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2015最新整理圆锥曲线专题


向量问题
1. (东城) 已知椭圆 C :

1 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 以原点 O 为圆心,椭圆的 2 2 a b

短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切。 (I)求椭圆 C 的方程; (II)设 P(4,0) ,A,B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连结 PB 交椭 圆 C 于另一点 E,证明直线 AE 与 x 轴交于定点 Q; (III)在(II)条件下,过点 Q 的直线与椭圆 C 交于 M,N 两点,求 OM ? ON 的取值 范围。

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、 a 2 b2 5 F2.其中 F2 也是抛物线 C2: 点 M 为 C1 与 C2 在第一象限的交点, 且 | MF2 |? . y 2 ? 4x 的焦点, 3
2. (密云)在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C1: (1)求 C1 的方程; (2)平面上的点 N 满足 MN ? MF 1 ? MF 2 ,直线 l∥MN,且与 C1 交于 A、B 两点,若

???? ? ???? ? ???? ?

??? ? ??? ? OA · OB =0,求直线 l 的方程.
3. (宣武) (本小题共 14 分) 已知椭圆

x2 y2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 . 2 3 a b

(I)若原点到直线 x ? y ? b ? 0 的距离为 2 , 求椭圆的方程; (II)设过椭圆的右焦点且倾斜角为 45 ? 的直线 l 和椭圆交于 A,B 两点. (i)当 | AB |?

3 ,求 b 的值;

(ii)对于椭圆上任一点 M,若 OM ? ?OA ? ?OB ,求实数 ? , ? 满足的关系式. 4.已知点 M (4, 0) , N (1, 0) ,若动点 P 满足 MN ? MP ? 6 | PN | . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设过点 N 的直线 l 交轨迹 C 于 A , B 两点,若 ? 的斜率的取值范围. 解: (Ⅰ) C 的方程为

???? ? ????

??? ?

? ??? ? 18 ??? 12 ≤ NA ? NB ≤ ? ,求直线 l 7 5

x2 y2 ? ? 1. 4 3

(Ⅱ) ? 3 ≤ k ≤ ?1 或 1 ≤ k ≤ 3 .

1

x2 y 2 3 5.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0)的离心率 e ? ,椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的 a b 2
距离之和为 4.设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、B,点 A 的坐标为( ?a ,0) . (Ⅰ) 求椭圆的标准方程; (Ⅱ)若 | AB |?

4 2 ,求直线 l 的倾斜角;(Ⅲ)若点 Q (0, y0 ) 在线段 5

AB 的垂直平分线上,且 QA ? QB ? 4 ,求 y0 的值. 解: (I)椭圆的方程为 (Ⅲ) y0 ? ?

? 3? x2 ? y 2 ? 1. (Ⅱ)直线 l 的倾斜角为 或 . 4 4 4

2 14 . 5

垂直问题
x2 y 2 3 1.已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的长轴长为 4 ,且点 (1, (Ⅰ)求椭圆的 ) 在椭圆上. a b 2
方程; (Ⅱ)过椭圆右焦点的直线 l 交椭圆于 A, B 两点, 若以 AB 为直径的圆过原点,求直线 l 方程.

x2 2 11 ? y2 ? 1 . 解: (Ⅰ)椭圆方程为 (Ⅱ)直线 l 方程为 y ? ? ( x ? 3) . 4 11
2. 已知长方形 ABCD, AB ? 2 2, BC ? 1 ,以 AB 的 中点 O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系 xOy . (Ⅰ)求以 A 、 B 为焦点,且过 C 、 D 两点的椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点 P(0,2) 的直线 l 交(Ⅰ)中椭圆于 M , N 两点, 判断是否存在直线 l ,使得以弦 MN 为 直径的圆恰好过原点,并说明理由.

x2 y2 ? ? 1 .(Ⅱ)直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 2 或 y ? ? 2 x ? 2 . 解: (Ⅰ) 椭圆的标准方程为 4 2
1 3 ,且经过点 (1, ) . 2 2

3.已知椭圆 E 的焦点在 x 轴上,对称轴为坐标轴,离心率为 (I)求椭圆 E 的方程;

(II)直线 y ? kx ? 2 与椭圆 E 相交于 A,B 两点,在 O A 上存在一点 M,OB 上存在一 点 N,使得 MN ?

???? ?

? 1 ??? AB ,若原点 O 在以 MN 为直径的圆上,求直线斜率 k 的值。 2

2

x2 y 2 3 4. (西城)椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,长 轴端点与短轴端点间的距 a b 2
离为 5 . (I)求椭圆 C 的方程;

(II)设过点 D (0, 4) 的直线 l 与椭圆 C 交于 E , F 两点,O 为坐标原点,若 ?OEF 为直角三角形,求直线 l 的斜率.

面积
1. 已知椭圆 C 的对称中心为原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为 圆上. (I)求椭圆 C 的方程; (II)过椭圆 C 的左焦点 F 1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点,若 ?AOB 的面积为 求圆心在原点 O 且与直线 l 相 切的圆的方程. 解: (I)椭圆 C 的方程为

1 3 , 且点(1, )在该椭 2 2

6 2 , 7

1 x2 y 2 ? ? 1 . (2)圆 O 的方程为: x 2 ? y 2 ? . 2 4 3

2.已知椭圆的中点在原点 O,焦点在 x 轴上,点 A(?2 3,0) 是其左顶点,点 C 在椭圆上且

AC ? CO ? 0, | AC |?| CO | .
(I)求椭圆的方程; (II)若平行于 CO 的直线 l 和椭圆交于 M,N 两个不同点,求 ?CMN 面积的最大值, 并求此时直线 l 的方程. 解: (Ⅰ) 椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1. 12 4

(Ⅱ) 直线 l 的方程为 x ? y ? 2 2 ? 0

3. 已知椭圆

x2 y2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 长轴长为 2 3 , 直线 l : y ? kx ? m 2 3 a b

交椭圆于不同的两点 A、B。 (1)求椭圆的方程; (2)求 m ? 1, 且OA? OB ? 0, 求k 的值(O 点为坐标原点) ; (3)若坐标原点 O 到直线 l 的距离为

3 ,求 ?AOB 面积的最大值。 2

3

解: (Ⅰ)所求椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3
1 3 3 ? 2? ? 2 2 2 .

(Ⅱ)? k ? ?

3 3 .

(Ⅲ) ?AOB 的面积取最大值 S ? 4.已知椭圆 M :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 (?2, 0) , F2 (2, 0) .在椭圆 a 2 b2 3 M 中有一内接三角形 ABC ,其顶点 C 的坐标 ( 3,1) , AB 所在直线的斜率为 . 3 (Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)当 ?ABC 的面积最大时,求直线 AB 的方程. y
B C A

· F1

O

· F2

x

解: (Ⅰ)椭圆 M 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. (Ⅱ) x ? 3 y ? 6 ? 0 . 6 2

5. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 经过点 (0,1) ,过右焦点 F 且不与 x 轴重合的动直线 L a 2 b2

交椭圆于 A, C 两点,当动直线 L 的斜率为 2 时,坐标原点 O 到 L 的距离为 (Ⅰ) 求椭圆的方程;

2 5 . 5

(Ⅱ) 过 F 的另一直线交椭圆于 B, D 两点, 且 AC ? BD , 当四边形 ABCD 的面积 S= 时,求直线 L 的方程. 解:(Ⅰ)椭圆的方程为

16 9

x2 ? y 2 ? 1 (Ⅱ)直线 L 的方程为 x-y-1=0 或 x+y-1=0 。 2

x2 y 2 6. 已知:椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 a b

? a ? b ? 0?
2 2

过 ? 0,1? 点,离心率 e ?

2 ; 2

B( 直线 l : y ? kx ? m ? m ? 0? 与圆 O : x ? y ? 1相切,并与椭圆 C 交于不同的两点 A 、 , O
为坐标原点). Ⅰ.求椭圆 C 的方程及 m 与 k 的关系式 m ? f (k ) ;

4

Ⅱ.设 ? OA, OB ? ? ? ,且满足 | OA | ?

uur uu u r

uuu r

uu u r 10 5 , cos ? ? ,求直线 l 的方程; 2 ,| OB |? 3 5

Ⅲ.在Ⅱ.的条件下,求三角形 AOB 的面积. 解:Ⅰ、椭圆 C 方程为:

x2 ? y 2 ? 1; m ? f (k ) ? 1 ? k 2 2

Ⅱ.直线 l 的方程为: y ? x ? 2 或 y ? ? x ? 2 Ⅲ. SV AOB ?

r 1 uuu 1 2 2 2 | OA | | yB |? ? 2 ? ? 2 2 3 3 2 ,过右焦点 F 的直线 l 交 2

7.已知椭圆的中心在坐标原点 O ,长轴长为 2 2 ,离心率 e ? 椭圆于 P , Q 两点. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)当直线 l 的斜率为 1 时,求 ?POQ 的面积;

(Ⅲ)若以 OP, OQ 为邻边的平行四边形是矩形,求满足该条件的直线 l 的方程.

x2 ? y2 ? 1 . 解: (Ⅰ)椭圆方程为 2
(Ⅱ) S?POQ ?

1 1 2 OF ? y1 ? y2 ? y1 ? y2 ? . 2 2 3

(Ⅲ)所求直线的方程为 y ? ? 2( x ?1) .

定点定值问题
1.已知椭圆 C :

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴长 2 2 a b
[来

为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P(4,0) ,M,N 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连结 PN 交 椭圆 C 于另一点 E,求直线 PN 的斜率的取值范围; (3)在(2)的条件下,证明直线 ME 与 x 轴相交于定点. 解: (Ⅰ)椭圆 C 的方程为 C :

x2 ? y2 ? 1. 4

5

(Ⅱ)直线 PN 的斜率的取值范围是 ?

3 3 . ? k ? 0 或0 ? k ? 6 6

(Ⅲ)直线 ME 与 x 轴相交于定点 (1, 0) . 2. 已知定点 A(0,0) ,动点 B 满足 2 | AB |? 5 ,线段 AB 与圆: x 2 ? y 2 ? 9 交于点 P ,过 , 4 PQ ? l ,垂足为 Q . 点 B 作直线 l 垂直于 x 轴,过点 P 作 , (Ⅰ)求动点 B 的轨迹方程; 6 (Ⅱ)求点 Q 的轨迹方程; (III)过点 A 作直线 m,与点 Q 的轨迹交于 M、N 两点,C 为点 Q 的轨迹上不同于 M、N 的任意一点,问 k CM ? k CN 是否为定值,若是,求出该值;若不是,请说明理由. 解: (Ⅰ) x 2 ? y 2 ? 25 (Ⅱ) 点 Q 的轨迹方程为 (III) kCM ? kCN ? ? 3.给定椭圆 C :

x2 y2 ? ?1 25 9

25 是一个定值。 9

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,称圆心在原点 O ,半径为 a2 ? b2 的圆是椭圆C的 a 2 b2

“准圆”.若椭圆 C 的一个焦点为 F ( 2,0) ,其短轴上的一个端点到F的距离为 3 . (I)求椭圆C的方程和其“准圆”方程; (II )点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的一个动点,过点 P 作直线 l1 , l2 ,使得 l1 , l2 与椭圆 C 都只 有一个交点,且 l1 , l2 分别交其“准圆”于点 M,N . (1)当 P 为“准圆”与 y 轴正半轴的交点时,求 l1 , l2 的方程; (2)求证:|MN|为定值. 解: (I)椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1,准圆的方程为 x2 ? y 2 ? 4 3
(2)|MN|=4.

(II) (1) l1 , l2 方程为 y ? x ? 2, y ? ? x ? 2 .

4.已知 A(?2, 0) , B(2, 0) 为椭圆 C 的左右顶点, F (1, 0) 为其右焦点. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程及离心率; (Ⅱ)过点 A 的直线 l 与椭圆 C 的另一个交点为 P (不同于 A , B ) ,与椭圆在点 B 处的切 线交于点 D .当直线 l 绕点 A 转动时,试判断以 BD 为直径的圆与直线 PF 的位置关 系,并加以证明.

6

解: (Ⅰ)椭圆 C 的方程为

1 x2 y 2 ? ? 1 ,离心率为 . 2 4 3

(Ⅱ)当直线 l 绕点 A 转动时,以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 5. 已知椭圆

x2 y2 6 1 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 P( 离心率为 , 动点 M (2, t )(t ? 0). , ), 2 2 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)求以 OM 为直径且被直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 截得的弦长为 2 的圆的方程; (Ⅲ)设 F 是椭圆的右焦点,过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N,证明 线段 ON 的长为定值,并求出这个定值. 6. 已知椭圆 C 的长轴长为 2 2 ,一个焦点的坐标为(1,0). (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设直线 l:y=kx 与椭圆 C 交于 A,B 两点,点 P 为椭圆的右顶点. (ⅰ)若直线 l 斜率 k=1,求△ABP 的面积; (ⅱ)若直线 AP,BP 的斜率分别为 k1 , k2 ,求证: k1 ? k2 为定值.

x2 ? y 2 ? 1. 解: (Ⅰ)椭圆 C 的标准方程为 2
(Ⅱ) (ⅰ) S?ABP ?

1 2 6 2 3 . ? 2? ? 2 3 3

(ⅱ) k AP ? kBP 为定值 ?

1 . 2

斜率
1. (延庆)若椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,短轴的一个端点与左右焦点 F1 、 F2 组 成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最短距离为 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 过点 F2 作直线 l 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点,线段 AB 的中点为 M ,求直线 MF1 的斜 率 k 的取值范围.

9. (西城 12)已知椭圆 C :

x2 y 2 5 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,定点 M (2,0) ,椭圆短 2 a b 3

轴的端点是 B1 , B2 ,且 MB1 ? MB2 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设过点 M 且斜率不为 0 的直线交椭圆 C 于 A , B 两点.试问 x 轴上是否存在定
7

点P , 使 PM 平分 ?APB ?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由. 3.已知椭圆 C:

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F (-1,0) ,离心率为 ,过点 F 的 2 a b 2

直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (II)设过点 F 不与坐标轴垂直的直线交椭圆 C 于 A、 B 两点,线段 AB 的垂直平分线 与 x 轴交于点 G,求点 G 横坐标的取值范围. 解: (Ⅰ)椭圆的方程为:

x2 ? y2 ? 1 2
1 2

0) (II)?点G横坐标的取值范围为( ? ,
4.已知 A(1,1)是椭圆

x2 y2 + =1( a ? b ? 0 ) a2 b2

上一点, F1 , F2 是椭圆的两焦点,且满足 AF (1)求椭圆的标准方程; (2) 1 ? AF 2 ? 4. 设点 C , D 是椭圆上两点,直线 AC , AD 的倾斜角互补,求直线 CD 的斜率.

解: (1)椭圆方程为

yC _ y D 1 x2 3 y 2 ? =1 (2) = . xC _ xD 3 4 4

5. 已知椭圆

1 x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 短轴 的一个端点 D 0, 3 ,离心率 e ? .过 D 作直 2 2 a b

?

?

线 l 与椭圆交于另一点 M ,与 x 轴交于点 A (不同于原点 O ) ,点 M 关于 x 轴的对称点为 N ,直线 DN 交 x 轴于点 B . (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求 OA ? OB 的值. 解: (Ⅰ)椭圆方程为

??? ? ??? ?

x2 y 2 ? ?1. 4 3

(Ⅱ) OA ? OB = ?

??? ? ??? ?

4 3k 3 ?? ? 4. 3 k

弦中点问题
1.已知椭圆 C :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 , 椭圆 C 上任意一点到椭圆两个焦点 2 a b 3

的距离之和为 6 .
8

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? 2 与椭圆 C 交与 A, B 两点,点 P(0,1) ,且 PA ? PB ,求直 线 l 的方程. 解: (Ⅰ)椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 9 3

(Ⅱ)直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 . 2. 已知椭圆 C:

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的长轴长为 2 3 ,离心率 e ? . 2 a b 3

(I)求椭圆 C 的标准方程;

( ,1 )? , M | |? D N| (Ⅱ) 设椭圆 C 与直线 y ? kx ? m 相交于不同的两点 M 、N , 点 D0 当| D
时,求实数 m 的取值范围.

x2 ? y2 ? 1 解:椭圆 C 的方程为 3

(II) m 的取值范围是(-1,2).

3、已知椭圆的中心在原点 O ,离心率 e ?

3 ,短轴的一个端点为 (0, 2) ,点 M 为直线 2

y?

1 x 与该椭圆在第一象限内的交点,平行于 OM 的直线 l 交椭圆于 A, B 两点. 2

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求证:直线 MA , MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 解: (Ⅰ)椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 8 2

4. 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 1 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 经过点 M (1, ), 其离心率为 . 2 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,以线段 OA, OB 为邻边作平行四边形 OAPB, 其中顶点 P 在椭圆 C 上, O 为坐标原点. 求 O 到直线距离的 l 最小值.

x2 y 2 ? ? 1. 解: (Ⅰ)椭圆 C 的方程为 4 3

3 (Ⅱ)点 O 到直线 l 的距离最小值为 2

9


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