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圆锥曲线题型总结


圆锥曲线题型总结
【高频考点解读】 1.掌握解决直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系的思想方法. 2.了解圆锥曲线的简单应用. 3.理解数形结合思想. 【热点题型】 题型一直线与圆锥曲线的位置关系 x2 y2 例 1、如图,点 F1(-c,0),F 2(c,0)分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,过 a b a2 点 F1 作 x 轴的垂

线交椭圆 C 的上半部分于点 P,过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直线 x= 于 c 点 Q.

(1)如果点 Q 的坐标是(4,4),求此时椭圆 C 的方程; (2)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点. 【提分秘籍】 1. 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点: 两条切线和一条与对 称轴平行或重合的直线. 2.经过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点:一条切线和一条与 对称轴平行或重合的直线. 3.过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点: 一条与对称轴平行或 重合的直线. 4.判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法 (1)代数法,即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关 于 x、y 的方程组,消去 y(或 x) 得一元方程,此方程根的个数即为交点个数,方程组的解即为交点坐标; (2)几何法,即画出直线与圆锥曲线的图象,根据图象判断公共点个数.

【举一反三】 x2 y2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F1(-1,0),且点 a b P(0,1)在 C1 上. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2:y2=4x 相切,求直线 l 的方程.

题型二圆锥曲线的弦长问题 例 2、设过原点的直线 l 与抛物线 y2=4(x-1)交于 A,B 两点,且以 AB 为直径的圆恰 好过抛物线焦点 F.求: (1)直线 l 的方程; (2)|AB|的长.

1.当直线与圆锥曲线相交时:涉及弦长问题,常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长 (即应用弦长公式);涉及弦长的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的斜率、 弦的中点坐标联系起来,相互转化.同时还应充分挖掘题目中的隐含条件,寻找量与量间的 关系灵活转化,往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点,韦达定 理求弦长,根的分布找范围,曲线定义不能忘”. 2.利用弦长公式求弦长要注意斜率 k 不存在的情形,若 k 不存在时,可直接求交点坐 标再求弦长. 3.对于中点弦问题,常用的解题方法是平方差法.其解题步骤为: (1)设点:即设出弦的两端点坐标; (2)代入:即代入圆锥曲线方程; (3)作差:即两式相减,再用平方差公式把上式展开; (4)整理:即转化为斜率与中点坐标的关系式,然后求解. 【举一反三】 x2 y2 已知 F1、F2 为椭圆 + =1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点.若|F2A| 25 9 +|F2B|=12,则|AB|=________.

题型三定点、定值的探索与证明

x2 y2 例 3、 (2013 年高考安徽卷)设椭圆 E: 2+ =1 的焦点在 x 轴上. a 1-a2 (1)若椭圆 E 的焦距为 1,求椭圆 E 的方程; (2)设 F1,F2 分别是椭圆 E 的左、右焦点,P 为椭圆 E 上第一象限内的点,直线 F2P 交 y 轴于点 Q,并且 F1P⊥F1Q.证明:当 a 变化时,点 P 在某定直线上.

1.求定值问题常见的方法有两种 (1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关; (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. 2.定点的探索与证明问题 (1)探索直线过定点时,可设出直线方程为 y=kx+b,然后利用条件建立 b、k 等量关系 进行消元,借助于直线系的思想找出定点; (2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关. 【举一反三】 x2 y2 10 2 5 椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的焦点到直线 x-3y=0 的距离为 ,离心率为 ,抛物 a b 5 5 线 G: y2=2px(p>0)的焦点与椭圆 E 的焦点重合, 斜率为 k 的直线 l 过 G 的焦点与 E 交于 A, B,与 G 交于 C,D. (1)求椭圆 E 及抛物线 G 的方程; 1 λ (2)是否存在常数 λ,使 + 为常数,若存在,求 λ 的值,若不存在,说明理由. |AB| |CD|

题型四圆锥 曲线中探索性问题 3 x2 y2 1, ? , 例 4、 (2013 年高考江西卷)(本题满分 13 分)如图, 椭圆 C:2+ 2=1(a>b>0)经过点 P? ? 2? a b 1 离心率 e= ,直线 l 的方程为 x=4. 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P), 设直线 AB 与直线 l 相交于点 M, 记 PA, PB,PM 的斜率分别为 k1,k2,k3.问:是否存在常数 λ,使得 k1+k2=λk3?若存在,求 λ 的 值;若不存在,说明理由.

圆锥曲线中的探索性问题是高考命题的热点,主要以解答题的形式出现,难度较大,一 般作为压轴题,解决此类问题往往采用“假设反证法”或“假设检验法”,也可先用特殊情况得 到所求值,再给出一般性的证明,着重考查学生的分析问题与解决综合问题的能力. 【高考风向标】 1. (2014· 全国卷)已知抛物线 C:y2=2px( p>0)的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点 5 为 P,与 C 的交点为 Q,且|QF|= |PQ|. 4 (1)求 C 的方程; (2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点, 若 AB 的垂直平分线 l′与 C 相交于 M, N 两点, 且 A,M,B,N 四点在同一圆上,求 l 的方程. 2. (2014· 安徽卷)如图 14,已知两条抛物线 E1:y2= 2p1x(p1>0)和 E2:y2=2p2x(p2 >0),过原点 O 的两条直线 l1 和 l2,l1 与 E1,E2 分别交于 A1,A2 两点,l2 与 E1,E2 分别交 于 B1,B2 两点.

图 14 (1)证明:A1B1∥A2B2; (2)过 O 作直线 l(异于 l1,l2)与 E1,E2 分别交于 C1,C2 两点,记△A1B1C1 与△A2B2C2 S1 的面积分别为 S1 与 S2,求 的值. S2 3. (2014· 北京卷)已知椭圆 C:x2+2y2=4. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)设 O 为原点,若点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线 y=2 上,且 OA⊥OB,试判断直线 AB 与圆 x2+y2=2 的位置关系,并证明你的结论. x2 y2 4. (2014· 福建卷)已知双曲线 E: 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为 l1:y=2x, a b l2:y=-2x. (1)求双曲线 E 的离心率. (2)如图 16, O 为坐标原点, 动直线 l 分别交直线 l1, l2 于 A, B 两点(A, B 分别在第一、 四象限),且△OAB 的面积恒为 8.试探究:是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲 线 E?若存在,求出双曲线 E 的方程;若不存在,说明理由.

图 16 5. (2014· 湖北卷)在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F(1,0)的距离比它到 y 轴的 距离多 1.记点 M 的轨迹为 C. (1)求轨迹 C 的方程; (2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(-2,1),求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个 公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围.

x2 y2 6. (2014· 湖南卷)如图 17,O 为坐标原点,椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦 a b x2 y2 点分别为 F1,F2,离心率为 e1;双曲线 C2: 2- 2=1 的左、右焦点分别为 F3,F4,离心率 a b 为 e2.已知 e1e2= 3 ,且|F2F4|= 3-1. 2

(1)求 C1,C2 的方程; (2)过 F1 作 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB,M 为 AB 的中点.当直线 OM 与 C2 交于 P,Q 两点时,求四边形 APBQ 面积的最小值.

[来源:Z,xx,k.Com]

图 17 x2 7. (2014· 江西卷)如图 17 所示,已知双曲线 C: 2-y2=1(a>0)的右焦点为 F,点 A, a B 分别在 C 的两条渐近线上,AF⊥x 轴,AB⊥OB,BF∥OA(O 为坐标原点).

图 17 (1)求双曲线 C 的方程; x0x (2)过 C 上一点 P(x0,y0)(y0≠0)的直线 l: 2 -y0y=1 与直线 AF 相交于点 M,与直线 x a 3 |MF| = 相交于点 N.证明:当点 P 在 C 上移动时, 恒为定值,并求 此定值. 2 |NF| 8. (2014· 辽宁卷)圆 x2+y2=4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成—个三角形,当 x2 y2 该三角形面积最小时, 切点为 P(如图 16 所示). 双曲线 C1: 2- 2=1 过点 P 且离心率为 3. a b
[来

图 16

(1)求 C1 的方程; (2)椭圆 C2 过点 P 且与 C1 有相同的焦点, 直线 l 过 C2 的右焦点且与 C2 交于 A, B 两点. 若 以线段 AB 为直径的圆过点 P,求 l 的方程. x2 y2 3 9. (2014· 新课标全国卷Ⅰ] 已知点 A(0, -2), 椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 , a b 2 2 3 F 是椭圆 E 的右焦点,直线 A F 的斜率为 ,O 为坐标原点. 3 (1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 10. (2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30° 的 直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( 3 3 A. 4 9 3 B. 8 63 9 C. D. 32 4 )

x2 y2 11. (2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设 F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦 a b 点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. 3 (1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; 4 (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|= 5|F1N|,求 a,b. 12. (2014· 山东卷)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,A 为 C 上异于 原点的任 意一点,过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B,交 x 轴的正半轴于点 D,且有|FA|=|FD|.当点 A 的横坐标为 3 时,△ ADF 为正三角形. (1)求 C 的方程. (2)若直线 l1∥l,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E. ①证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标. ②△ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.

y2 x2 13. (2014· 陕西卷)如图 15 所示,曲线 C 由上半椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0,y≥0)和 a b 部分抛物线 C2:y=-x2+1(y≤0)连接而成,C1 与 C2 的公共点为 A,B,其中 C1 的离心率为 3 . 2 (1)求 a,b 的值; (2)过点 B 的直线 l 与 C1,C2 分别交于点 P,Q(均异于点 A,B),若 AP⊥AQ,求直线 l 的方程.

图 15 x2 y2 14. (2014· 四川卷)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 4,其短轴的两个端点与长 a b 轴的一个端点构成正三角形. (1)求椭圆 C 的标准方程. (2)设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x=-3 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q. ①证明:OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点); |TF| ②当 最小时,求点 T 的坐标. |PQ| x2 y2 15. (2014· 天津卷)设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,右顶点为 A, a b 上顶点为 B.已知|AB|= 3 |F F |. 2 1 2

(1)求椭圆的离心率; (2)设 P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 PB 为直径的圆经过点 F1,经过原点 O 的 直线 l 与该圆相切,求直线 l 的斜率. x2 y2 16. (2014· 浙江卷)如图 16,设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),动直线 l 与椭圆 C 只有一 a b 个公共点 P,且点 P 在第一象限. (1)已知直线 l 的斜率为 k,用 a,b,k 表示点 P 的坐标; (2)若过原点 O 的直线 l1 与 l 垂直,证明:点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a-b.

图 16 【随堂巩固】 1.过点 P(4,4)且与双曲线 A.1 条 C.3 条 D.4 条 2.已知以 F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x+ 3y+4=0 有且仅有一个交点, 则椭圆的长轴长为( A.3 2 B.2 6 C.2 7 D. 7 x2 y2 3. 已知双曲线 - =1 的右焦点为 F, 若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个 12 4 交点,则此直线斜率的取值范围是( A.?- ) ) x2 y2 - =1 只有一个公共点的直线有( 16 9 B.2 条 )

?

3 3? , 3 3? 3 3? , 3 3?

B.(- 3, 3) D.[- 3, 3]

C.?-

?

4.直线 4kx-4y-k=0 与抛物线 y2=x 交于 A,B 两点,若|AB|=4,则弦 AB 的中点到 1 直线 x+ =0 的距离等于( 2 7 A. B.2 4 9 C. D.4 4 x2 y2 5.斜率为 3的直线与双曲线 2- 2=1 恒有两个公共点,则双曲线离心率的取值范围 a b 是( )
[来]

)

A.[2,+∞)

B.(2,+∞)

C.(1, 3) D.( 3,+∞) 1 6. 已知抛物线 y2=8x 的焦点为 F, 直线 y=k(x-2)与此抛物线相交于 P, Q 两点, 则 |FP| + 1 =( |FQ| )

1 A. B.1 2 C.2 D.4

x2 7.已知 F1 为椭圆 C: +y2=1 的左焦点,直线 l:y=x-1 与椭圆 C 交于 A、B 两点, 2 则|F1A|+|F1 B|的值为________. x2 8. 直线 l: x-y=0 与椭圆 +y2=1 相交于 A、 B 两点, 点 C 是椭圆上的动点, 则△ABC 2 面积的最大值 是________. x2 y2 p 9.已知双曲线 - =1 的离心率为 p,焦点为 F 的抛物线 y2=2px 与直线 y=k(x- ) 4 12 2 |AF| 交于 A, B 两点,且 =p,则 k 的值为________. |FB| 10.已知圆 C:(x+ 3)2+y2=16,点 A( 3,0),Q 是圆上一动点,AQ 的垂直平分线 交 CQ 于点 M,设点 M 的轨迹为 E. (1)求轨迹 E 的方程; (2)过点 P(1,0)的直线 l 交轨迹 E 于两个不同的点 A,B,△AOB(O 是坐标原点)的面积 S 4 = ,求直线 AB 的方程. 5 11.如图所示,已知点 A(1, 2)是离心率为 2 x2 y2 的椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)上的一点, 2 b a

斜率为 2的直线 BD 交椭圆 C 于 B、D 两点,且 A、B、D 三点不重合.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)△ABD 的面积是否存在最大值; 若存在, 求出这个最大值; 若不存在, 请说明理由; (3)求证:直线 AB、AD 斜率之和为定值. x2 y2 12.如图所示,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),A1、A2 为椭圆 C 的左、右顶点. a b

(1)设 F 1 为椭圆 C 的左焦点,证明:当且仅当椭圆 C 上的点 P 在椭圆的左、右顶点时, |PF1|取得最小值与最大值; (2) 若椭圆 C 上的点到焦点的距离的最大值为 3,最小值为 1,求椭圆 C 的标准方程; (3)若直线 l:y =kx+m 与(2)中所述椭圆 C 相交于 A、B 两点(A、B 不是左、右顶点),且满 足 AA2⊥BA2,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标


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