? a2 sin 4 2?
2 4

. ?

(sin 2 2? ? 2)

(sin 2 2?

- 1 )

?0 , 即

2 - sin 2? ? sin 2?

, 则

2 ? s i2 2n ? 1 1 8 ? 1 (当s i2 2? ? 1时 取 等,号 是 2 ? ? 2 ,由已知,得 n ) 于 4 2 s i 2n ? x (a ? x) a
8 ? 2,? 0 ? a ? 2, ?amax ? 2 . a2 1 1 ( X ? 0, Y ? 0), 则 解法 6 设 X ? , Y ? x a?x
X 2 ? Y 2 ? 2 表示在 XOY 坐标系第一象限内以原点为圆心,
O

2

x

1 1 ,Y ? , 得 x a?x 4 aXY ? X ? Y , 又 aXY ? X ? Y ? 2 XY ,? XY ? 2 , 它表示 a 4 双曲线 XY ? 2 位于第一象限内的一支及其上方部分.依题意, a 4 2 2 2 双 曲 线 XY ? 2 ( X ? 0)与圆弧X ? Y ? (X ? 0,Y ? 0) a 8 相切或相离,从而 2 ? 2 ,即 0 ? a ? 2 ?amax ? 2 . a

2 为半径的圆及其外部 .由 X?

O

解法 7 运用结论“如果 xi , yi ? R ? (i ? 1,2 ,?, n) ,则

2 x2 x12 x2 ? ??? n ? y1 y2 yn

x ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) 2 x x (?), 当 且 仅 当 1 ? 2 ? ? ? n ? k ( 常 数 ) 时 取 等 y1 y 2 yn y1 ? y 2 ? ? ? y n
号 .”

?

0? x?a



?

a ? x ? 0.





西











(12 ? 12 )(

1 1 1 1 1 1 2 ? ? )?( ? ) ① , 由 (?) 得 2 2 x a?x x a?x x ( a ? x)

?

4 a

② 故 .

2(

a 8 1 1 4 1 1 8 ? ) ? ( )2 , 得 2 ? ? 2 ,当且仅当 x ? 时取等号,由 2 ? 2 , 2 2 2 2 a a x (a ? x) x (a ? x) a

得 0 ? a ? 2 ?amax ? 2 . 解 “ 法 8 运 用 当 结 且 仅 论 当

1 1 1 (n ? 1)2 若 a1 ? a2 ? ? ? an , 则 ? ??? ? , a1 ? a2 a2 ? a3 an?1 ? an a1 ? an

?1 ? 1 1 ? 1 ? a1 , a2 ,?, an 成等差数列时取等号.” 2 ? 2 ? ? 2? ? ? 2? 2 2? ? x ( a ? x) ? ? ( x ? 0) (a ? x) ?
16 1 1 8 1 ? ? (3 ? 1) 2 ? ? 1 ? ? ? ? ? a ? 0 ? ? a 2 . ? x 2 ? (a ? x) 2 ? a 2 , 当 且 仅 当 x ? a ? x , 即 ? x?0 a? x ? ? ?
2
2

x?

a 8 时取等号.令 2 ? 2 ,得 0 ? a ? 2 ?amax ? 2 . 2 a
评析

?

?1 1 1 1 ? ? ? 2 恒成立,? ? 2 ? ? ? 2 .故问题的实质就是求 2 2 x (a ? x) x (a ? x) 2 ? min ?

1 1 ? 的最小值(关于 a 的式子)大于等于 2 的解.因而在 0 ? x ? a 的条件下,如 2 x (a ? x) 2
何求

1 1 ? 的最小值成了问题的关键.解法 1 运用“两个互为倒数的正数的和大于等 2 x (a ? x) 2

于 2”, 解法 2 运用配方再放缩, 解法 3 运用均值不等式及“两个正数的平方平均值不小于它 们的调和平均值”,解法 5 运用三角代换, 解决了这一关键问题.解法 4 巧妙地将原问题转化为 一个含参( a )一元二次不等式恒成立,求参数的范围问题,从而运用二次函数的性质解决 问题.解法 6 将原问题转化为解析几何问题处理.解法 7、 则是运用一些现成的结论 8 (读者可 自己证明) ,各种解法异彩纷呈,都值得细细品味. 拓展 此题可作如下推广: 推广 1 若 0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn?1 ? a ,则

1 x1
2

?

n3 1 1 ??? ? 2, ( x2 ? x1 ) 2 (a ? xn?1 ) 2 a

当且仅当 x1 , x2 ,?, xn?1 , a 成等差数列时取等号. 证明 由 已 知 , 0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn?1 ? a , 则 x2 ? x1 ? 0 , x3 ? x2 ? 0 ,

?, a ? xn?1 ? 0 . 根 据 柯 西 不 等 式 及 解 法 7 运 用 的 不 等 式 ( ? ) , 有
? 1 ? 1 1 n? 2 ? ??? 2 2 ? ( x 2 ? x1 ) (a ? x n ?1 ) ? ? x1

?
1

?1 1 1 ? ?? ? ? ? ? ? a ? xn ?1 ? ? x1 x2 ? x1

2

? n2 ? n4 ? 2, ? ? a ? a ?

2



n3 1 1 . ? ??? ? 2 ( x2 ? x1 ) 2 (a ? xn?1 ) 2 a 2 x1
当且仅当 x1 , x2 ,?, xn?1 , a 成等差数列时取等号. 推广 2 若 0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn?1 ? a , bi ? R ? (i ? 1, 2 ,?, n), k ? N ? , 则
k ?1 k ?1

b1

k ?1 k

x1

?

ab bn (b ? b ? ? ? bn ) k ?1 b2 ,当且仅当 a i ? n i 时取等号. ??? ? 1 2 k k k ( x2 ? x1 ) (a ? xn?1 ) a ? bi
i ?1

证明

不妨设 a1 ? x1 , a2 ? x2 ? x1 ,?, an ? a ? xn?1 , M ?

(? bi ) k ?1 , 由已知得
i ?1

n

ai ? 0
(i ? 1, 2 ,?, n)且 ? ai ? a, 令 c i ?
i ?1 n
n ai b 1 n ,则 ? c i = ? a i ? 1 .由均值不等式, i k ? a a i ?1 ci i ?1

k ?1

Mc i ? Mc i ? ? ? Mc i ? ?????????
k个

(k ? 1)k ?1 M k bi

k ?1

,



bi k ci
n

k ?1

? kMci ? (k ? 1)(b1 ? b2 ? ? ? bn ) k

? bi





n bi k ?1 ? kM ? ci ? (k ? ? ck i ?1 i? 1 i

n n n bk ?1 n n bik ?1 bi k ?1 ? ? i)k ? (? bi ( k ?1 ,即 a k ? ) k ? (? bi ) k ?1 , 1 ) ? i ?1 i ?1 ci i ?1 ai i? 1 i ?1

bik ?1 ? ak i ?1 i
n

? n ? ? ? ai ? ab i ?1 ,当且仅当 ai ? ? i ?1 ? bi ? n i 时取等号. ? k n ? b ? ? n ? ? bi ?? i ? ? ? ai ? i ?1 ? i ?1 ? ? i ?1 ?

(? bi ) k ?1

n

?

b1

k ?1 k

x1

?

b2

k ?1 k

x2

? ??

bn (b ? b ? ? ? bn ) k ?1 ? 1 2 k . a (a ? xn?1 ) k
k

题 6 已知 f ?x ? ? logsin ? x,? ? ? 0,

? ?? ? sin ? ? cos? ? ? ,设 a ? f ? ?, 2 ? 2? ? ?

b? f

? ? sin? ? cos? ?, c ? f ? sinsin?2cos? ? ,那么 a、b、c 的大小关系是 ? ? ? ? ?
B、 b ? c ? a





A、 a ? c ? b

C、 c ? b ? a D、 a ? b ? c (第八届高二第一试第 10 题)

解法 1 设 sin ? ? p , cos? ? q .?

p?q ? 2

pq ,而 f ?x ? 是减函数,

? p?q? ? f? ?? f ? 2 ?
2 pq ? p?q

?

pq ,即 a ? b .? pq ?

?

? p ? q ? pq p?q ,? pq ? , 2 2

? 2 pq ? pq .? f ? ? p?q?? f ? ? ?

?

pq ,即 c ? b .故 a ? b ? c .选 D.
1 3 sin ? ? cos? 1 ? 3 , cos ? ? , , ? 2 2 2 4

?

解法 2 由题意,令 ? ?

?
6

,则 sin ? ?

sin ? cos? ?

4

1 3 sin 2? 2 sin ? cos? 3 ? 3 ? , , sin ? ? ? ?0,1? , f ?x ? ? ? ? 2 2 sin ? ? cos? sin ? ? cos? 2
函 数 , 又





1? 3 4 3 3 ? 3 ? ? 4 2 2



? sin ? ? cos? ? ? f? ?? f 2 ? ?
评析

?

? sin 2? ? sin ? cos? ? f ? ? ,即 a ? b ? c .故选 D. ? sin ? ? cos? ?

?

这是一个比较函数值大小的问题,通常利用函数的单调性.若函数 f ?x ? 单调递增

(减) ,则当 x1 ? x 2 时, f ?x1 ? ? f ?x2 ?? f ?x1 ? ? f ?x2 ?? ,当 x1 ? x 2 时, f ?x1 ? ? f ?x2 ?

? f ?x1 ? ? f ?x2 ??.因此解决问题的关键有两个:一是确定函数的单调性,二是确定自变量的
大小关系.解法 1 就是这样解决问题的. 因为正确答案应对一切 ? ? ? 0,

? ?? ? ?? ? 都正确,故又可以运用特殊值法.对 ? 0, ? 内的某个 ? 2? ? 2?

角不正确的选择支都是错误的,由正确选择支的唯一性,也可选出正确答案.解法 2 便是取 特殊值 ? ?

?
6

,排除了 A、B、C、而选 D 的.

当然,此题也可用作差比较法来解:?? ? ? 0, 函数, sin ? ? 0 , cos ? ? 0 .? a ? b ? log sin ?

? ?? ? ,? sin ? ? ?0,1? ,? f ?x ? 是单调减 ? 2?
sin ? ? cos ? ?

sin ? ? cos ? ? log sin ? 2

log sin ?

sin ? ? cos ? 2 ? log sin ? 1 ? 0 ,? a ? b .又 b ? c ? logsin ? sin ? ? cos? ? sin ? ? cos ?

logsin ?

sin 2? sin ? ? cos? sin ? ? cos? ? logsin ? ? logsin ? ? logsin ? 1 ? 0 ,即 2 sin ? cos? sin ? ? cos? 2 sin ? cos? sin ? ? cos?
x ?1

b ? c ,? a ? b ? c .选 D.
题 7 已知 a ?

1

? 2? ,不等式 ? ? ? 3? 2
x ?1

log a

?

9 的解是 4

. (第三届高二第二试第 13 题)

? 2? 解 原不等式即 ? ? ? 3?
式化为 lo g1
2 x ?1

loga

1 ? 2? ? 2? ? ? ? .? 指数函数 ? ? 是减函数, a ? ,? 原不等 ? 3? 2 ? 3?
x ?1

?2

x

? ?2 , 即 lo g 1
2 ?2

? lo g

? 1 ? ? ? ? ? 1 ? 2? 2

?2

. 又 ? 对 数 函 数 log 1 x 是 减 函 数 ,
2

? 1 ? ? x ?1 ? ? ? ,即 x ? 1 ? 2 ,解得 ? 1 ? x ? 3 .? 对数函数 log ? 2?

x ?1 1 2

的定义域是 x ? 1

的实数,? 原不等式的解是 ? 1 ? x ? 1 或 1 ? x ? 3 . 评析 此题涉及到指数不等式、对数不等式、绝对值不等式的解法.解指数不等式与对 数不等式的基本方法是同底法, 即先将不等式两边的指数式或对数式化成底数相同的指数式 或对数式,然后根据底数所属区间是 ?0,1? 或 ?1,??? ,确定以该底数为底的指数函数或对数 函数的单调性,再去掉底数或对数符号,转化成别的不等式.主要依据如下: ⑴ 0 ? a ? 1 ,则 a 若
f ? x?

? a g ? x? ? f ? x ? ? g ? x ? ;

f ? x? ⑵ a ? 1 ,则 a 若 ? a g ? x? ? f ? x ? ? g ? x ? ;

⑶ 0 ? a ? 1 ,则 log a 若

f ? x?

? loga g ? x? ? f ? x ? ? g ? x ? ? 0 ;

f ? x? ⑷ a ? 1 ,则 log a 若 ? loga g ? x? ? 0 ? f ? x ? ? g ? x ? .

有时需要将常数化为指数式或对数式,其化法如下: ⑴a ? c
logc a

( a ? 0, c ? 0, 且 c ? 1 )(化为指数式) ;

a ⑵a ? logc c ( c ? 0, 且 c ? 1 ).(化为对数式)

例如,2 ? 3 式.

log32

将常数 2 化为 3 为底的指数式,2 ? log 3 将常数 2 化为 3 为底的对数

32

解指数不等式不需检验, 但解对数不等式必须保证解使得对数式有意义, 这点常被忽略. 若一个指数不等式的指数部分是对数式,常常采用取对数法求解. 例 不等式

? x?

lg

x

? x 的解集是

. (第十一届高二培训题第 40 题)



两边取常用对数,得 lg x

?

?

2

? lg x ,即

1 2 lg x ? lg x ? 0, lg 2 x ? 4 lg x ? 0, lg x ? 0 或 lg x ? 4,? 0 ? x ? 1 或 x ? 104 .故所求解集 4
是 ?0,1? ? 104 ,?? . 应当指出,两边取对数后,不等号的方向变不变,关键看取的是什么底数.如果底数大 于 1,则不等号方向不变,如果底数大于 0 且小于 1,则不等号方向改变. 关于绝对值不等式, 主要是根据绝对值的几何意义求解.下列结论应当理解并熟记 a 为 ( 常数). ⑴ x ? a?a ? 0? 的解集是 ? ; ⑵ x ? a?a ? 0? 的解集是 ?? a, a ? ; ⑶ x ? a?a ? 0? 的解集是 R; ⑷ x ? a ? a ? 0? 的解集是 ?? ?,?a ? ? ?a,??? . 下列题目供练习: ⑴ 已知常数 ? ? ? 0,

?

?

? ?? ? ,则不等式 ?tan ? ? ? 4?

x 2 ?3 x ?10

? ?cot ? ?

x ?8

的解集是

.

(第八届高二第一试第 16 题)
x x ? ? ? ? ? ? ⑵ 若函数 f ?x ? ? ? log2 2 ? ? ? log2 4 ? 的定义域是不等式 2 ? log 1 x ? ? 7 log 1 x ? 3 ? 0 的 ? ? ? ? ? 2 ? 2
2

解集,则 f ?x ? 的最小值=

;最大值=

. (第十届高二第一试第 23 题)

⑶ 不等式 log2 x2 ? x 2x ? log2 x2 ? x x 的解集是
2

. (第九届高二培训题第 23 题)

⑷ ( )







3x ? 2 ? 3 ? 1







(A) x ? 6 或 (C) x ? 6

2 ?x?2 3

(B) x ? 6 或 x ? 2 (D) x ? 2

答案

⑴?? ?,?2? ? ?5,

? 74 ? ? ? 13 ?



3 ;2 4

⑶? ,2 ?

?1 ? ?2 ?

⑷ A

题 8 不等式 1 ? x 2 ? x ? t 的解集是 ? ,实数 t 的取值范围(用区间形式)是

.

(第一届高二第一试第 18 题) 解法 1 由 1 ? x 2 ? x ? t 两边平方并整理得 2 x ? 2tx ? t ? 1 ? 0 ,此方程无实根,故
2 2

? ? 4t 2 ? 8 t 2 ? 1 ? ?4t 2 ? 8 ? 0 , t 2 ? 2 .又 t ? 0 ,?t ? 2 .故填
解法 2 作出函数 y ? 1 ? x 2 的图象(即图中的半 圆)及函数 y ? x ? t 的图象(即图中斜率为 1 的直线系). 由题意,直线应在半圆的上方,由图象可知直线 y ? x ? t 在 y 轴上的截距 t ? 解法 3

?

?

?

2 ,?? .

?

y
2

2 .故填

?

2 ,?? .
? 2 -1

?

1

2 由 1? x ? 0 , 得 ?1 ? x ? 1 . 故 设

o

x ? c o ? , ? ? ?0, ? ? , 则 已 知 不 等 式 就 是 s
sin ? ? cos ? ? t ,即 t ? sin ? ? cos ? .

1

x

?? ? ? ? ? 3? ? ? ? ? sin ? ? cos? ? 2 sin?? ? ? , 又 ?? ? ? ? ?? , ? , ?? sin ? ? cos ? ? ?[?1, 2] . 4? 4? ? 4 4 ? ? ?
由题意得 t ?

2 . 故填

?

2 ,?? .

?

评析 这是一道蕴含着丰富数学思想方法的好题.解法 1﹑2﹑3 分别运用方程思想﹑数 形结合思想﹑化归转换思想,从不同的角度解决了问题,体现了这道题的丰富内涵.解法 2 揭示 了本题的几何背景.解法 3 的依据是:不等式 1 ? x 2 ? x ? t 的解集是 ? 等价于不等式

t ? 1? x2 ? x 恒 成 立 . 有 人 认 为 不 等 式 1? x2 ? x ? t 的 解 集 是 ? 等 价 于 不 等 式
1 时,不等式 t ? 1 ? x 2 ? x 就有解(比 2 3 1 1 2 如 x ? 就是其一个解),而 t ? 时,不等式 1 ? x 2 ? x ? t 即 1 ? x ? x ? 的解集却不 5 2 2 是 ? (比如 0 就是它的一个解).

t ? 1 ? x 2 ? x 有解,这种观点是错误的.事实上, t ?

拓展 结论

通过上面的分析,并作进一步的研究,我们便有下面的 已知 t 为参数, f ( x ) 的值域是 ? a, b? .

(1) 若 t ? f ( x) 恒成立,则 t ? a . (2) 若 t ? f ( x) 恒成立,则 t ? b .

(3) 若 t ? f ( x) 的解集是 ? ,则 t ? b . (4) 若 t ? f ( x) 的解集是 ? ,则 t ? a . (5) 若 t ? f ( x) 有解,则 t ? b . (6) 若 t ? f ( x) 有解,则 t ? a . 若将 f ( x ) 的值域改为 ? a, b ? 、 ? a, b? 、 ? a, b ? 等,也会有相应的结论,限于篇幅,不再 一一列出. 根据这一结论,请回答下列问题: 1.不等式 1 ? x2 ? 3x ? t 的解集是 ? ,则实数 t 的取值范围是 2.不等式 1 ? x2 ? 3x ? t 的解集是 ? ,则实数 t 的取值范围是 3.不等式 1 ? x2 ? 3x ? t 有解,则实数 t 的取值范围是 4.不等式 1 ? x2 ? 3x ? t 有解,则实数 t 的取值范围是 5.不等式 1 ? x2 ? 3x ? t 恒成立,则实数 t 的取值范围是 6.不等式 1 ? x2 ? 3x ? t 恒成立,则实数 t 的取值范围是 答案 6. ? 2,??? 题 ( ) A、 ? 9 不 等 式 1. . . . . 4. ? ??, 2? 5. ??, ? 3 . .

? 2,???

2. ??, ? 3

?

?

3. ? ? 3, ??

?

?

?

?

x ? 2 ? x 2 ? 4x ? 3 ? 0









?3 ? 5 5 ? 5 ? , ? 2 ? ? 2 ? 3 ? 5 ? ?5 ? 5 ,?? ? ??? ? 2 ? ? 2 ?

B、 ?

?3 ? 5 5 ? 5 ? , ? 2 ? ? 2 ?5 ? 5 3 ? 5 ? , ? 2 ? ? 2
(第十三届高二第二试第 8 题)

C、 ? ? ?,

? ? ?

D、 ?

2 2 解法 1 当 x ? 4 x ? 3 ? 0 , x ? 1 或 x ? 3 时, 即 原不等式就是 x ? 2 ? x ? 4 x ? 3 ? 0,

即 x ? 5x ? 5 ? 0 ,解得
2

5? 5 5? 5 5? 5 ?x? .? 3 ? x ? . 2 2 2
2

2 当 x ? 4 x ? 3 ? 0,即 <x<3 时 , 原 不 等 式 就 是 x ? 2 ? x ? 4 x ? 3 ? 0,即 1

x 2 ? 3x ? 1 ? 0, x ? 解得

3? 5 3? 5 3? 5 或x? , ? ? x ? 3. 2 2 2

综上,所求解集为 ?

?3 ? 5 ? ? 5 ? 5 ? ?3 ? 5 5 ? 5 ? ,3 ? ? ?3, , ?, 即? ? .故选 A. ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? ?

2 解法 2 如图,作函数 y ? x ? 2 和 y ? x ? 4 x ? 3 的图象.要求的解集就是 y1 ? y 2 ,

即 y1 在 y 2 上方时 x 的区间,即图中线段 AB 上的点所对应的横坐标所组成的区间 ?x A , xB ? .
2 又 y 2 ? x ? 4 x ? 3 ? ?x ? 2? ? 1 , 当 2 ? x ? 3 时, 2

2 2 y2 ? 1 ? ?x ? 2? . 由 1 ? ?x ? 2? ? x ? 2 可 解 得

xA ?

3? 5 2 . 当 x ? 3 时 , y2 ? ?x ? 2? ? 1, 由 2 ? 5? 5 ,? 所求不等式 2
A B 1 3

?x ? 2?2 ? 1 ? x ? 2 可解得 x B
的解集为 ?

?3 ? 5 5 ? 5 ? , ? ,故选 A. 2 ? ? 2
同解法 2 画出图形后,可知解集为一个闭区间 ?a, b? ,且 a ? ?2,3? ,对照

解法 3

选择支.可知选 A.
2 解法 4 当 x ? 1.5 时, x ? 2 ? x ? 4 x ? 3 ? 0 时,故 1.5 不是原不等式的解,从而排

除含 1.5 的 B、C、D,故选 A. 评析 解含绝对值的不等式,一般是先去掉绝对值符号,然后再求解.解法 1 正是运用分 类讨论思想这样解决问题的,也是一种通法. 我们知道,方程 f ?x ? ? g ?x ? 的解就是函数 y ? f ?x ? 与 y ? g ?x ? 的图象交点的横坐标; 若图象无交点,则方程无解.而不等式 f ?x ? ? g ?x ? 的解集则是函数 y ? f ?x ? 的图象在

y ? g ?x ? 的图象上方部分的点的横坐标的集合;若 y ? f ?x ? 的图象都不在 y ? g ?x ? 的图象
的上方,则不等式无解.解法 2 正是运用这种数形结合思想解决问题的.许多超越不等式的近 似解或解的所属范围也都运用此法解决. 选择题的正确答案就在选择支中,只是要求我们把它选出来而已.因此,不是非要求出答 案再对照选择支选择答案不可的.基于此,解法 3 运用估算的方法选出了正确答案(注意:估 算能力是高考明确要求要考查的能力之一).而解法 4 则运用特殊值排除了干扰支,进而选出 了正确答案.类似这种不等式(方程)的解集是什么的选择题几乎都可用这种方法解,而且 十分方便.值得注意的是,特殊值只能否定错误结论,根据正确选择支的唯一性才能肯定正

确答案.另外,如何选取特殊值也是很有讲究的,读者可在解题实践中体会并加以总结. 题 10 不等式 4 x ? 2 ? 2 3 ? x ?

2000 的解集是 1999

. (第十一届高二培训题第 41 题)

解 设 y= 4 x ? 2 ? 2 3 ? x ,由 ?

?4 x ? 2 ? 0 1 ,得定义域为[ ,3]. 2 ?3 ? x ? 0
2000 1999

? y 2 ? 4 x ? 2 ? 4(3 ? x) ? 4 (4 x ? 2)( 3 ? x) ? 10 ? 4 ? 4 x 2 ? 14 x ? 6 ? 10,? y ? 10 ?
即原不等式在定义域内恒成立,故所求解集为[

1 ,3]. 2

评析 解无理不等式,通常是通过乘方去掉根号,化为有理不等式后再解.但从此题中不 等式右边的数可以想象该有多么复杂, 若将题目改为“ 4 x ? 2 ? 2 3 ? x ? 集是

9.71623 的解 ? ? 5.276

”,还会有谁想通过平方化为有理不等式去解呢?显然,常规方法已难以解决

问题,怎么办呢?考虑到不等式中的 x∈ [

1 2000 ,3],从而左边 ? 10 ? ,故解集就是定 2 1999

义域, 这就启示我们, 当常规思维受阻或难以奏效时, 就应积极开展非常规思维, 另辟蹊径, 寻求解决问题的新方法. 拓展 根据上面的分析,并加以拓广,我们可得 结论 设 a,b,c 是常数,若 x ?[a, b], f ( x) ?[m, n], g ( x) ?[ p, q] ,则 当 m ? c 时,不等式 f ( x) ? c 的解集是 [a, b], f ( x) ? c 的解集是 ? ; 当 n ? c 时, 不等式 f ( x) ? c 的解集是 ? , f ( x) ? c 的解集是 [ a, b] ; 当 n ? p 时, 不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集是 ? , f ( x) ? g ( x) 的解集是 [ a, b] ; 当 m ? q 时,不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集是 [ a, b] , f ( x) ? g ( x) 的解集是 ? . 根据这一结论,不难求得下列不等式的解集: 1、 2sinx+3cosx>4; 2、 3、

3x ? 6 ? 1 ? 2 2 x?3 ;

x ? 4 ? log3 ( x ? 1) ? 34? x ; x2 ? 3 .
2、[2,+∞ ) 3、 ? 4、R

4、 sinx-cosx< 答案:1、 ?


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