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【金版新学案】2014-2015学年高二数学人教A版选修2-2课时作业:2.2.2 Word版含解析


第二章

2.2

2.2.2

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1 .用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不小于 60° ”时,反设正确的是 ( ) A.假设三个内角都小于 60° B.假设三个内角都大于 60° C.假设三个内角至多有一个大于 60° D.假设三个内角至多有两个大于 60° 解析: “至少有一个”的反设词是“一个也没有”,故选 A. 答案: A 2.否定“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”时正确的反设为( A.a,b,c 都是奇数 B.a,b,c 都是偶数 C.a,b,c 中至少有两个偶数 D.a,b,c 中或都是奇数或至少有两个偶数 解析: 恰有一个偶数的否定有两种情况,其一是无偶数(全为奇数),其二是至少有两 个偶数,故选 D. 答案: D 3.下列四个命题中错误的是( ) )

A.在△ABC 中,若∠A=90° ,则∠B 一定是锐角 B. 17, 13, 11不可能成等差数列 C.在△ABC 中,若 a>b>c,则∠C>60° D.若 n 为整数且 n2 为偶数,则 n 是偶数 解析: 显然 A、B、D 命题均真,C 项中若 a>b>c, 则∠A>∠B>∠C, 若∠C>60° ,则∠A>60° ,∠B>60° , ∴∠A+∠B+∠C>180° 与∠A+∠B+∠C=180° 矛盾,故选 C. 答案: C 4.有以下结论:

①已知 p3+q3=2,求证 p+q≤2,用反证法证明时,可假设 p+q≥2; ②已知 a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程 x2+ax+b=0 的两根的绝对值都小于 1,用反 证法证明时可假设方程有一根 x1 的绝对值大于或等于 1, 即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是 ( ) A.①与②的假设都错误 C.①的假设正确;②的假设错误 B.①与②的假设都正确 D.①的假设错误;②的假设正确

解析: 用反证法证题时一定要将对立面找全.在①中应假设 p+q>2.故①的假设是错 误的,而②的假设是正确的,故选 D. 答案: D 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.命题“在△ABC 中,若 A>B,则 a>b”的否定是________. 解析: 命题的结论为 a>b,其否定为 a<b 或 a=b. 答案: a≤b 6.与两条异面直线 AB,CD 都相交的两条直线 AC,BD 的位置关系是________. 解析: 假设 AC 与 BD 相交或平行,则 AC 与 BD 共面, ∴AB 与 CD 共面,这与 AB 与 CD 是异面直线相矛盾. ∴假设错误, ∴AC,BD 异面. 答案: 异面 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.已知三个正数 a,b,c 成等比数列,但不成等差数列,求证: a, b, c不成等 差数列. 证明: 假设 a, b, c成等差数列,则 a+ c=2 b,即 a+c+2 ac=4b, 而 b2=ac,即 b= ac, ∴a+c+2 ac=4 ac, ∴( a- c)2=0. 即 a= c, 从而 a=b=c,与 a,b,c 不成等差数列矛盾,

故 a, b, c不成等差数列. 8.求证方程 2x=3 有且仅有一个实根. 证明: ∵2x=3, ∴x=log2 3,这说明方程有一个实根. 下面用反证法证明根的唯一性. 假设方程 2x=3 有两个实根 b1,b2(b1≠b2),则 2b1=3,2b2=3,两式相除得 2b1-b2=1, 如果 b1-b2>0,则 2b1-b2>1,这与 2b1-b2=1 相矛盾. 如果 b1-b2<0,则 2b1-b2<1,这与 2b1-b2=1 相矛盾. 因此 b1-b2=0,则 b1=b2,这与 b1≠b2 相矛盾. 如果方程的根多于两个,同样可推出矛盾. 故方程 2x=3 有且只有一个实根. ? 尖子生题库 ?? ☆☆☆

(10 分)已知方程 x2-4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0 中至少有一 个方程有实根,求实数 a 的取值范围. 解析: 设三个方程都没有实根,则有 ?4a? -4?-4a+3?<0, ? ? ??a-1? -4a <0, ? ??2a? -4?-2a?<0,
2 2 2 2

? ? ??3a +2a-1>0, ? ?a +2a<0,
4a2+4a-3<0,
2 2

? ??a<-1或a>1, 3 ?-2<a<0,

3 1 - <a< , 2 2

3 ∴- <a<-1. 2
? ? 3 a≤- 或a≥-1 ? ∴当三个方程中至少有一个方程有实根时,a 的取值范围是?a? 2 ? ? ?


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