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15-16版:§1.2 应用举例(二)(步步高)


明目标、知重点

1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达

的物体高度测量的问题.2.巩固深化解三角形实际问题的一般方法,养成良好的研究、探索习 惯.3.进一步培养学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力.

[情境导学] 现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度?又怎

样在水平飞行的飞机上测量 飞机下方山顶的海拔高度?今天我们就来共同探讨这方面的问题. 探究点一 测量仰角求高度问题 例 1 如下图,AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物,A 为建筑物的最高点,设计一种测量建 筑物高度 AB 的方法.

思考 1 通过观察图形,你认为哪些量能够测量出? 答 能够测量出的分别是 α、β,CD=a,测角仪器的高 h. 思考 2 你能说出求 AE 长的一个解题思路吗? 答 求 AB 长的关键是先求 AE,在△ACE 中,如能求出 C 点到建筑物顶部 A 的距离 CA,再 测出由 C 点观察 A 的仰角,就可以计算出 AE 的长. 思考 3 写出例题的解题过程. 解 选择一条水平基线 HG,使 H、G、B 三点在同一条直线上.由在 H、G 两点用测角仪器 测得 A 的仰角分别是 β、α,CD=a,测角仪器的高是 h. asinβ 那么,在△ACD 中,根据正弦定理可得 AC= , sin?α-β?

asinαsinβ AB=AE+h=ACsinα+h= +h. sin?α-β? 反思与感悟 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时,通常都根据题意,从实际问题中 抽象出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得出实际问题的解.和高度有关的问题 往往涉及直角三角形的求解. 跟踪训练 1 某登山队在山脚 A 处测得山顶 B 的仰角为 35° , 沿倾斜角为 20° 的斜坡前进 1000 米后到达 D 处,又测得山顶的仰角为 65° ,则山的高度为______m.(精确到 1m)

答案 811 解析 过点 D 作 DE∥AC 交 BC 于 E,

因为∠DAC=20° ,所以∠ADE=160° , 于是∠ADB=360° -160° -65° =135° . 又∠BAD=35° -20° =15° ,所以∠ABD=30° . 在△ABD 中,由正弦定理, ADsin∠ADB AB= =1000 2(m). sin∠ABD 在 Rt△ABC 中,BC=ABsin35° ≈811(m). 答 山的高度约为 811m. 探究点二 测量俯角求高度问题 例 2 如图, 在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 α=54° 40′, 在塔底 C 处测得 A 处 的俯角 β=50° 1′.已知铁塔 BC 部分的高为 27.3m,求出山高 CD(精确到 1m).

思考 1 若在△ABD 中求 CD,则关键需要求出哪条边?又如何求出关健的这条边?

答 需求出 BD 边.可首先求出 AB 边,再根据∠BAD=α 求得 BD 边. 思考 2 有没有别的解法?若在△ACD 中求 CD,则关键需要求出哪条边?又如何求出关健 的这条边? 答 需要求出 AC.在△ABC 中,由于∠ABC=90° -α,∠BAC=α-β,BC=27.3m,由正弦定 理能求出 AC. 思考 3 写出例题的解题过程. 解 在△ABC 中,∠BCA=90° +β,∠ABC=90° -α,∠BAC=α-β,∠BAD=α. BC AB 根据正弦定理, = , sin?α-β? sin?90° +β? BCsin?90° +β? BCcosβ 所以 AB= = . sin?α-β? sin?α-β? BCcosβsinα 在 Rt△ABD 中,得 BD=ABsin∠BAD= . sin?α-β? 将测量数据代入上式,得 27.3cos50° 1′sin54° 40′ 27.3cos50° 1′sin54° 40′ BD= = sin?54° 40′-50° 1′? sin4° 39′ ≈177.4(m). CD=BD-BC≈177.4-27.3≈150(m). 答 山的高度约为 150 米. 反思与感悟 利用正弦定理和余弦定理来解题时,要学会审题及根据题意画示意图,要懂得 从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素,进行适当的简化. 跟踪训练 2 江岸边有一炮台高 30m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水面上,由炮台 顶部测得俯角分别为 45° 和 30° ,而且两条船与炮台底部连线成 30° 角,则两条船相距 ________m. 答案 30 解析 设两条船所在位置分别为 A、B 两点,炮台底部所在位置为 C 点, 在△ABC 中,由题意可知 AC= 30 30 =30 3(m),BC= =30(m),∠C=30° , tan30° tan45°

AB2=(30 3)2+302-2×30 3×30×cos30° =900, 所以 AB=30(m). 探究点三 测量方位角求高度问题 例 3 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧远处一山顶 D 在西偏北 15° 的方向上,行驶 5km 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 25° 的方向上,仰角 为 8° ,求此山的高度 CD.(精确到 1m)

思考 1 欲求出 CD,你认为在哪个三角形中研究比较适合?为什么? 答 在△BCD 中比较适合;因为在已知条件中,只告诉了 B 处的仰角为 8° ,在 A 处的仰角 不知道. 思考 2 在△BCD 中,已知 BD 或 BC 都可求出 CD,根据条件,易计算出哪条边的长? 答 根据已知条件,在△ABC 中,易计算出 BC 边. 思考 3 写出例题的解题过程. 解 在△ABC 中,∠A=15° ,∠C=25° -15° =10° , BC AB 根据正弦定理, = , sinA sinC ABsinA 5sin15° BC= = ≈7.4524 (km). sinC sin10° CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8° ≈1047(m). 答 山的高度约为 1047 米. 反思与感悟 利用正弦定理和余弦定理来解题时,要学会审题及根据题意画方位图,要懂得 从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素,进行适当的简化. 跟踪训练 3 如图,为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸上选一点 C,使 C 在塔底 B 的正东 方向上,测得点 A 的仰角为 60° ,再由点 C 沿北偏东 15° 方向走 10m 到位置 D,测得∠BDC =45° ,则塔 AB 的高是( )

A.10m C.10 3m 答案 D

B.10 2m D.10 6m

解析 在△BCD 中,CD=10m,∠BDC=45° ,∠BCD=15° +90° =105° ,∠DBC=30° , BC CD CDsin45° 由正弦定理,得 = ,BC= =10 2(m). sin45° sin30° sin30° 在 Rt△ABC 中,tan60° = AB ,AB=BC· tan60° =10 6(m). BC

1.已知两座灯塔 A,B 与海洋观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40° ,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60° ,则灯塔 A 在灯塔 B 的( A.北偏东 10° C.南偏东 10° 答案 B 解析 如下图,因△ABC 为等腰三角形, B.北偏西 10° D.南偏西 10° )

1 所以∠CBA= (180° -80° )=50° , 2 60° -50° =10° ,故选 B. 2. 从高出海平面 h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为 30° , 看正南方向有一只船俯角为 45° , 则此时两船间的距离为( )

A.2h 米 B. 2h 米 C. 3h 米 D.2 2h 米 答案 A 解析 如图所示,BC= 3h,AC=h,

∴AB= 3h2+h2=2h (米). 3. 甲、乙两楼相距 20 米, 从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60° , 从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30° , 则甲、乙两楼的高分别是________________. 40 答案 20 3米、 3米 3 解析 甲楼的高为 20tan60° =20× 3=20 3(米); 乙楼的高为 20 3-20tan30° =20 3-20× = 40 3 (米). 3 3 3

[呈重点、现规律]

1. 在研究三角形时, 灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案, 但有些过程较繁琐, 如何找到最优的方法,最主要的还是分析两个定理的特点,结合题目条件来选择最佳的计算 方式. 2.测量底部不可到达的建筑物的高度问题.由于底部不可到达,这类问题不能直接用解直角 三角形的方法解决,但常用正弦定理和余弦定理,计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间 的距离,然后转化为解直角三角形的问题.


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