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2.2超几何分布课件(北师大选修2-3)


执教:胡周明

班级:高二B7班
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一、复习引入:
1. 随机变量
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,(或
随着试验结果变化而变化的变量),那么这样的变量 叫做随机变量. 随机变量常用希腊字母X、Y、ξ、η等表示。

2、离散型随机变量
所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型 随机变量。 如果随机变量可能取的值是某个区间的一切值, 这样的随机变量叫做连续型随机变量.

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3、古典概型: ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; ②每个基本事件出现的可能性相等。

m P( A) ? n

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4、离散型随机变量的分布列
设随机变量 ? 的所有可能的取值为 x1 , x2 , x3 , ???, xi , ???, xn ? 的每一个取值 x i (i ? 1, 2, ???, n) 的概率为 P(? ? xi ) ? pi,则称表格

?

x1
p1

x2
p2

· · ·
· · ·

xi
pi

· · ·
· · ·

P

为随机变量 ? 的概率分布,简称 ? 的分布列.

注: 1、分布列的构成
⑴列出了随机变量 ? 的所有取值. ⑵求出了 ? 的每一个取值的概率. 2、分布列的性质 ⑴ pi ? 0, i ? 1,2,? ? ? ⑵ p1 ? p2 ? ? ? ? ? 1

有时为了表达简单,也用等式 P(? ? xi ) ? pi , i ? 1, 2,3,..., n
表示

?

的分布列

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二.新知探索

1. 已知在8件产品中有3件次品,现从这8件产品 中任取2件,用X表示取得的次品数.

问题1:X可能取哪些值?

提示:0,1,2.

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新知探索
已知在8件产品中有3件次品,现从这8件产品中任取2件, 用X表示取得的次品数.

问题2:“X=1”表示的试验结果是什么? P(X=1)的值呢?
提示:任取 2 件产品中恰有 1 件次品.
1 C1 C 3 5 P(X=1)= 2 . C8

问题3:如何求P(X=k)?(k=0,1,2)
k 2-k C3C5 提示:P(X=k)= 2 . C8

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新知探索

2.一袋子中装有 8 个红球和 4 个白球,这些 球除颜色外完全相同,现从中任意摸出 5 个球, 用变量 X 表示摸出红球的个数,写出 X 的分布 列。 5 C 分析:从 12 个球中摸出 5 个,共有 12 种取法:
X ? 1, 2,3, 4,5 .所以 X 的分布列为:
X ?k
1 2
3 C82C4 5 C12

3

4

5
5 0 C8 C4 5 C12

1 4 C8 C4 5 P( X ? k ) C12

3 2 1 C8 C4 C84C4 5 5 C12 C12

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超几何分布

一般地,设有N件产品,其中有M(M≤N)件是次
品.从中任取n(n≤N)件产品,用X表示取出的n件产品中 次品的件数,那么 P(X=k)=
k n- k CMCN-M Cn N

(其中k为非负整数).

如果一个随机变量的分布列由上式确定,则称X服从参
数为 N,M,n 的超几何分布.

注意:1)超几何分布的模型是不放回抽样 2)超几何分布中的参数是N,M,n.

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(1)超几何分布, 实质上就是有总数为 N 件的两类物品, 其中一类有 M(M≤N)件,从所有物品中任取 n 件,这 n 件 中所含这类物品的件数 X 是一个离散型随机变量,它取值
n- k Ck MCN-M 为 k 时的概率为 P(X=k)= . Cn N

(2)在超几何分布中,只要知道 N,M 和 n,就可以根据
n- k Ck C M N-M 公式 P(X=k)= 求出 X 取不同值时的概率 P,从而 Cn N

写出 X 的分布列.

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[一点通]

解决此类问题的关键是先判断所给问题是

否属于超几何分布问题,若是,则可直接利用公式求解,

要注意M,N,n,k的取值.

例如:从全班任选n个人,选到女生的人数;从 扑克牌中取n张,取到黑桃的张数;买n张彩票, 中奖的张数,等等都可以用超几何分布描述。
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例 1.(课本 P40 例 2) 现有 10 张相同的卡片,其中有 5 张上印有“奖”字。 游戏者从中任抽 5 张,抽到 2 张或 2 张以上印有“奖”字的 卡片就可获得一份精美小礼品,如果抽到 5 张印有“奖”字 的卡片就可另外获得一套丛书, ⑴某人获得精美小礼品的概率是多少? ⑵他能获得一套丛书的概率是多少?

分析:设 X 表示抽到的 5 张卡片中印有“奖“字的卡片数。 则 X ? 0,1,2,3,4,5 由超几何分布定义可知:

X 服从 N ? 10 , M ? 5 , n ? 5 的超几何分布。
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【范例讲解】 解:设 X 表示抽到的 5 张卡片中印有“奖“字的卡片数。
则 X ? 0,1, 2,3, 4,5 由超几何分布定义可知:

X 服从 N ? 10 , M ? 5 , n ? 5 的超几何分布。

C C P ( X ? k ) ? 那么变量 X 的分布列应为: C
⑴某人获得精美小礼品的概率是:

K 5

5? k 5 5 10

113 P( X ? 2) ? 1 ? P( x ? 2) ? 126 ≈0.8968
⑵他能获得一套丛书的概率是:
5 0 C5 C5 1 P( X ? 5) ? 5 ? C10 252 ≈0.0040
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[精解详析]

若以 30 个球为一批产品, 其中红球为不合

格产品,随机抽取 5 个球,X 表示取到的红球数,则 X 服从 超几何分布.
5-4 C4 C 700 10 20 由公式得 P(X=4)= = ≈0.0295, C5 23751 30

所以获一等奖的概率约为 2.95%.

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1.一批产品共 10 件,次品率为 20%,从中任取 2 件,则 正好取到 1 件次品的概率是 28 A. 45 11 C. 45
1 C1 C 16 2 8 P= 2 = . C10 45

( 16 B. 45 17 D. 45

)

解析:由题意 10 件产品中有 2 件次品,故所求概率为

答案:B 返回

2.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一个口 袋中装有10个红球和20个白球,这些球除颜色外完全 相同,一次从中摸出5个球,至少摸到3个红球就中奖, 求中奖的概率.
解:∵X 服从超几何分布,且 X 的可能取值为 0,1,2,3,4,5,则至少摸到 3 个红球的概率为 P(X≥3)=
2 4 1 5 0 C3 C C C C C 10 20 10 20 10 20 P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)= 5 + 5 + 5 C30 C30 C30

≈0.191 2. 故中奖的概率约为 0.191 2.

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[例2]

从5名男生和3名女生中任选3人参加某运动会

火炬接力活动,若随机变量X表示所选3人中女生的人数, 求X的分布列及P(X<2). [思路点拨] 可以将8人看作8件“产品”,3名女生看作 3件“次品”,任选3人中女生的人数可看作是任取3件“产品”

中所含的“次品”数.

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[精解详析]

由题意分析可知,随机变量 X 服从超几

何分布.其中 N=8,M=3,n=3,所以
0 C3 C 5 5 3 P(X=0)= 3 = , C8 28 1 C2 15 5C3 P(X=1)= 3 = , C8 28 2 C1 C 15 5 3 P(X=2)= 3 = , C8 56 3 C0 C 1 5 3 P(X=3)= 3 = C8 56

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从而随机变量X的分布列为
X=k P(X=k) 0 5 28 1 15 28 2 15 56 3 1 56

5 15 5 所以 P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)= + = 28 28 7

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直通高考
(2011· 江西高考改编)某饮料公司招聘了一名员工,

现对其进行一项测试,以便确定工资级别.公司准备了两种
不同的饮料共8杯,其颜色完全相同,并且其中4杯为A饮料, 另外4杯为B饮料,公司要求其员工一一品尝后,从8杯饮料 中选出4杯A饮料.若4杯都选对,则月工资定为3 500元;若 4杯选对3杯,则月工资定为2 800元;否则月工资定为2 100

元.令X表示此人选对A饮料的杯数.假设此人对A和B两种
饮料没有鉴别能力. (1)求X的分布列; (2)用Y表示新录用员工的月工资,求Y的分布列. 返回

解:(1)X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4.
4 k Ck C 4 4 P(X=k)= (k=0,1,2,3,4). C4 8


则 X 的分布列为
X= k P(X=k) 0 1 70 1 16 70 2 36 70 3 16 70 4 1 70

(2)令 Y 表示新录用员工的月工资,则 Y 的所有可能取值为 2 100,2 800,3 500. 1 则 P(Y=3 500)=P(X=4)= , 70 8 P(Y=2 800)=P(X=3)= , 35 53 P(Y=2 100)=P(X≤2)= , 70

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1.超几何分布描述的是不放回抽样问题,从形 式上看超几何分布的模型,其产品有较明显的两部分

组成.
2.在超几何分布中,只要知道N,M和n,就可 以根据公式求出随机变量X取k时的概率P(X=k),从 而列出随机变量X的分布列.

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归纳小结
? 今天所学: (1) 超几何分布的概念。

(2)超几何分布的特点及参数。
(3)超几何分布的分布列及其应用。
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课后作业:

成才之路:27-29页
谢谢指导!
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3.从一批含有13只正品和2只次品的产品中,一次任取

3只,求次品数X的分布列.
解:由已知可得 X 服从参数为 N=15,M=2,n=3 的 超几何分布,X 可能的取值为 0,1,2,相应的概率依次为
3 C0 22 2C13 P(X=0)= 3 = , C15 35 2 C1 12 2C13 P(X=1)= 3 = , C15 35 1 C2 1 2C13 P(X=2)= 3 = ,所以 X 的分布列为 C15 35

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X= i

0 22 35

1 12 35

2 1 35

P(X=i)

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