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江苏省泰州中学期中复习试卷二


期末复习试卷二
一、填空题 1. 2x2-3x-2≥0 的解集是 . .

2.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 a、b、c 成等比数列,且 c=2a,则 cosB=

3.如果点(5,b)在两条平行直线 6x-8y+1=0 和 3x-4y+5=0 之间,则 b 应取的整数值 为 . .

/>4.设 α、β 是方程 x2-2x+k2=0 的两根,且 α,α+β,β 成等比数列,则 k=

5.若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为 m,则 m 的范围 是 . .

6.若以 2,3,x 为三边组成一个锐角三角形,则 x 的范围为

7. 数 列 {an} 中 , an > 0 且 {anan+1} 是 公 比 为 q(q > 0) 的 等 比 数 列 , 满 足 anan+1+an+1an+2 > an+2an+3(n∈N*),则公比 q 的取值范围是 .

8.三角形两条边长分别为 3 cm,5 cm,其夹角的余弦值是方程 5x2-7x-6=0 的根,则此三角形的 面积是____________________. 9.数列{an}的通项公式为 an=2n-49,Sn 达到最小时,n= _________. 10. 在△ ABC 中,若 sinB、cos

A 、sinC 成等比数列,则此三角形的形状为 2



11.将给定的 25 个数排成如图所示的数表, 若每行 5 个数按从左至右的顺序构成等差数列, 每列的 5 个数按从上到下的顺序也构成等差数列, 且表正中间一个数 a33=1,则表中所有数之和 为__________.

12.半圆 O 的直径为 2,A 为直径延长线上的一点,OA=2,B 为半圆上任意一点,以 AB 为一 边作等边三角形 ABC.则四边形 OACB 的面积最大值是 .

13. 若等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , an ?3 = 10( n > 7) , 7 = 14 , n = 72 , n = ______. 且 S S 则

二、解答题 15.已知 {an } 是等差数列,其中 a1 = 25, a4 = 16 (1)求 {an } 的通项; (2)数列 {an } 从哪一项开始小于 0;(3)求 a1 + a3 + a5 + L + a19 值.

17. 某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜,每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数 据如下: 工艺要求 制白坯时间/天 油漆时间/天 单位利润/元 产品甲 6 8 20 产品乙 12 4 24 生产能力/(台/天) 120 64

问该公司如何安排甲、乙二种柜的日产量可获最大利润,并且最大利润是多少?

18.一缉私艇发现在北偏东 45 方向,距离 12 nmile 的海面上有一走私船正以 10 nmile/h 的速度 沿东偏南 15 方向逃窜.缉私艇的速度为 14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇 应沿北偏东 45 + α 的方向去追,.求追击所需的时间和 α 角的正弦值.
o o

o

北 C 东 B A

19.某公司今年年初用 25 万元引进一种新的设备,投入设备后每年收益为 21 万元。该公司 第 n 年需要付出设备的维修和工人工资等费用 an 的信息如下图. (1)求 an ;
费用(万元)

an
(2)引进这种设备后,第几年后该公司开始获利; (3)这种设备使用多少年,该公司的年平均获利最大?

4 2 1 2 n


20 . 设 {an} 是 正 数 组 成 的 数 列 , 其 前 n 项 和 为 Sn , 并 且 对 于 所 有 的 n

N+ , 都 有

8S n = (a n + 2) 2 .(1)写出数列{an}的前 3 项;(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程);
(3)设 bn =

4 m , Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn < 对所有 n a n ? a n+1 20

N+都成立的

最小正整数 m 的值.

江苏省泰州中学期中复习资料二答案
1 1. 1. {x|x≥2 或 x≤- }。提示:十字相乘法即可。 2 2.

3 。提示:∵a、b、c 成等比数列,∴b2=ac.又∵c=2a,∴b2=2a2. 4

a 2 + c 2 ? b 2 a 2 + 4a 2 ? 2a 2 3 ∴cosB= = = . 2ac 4 4a 2
?6×5-8b+1<0 ? 31 3. 由题意知? ,解得 <b<5,∵b 为整数,∴b=4. 8 ? ?3×5-4b+5>0

4. ±2。提示:α+β=2,αβ=k2,又(α+β)2=αβ,∴4=k2.∴k=±2. : 5. m>2.提示:设 A>B>C,则 B=

π
3

,A+C=

2π π ,0<C< ,于是 3 6

a sin A m= = = c sin C

sin(

2π 3 1 ? C) cos C + sin C 3 1 3 2 = 2 = cotC+ ,∵ 3 <cotC,∴m>2. sin C sin C 2 2

4+9-x2 4+x2-9 6. 5<x 13。提示:由余弦定理可知:cosA= >0,cosB= >0, 12 4x 2 9+x -4 cosC= >0,由此联立得: 5<x 13。 6x 7. 0<q<

1+ 5 .提示:令 n=1,不等式变为 a1a2+a2a3>a3a4, : 2

∴a1a2+a1a2q>a1a2q2,∵a1a2>0,∴1+q>q2.解得 0<q< 8. 6 cm2.提示:由 5x2-7x-6=0,得 x1=提示: 提示 ∴cosθ=-

1+ 5 . 2

3 , x2=2(舍去), 5

3 4 1 4 ,sinθ= .∴S= ×3×5× =6 (cm2). 5 5 2 5

9.24.提示:∵an=2n-49,∴{an}是等差数列,且首项为-47,公差为 2. 提示: 提示 由?

?a n = 2n - 49 > 0, 解得 n=25. a n -1 = 2(n - 1) - 49 ≤ 0, ?

∴从第 25 项开始为正,前 24 项都为负数,故前 24 项之和最小. 10.等腰三角形。提示:易知 cos2 =sinB·sinC,∴1+cosA=2sinBsinC,

即 1-cos(B+C)=2sinBsinC,即 1-cosBcosC+sinBsinC=2sinBsinC.

∴1-cosBcosC=sinB sinC,∴cos(B-C)=1.∵0<B<π,0<C<π,∴-π<B-C<π.

∴B-C=0,B=C,∴△ABC 为等腰三角形.

11. 25.提示:第一行的和为 5a13,第二行的和为 5a 23,…,第五行的和为 5a53,故表中所有数之
和为 5(a13+a23+a33+a43+a53)=5×5a 33=25. 5 12. 14. 2+ 3。提示:设∠AOB=α,在△AOB 中,由余弦定理得 4 AB2=12+22-2×1×2cosα=5-4cosα,于是,四边形 OACB 的面积为 1 3 S=S△AOB+S△ABC= OA·OBsinα+ AB2 2 4 1 3 5 π 5 = ×2×1×sinα+ (5-4cosα)=sinα- 3cosα+ 3=2sin(α- )+ 3 2 4 4 3 4 ∵0<α<π, π π 5 5π 5 ∴当 α- = ,α= π,即∠AOB= 时,四边形 OACB 面积最大为 2+ 3. 3 2 6 6 4 13.n=12 14. {( 4,?4), ( 4,1)} 15.解:(1)Q a4 = a1 + 3d ∴ d = ?3 (2) Q 28 ? 3n < 0 ∴ n > 9

∴ an = 28 ? 3n

1 ,∴数列 {an } 从第 10 项开始小于 0 3

(3) a1 + a3 + a5 + L + a19 是首项为 25,公差为 ? 6 的等差数列,共有 10 项

其和 S = 10 × 25 +

10 × 9 × (?6) = ?20 2
3 3 得, cos( A ? C ) + cos B = , 2 2 3 , 2 3 3 ,所以 sinAsinC= . 2 4

16. 【解】(1)由 m ? n =

又 B=π ? (A+C),得 cos(A ? C) ? cos(A+C)=

即 cosAcosC+sinAsinC ? (cosAcosC ? sinAsinC)=

【证明】(2)由 b2=ac 及正弦定理得 sin 2 B = sin A sin C ,故 sin 2 B = 于是 cos 2 B = 1 ? 故B=
π . 3

3 . 4

3 3 1 1 1 1 = , 所以 cos B = 或 ? . 因为 cosB = ? cos(A ? C)>0,所以 cos B = , 4 4 2 2 2 2

由余弦定理得 b 2 = a 2 + c 2 ? 2ac cos B , b 2 = a 2 + c 2 ? ac , b2=ac, 即 又 所以 ac = a 2 + c 2 ? ac, 得 π a=c.因为 B = ,所以三角形 ABC 为等边三角形. 3
17.解:安排甲、乙二种柜的日产量分别为 4 台和 8 台可获最大利润 272 元 18.解: 设 A,C 分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过 x 小时后在 B 处追上, 则有 AB = 14 x , BC = 10 x , ∠ACB = 120o .
o

∴ (14 x )2 = 122 + (10 x )2 ? 240 x cos120o
∴ sin α =

∴ x = 2, AB = 28, BC = 20,

BC sin120o 20sin120o 5 3 5 3 . 所以所需时间 2 小时, sin α = . = = AB 28 14 14

19.解:(1)由题意知,每年的费用是以 2 为首项,2 为公差的等差数列,求得:

an = a1 + 2(n ? 1) = 2n
(2)设纯收入与年数 n 的关系为 f(n),则:

f ( n) = 21n ? [2n +

n( n ? 1) ? 2] ? 25 = 20n ? n 2 ? 25 2
解得 10 ? 5 3 < n < 10 + 5 3

由 f(n)>0 得 n2-20n+25<0

又因为 n ∈ N ,所以 n=2,3,4,……18.即从第 2 年该公司开始获利 (3)年平均收入为

25 f (n) =20- (n + ) ≤ 20 ? 2 × 5 = 10 n n
2

当且仅当 n=5 时,年平均收益最大.所以这种设备使用 5 年,该公司的年平均获利最大。 20.解:(1) n=1 时 8a1 = ( a1 + 2) n=2 时 8( a1 + a2 ) = ( a2 + 2)
2

∴ a1 = 2 ∴ a2 = 6

n=3 时 8( a1 + a2 + a3 ) = ( a3 + 2)

2

∴ a3 = 10

(2)∵ 8 Sn = ( an + 2)

2

∴ 8 Sn ?1 = ( an ?1 + 2) ( n > 1)
2 2 2

两式相减得: 8an = ( an + 2) ? ( an ?1 + 2) 也即 ( an + an ?1 )( an ? an ?1 ? 4) = 0 ∵ an > 0 ∴ an ? a n ? 1 = 4

即 a n ? a n ? 1 ? 4a n ? 4a n ? 1 = 0
2 2

即 {an } 是首项为 2,公差为 4 的等差数列

∴ an = 2 + ( n ? 1) ? 4 = 4n ? 2 (3) bn =

4 4 1 1 1 1 ) = = = ( ? an ? an+1 (4n ? 2)(4n + 2) (2n ? 1)(2n + 1) 2 (2n ? 1) (2n + 1)
1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) + ( ? ) + L + ( )] ? 2 3 3 5 (2n ? 1) (2n + 1)

∴ Tn = b1 + b2 + L + bn =

1 1 1 1 1 )= ? = (1 ? < 2 2n + 1 2 4 n + 2 2
∵ Tn <

m 对所有 n ∈ N + 都成立 20



m 1 ≥ 20 2

即 m ≥ 10 ,故 m 的最小值是 10 。


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