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泉州五校2015届高三联考文数试卷Word版含答案


安溪一中 2015 届高三数学(文)统练
1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分.考试时间 120 分钟. 2.请将各题答案填在试卷后面的答题卡上. 3.参考公式: 锥体的侧面积: s 侧 ?

1 c底面周长 ? l ; 柱体的侧面积: s侧 ? c底面周长 ? l 2

锥体的表面积: s表

面积 ? s侧 ? s底面积; 柱体的表面积: s表面积 ? s侧 ? 2s底面积; 锥体的体积公式: V ?

1 Sh ; 柱体的体积公式:V=Sh,其中 S 为底面面积,h 为高 3
第 I 卷(选择题 共 60 分)

一.选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.已知集合 A ? ?x | ?3 ? x ? 3? , B ? ?x | x ? 1? ,则集合 A ? B 为( A.[0,3) 2.在复平面内,复数 A. (-1,1) B.[1,3) C.(1,3) ) D.(-1,-1) )

D.(-3,1]

2i 对应的点的坐标为 ( 1? i


B.(1,1)

C.(1,-1)

3.下列有关命题的说法正确的是 (
2

A.命题“ ?x ? R, , 均有 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R , 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”
2

B.“ x ? 3 ”是“ 2 x ? 7 x ? 3 ? 0 ”成立的充分不必要条件
2

?x ? a ? ?b ? 对应的直线一定经过其样本数据点 ? x1, y1 ? , ? x2 , y2 ? , ???, ? xn , yn ? C.线性回归方程 y
中的一个点 D.若“ p ? ? ?q ? ”为真命题,则“ p ? q ”也为真命题 4.已知 a, b ? R ,且 a ? b ,则( A. a ? b
2 2

) C. lg(a ? b) ? 0 D. ( ) ? ( )
a

B.

a ?1 b

1 2

1 2

b

5. 已知 ? ? ? A. -7

3 ?? ?? ? ? , ? ? , sin ? ? ,则 tan ? ? ? ? 等于( 5 4? ?2 ? ?


13

1 B. - 7

C. 7

1 D. 7
正视图 1 侧视图 1

6. 某四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则该四棱锥的体 积等于( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2 俯视图

-1-

7.已知双曲线

x2 y2 6 ,则此双曲线的渐近线方程为( ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2 2 a b
B. y ? ? 2 x C. y ? ?



A. y ? ?2 x

2 x 2

D. y ? ? )

1 x 2

8.函数 f ? x ? ? log 2 x ? A. ? 0,1?

1 的零点所在的区间为( x
C. ? 2,3?

B. ?1, 2 ?

D. ? 3, 4 ?

9.程序框图如图所示:

如果上述程序运行的结果 S=1320,那么判断框中应填入( A.K<10? B.K≤10? C.K<9?

) D.K≤11?

10. 已知函数 f ? x ? ? cos x, x ? ? 0, 2? ? 有两个不同的零点 x1 , x2 , 且方程 f ? x ? ? m ? m ? 0? 有 两个不同的实根 x3 , x4 ,若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数 m =( A. 1 2 1 B.- 2 C. 3 2 D.- 3 2 )

?x ? 0 ? 11.在平面区域 ? y ? 0 内随机取一点,则所取的点恰好落在圆 x 2 ? y 2 ? 1内的概率是 ? ?x ? y ? 2
( A. )

? 16 12.若曲线 C 上存在点 M ,使 M 到平面内两点 A ? ?5,0? , B ? 5,0? 距离之差的绝对值为 8,
B. C. D. 则称曲线 C 为“好曲线” .以下曲线不是 “好曲线”的是( .. A. x ? y ? 5 B. x ? y ? 9
2 2

? 2

? 4

? 8

) D. x ? 16 y
2

C.

x2 y 2 ? ?1 25 9

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案填在题后的横线上. ) 13. 如图是甲、乙两名篮球运动员 2013 年赛季每场比赛得分的 甲 茎叶图,则甲、乙两人比赛得分的中位数之和为 14.已知函数 f ( x ) 满足 f ?1? ? 1且 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) ,
-2-

.

7 2 8 6 4 5

1 2 3

乙 2 6 3 1 9 1 2

则 f (1) ? f (2) ? … ? f (10) = 15.圆心在曲线 y ? ?

3 ( x ? 0) 上,且与直线 3x ? 4 y ? 3 ? 0 相切 x
D

N

的面积最小的圆的方程是_ 16.如右图,在直角梯形 ABCD 中,

C M

AB // DC, AD ? AB, AD ? DC ? 2, AB ? 3 , 点 M 是梯形 ABCD 内

A

B

或边界上的一个动点,点 N 是 DC 边的中点,则 AM ? AN 的最大值是________ 三.解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分。解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 在等差数列 ?an ? 中, S n 为其前 n 项和 (n ? N ? ) ,且 a2 ? 3, S4 ? 16 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . a n a n ?1

18、(本小题 12 分) 已知函数 f ? x ? ? (1)求函数 f ? x ? 的周期和最大值;

3 1 sin ?x ? cos ?x , x ? R . 2 2

(2)设函数 f ? x ? 在 x ? ?? 1,1? 的区间上的图像与 x 轴的交点从左到右分别为 M、N ,图像的最 高点为 P ,求 PM 与 PN 的夹角 ? 的余弦值. 19、(本小题 12 分)如图所示,一个直径 AB ? 2 的半圆,过点 A 作这个圆所在平面的垂线,在 垂线上取一点 S ,使 AS ? AB , C 为半圆上的一个动点, M、N 分别在 SB、SC 上,且 AN ? SC,AM ? SB . (1)证明: AN ? BC ; (2)证明: SB ? 面 ANM ; (3)求三棱锥 S ? AMN 体积的最大值.

-3-

20. (本小题满分 12 分) 某区卫生部门成立了调查小组,调查 “常吃零食与患龋齿的关系”,对该区六年级 800 名 学生进行检查,按患龋齿和不患龋齿分类,得汇总数据:不常吃零食且不患龋齿的学生有 60 名,常吃零食但不患龋齿的学生有 100 名,不常吃零食但患龋齿的学生有 140 名. (Ⅰ)完成下列 2 ? 2 列联表,并分析能否在犯错概率不超过 0.001 的前提下,认为该区学生 的常吃零食与患龋齿有关系? 不常吃零食 不患龋齿 患龋齿 总计 (Ⅱ)4 名区卫生部门的工作人员随机分成两组,每组 2 人,一组负责数据收集,另一组负责 数据处理.求工作人员甲分到负责收集数据组,工作人员乙分到负责数据处理组的概率. 附: k 2 ? 常吃零食 总计

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P( K 2 ? k0 )
k0

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆

3 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的长轴长为 4,且点 (1, ) 在椭圆上. 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过椭圆右焦点斜率为 k 的直线 l 交椭圆于 A, B 两点,若 OA ? OB ? 0 ,求直线 l 的方程

??? ? ??? ?

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? 2ax ?

1 ? ? 2 ? a ? ln x ? a ? 0 ? . x

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ? x ? 的极值; (Ⅱ)当 a ? 0 时,讨论 f ? x ? 的单调性; (Ⅲ)若对任意 a ? ? 2,3? , x1, x2 ??1,3? ,恒有 ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立, 求实数 m 的取值范围。

-4-

安溪一中 2015 届高三数学(文)统练答案

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1 C 2 A 3 B 4 D 5 A 6 B 7 C 8 B 9 A 10 D 11 B 12 B

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上) 13. 54
( x ? 2) 2 ? ( y ? 3 2 ) ?9 2

14. 1023

15. 16. 6 三.解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 17. (本题满分 12 分) (Ⅰ)设等差数列的公差是 d ?????1 分

由已知条件得 ?

?a1 ? d ? 3, ?4a1 ? 6d ? 16,

?????2 分

解得 a1 ? 1, d ? 2, ∴ an ? 2n ? 1 .

?????2 分

?????1 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, an ? 2n ? 1 , ∴ bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an an ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

?????3 分

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

1? 1 1 1 1 1 ? 1 1 n (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? ? (1 ? )? ? 2? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? 2 2n ? 1 2n ? 1
?????3 分

18、解:依题意可知 f ? x ? ?

3 1 ?? ? sin ?x ? cos ?x ? sin ? ?x ? ? ……………………..2 分 2 2 6? ?

-5-

(1) T ?

2?

?

? 2 ,故 f ? x ? 的最小正周期为 2 ……………………………………………4 分

令 ?x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

,则 x ? 2k ?

1 , k ? Z …………………………………………5 分 3

1? ? ? f ? x ?max ? f ? 2k ? ? ? 1 ………………………………………………………………6 分 3? ?
(2) 令 ?x ?

?
6

? k? ,则 x ? k ?

1 , k ? Z ………………………………………..…….7 分 6

故在 x ? ?? 1,1? 的区间上的图像与 x 轴的交点从左到右分别 M ? ? , 0? , N? , 0 ? …..8 分

? 1 ? 6

? ?

?5 ?6

? ?

由(1)可知,区间 ?? 1,1? 上最高点为 P? , 1? ………………………………………………...9 分

?1 ? ?3 ?

? 1 ? ?1 ? ? PM ? ? ? , ? 1? , PN ? ? , ? 1? …………………………………………..………10 分 ? 2 ? ?2 ?

故 cos ? ?

PM ? PN PM ? PN

?

?
2

1 ?1 4
2

? 1? ?1? 2 2 ? ? ? ? ?? 1? ? ? ? ? ?? 1? ? 2? ?2?

3 3 ? 4 ? …………...…..12 分 5 5 4

令?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
4

?

?
2

? 2k? ,得 ?

3? ? ? k? ? x ? ? k? , k ? Z 8 8

故 f ? x ? 的单调递增区间为 ??

? ? 3? ? ? k?, ? k? ? , k ? Z ……………………12 分 8 ? 8 ?

-6-

AN ? BC AN ? SC (2) BC ? SC ? C

? ? ? ? ? ? ? ? AN ? 面SCB ? ? ? AN ? SB ? ? BC、SC ? 面SCB ? ? ? SB ? 面SCB ? ?

? ? SB ? AM ? ? ? SB ? 面AMN …………………………..9 分(该步骤方法雷同) AN ? AM ? A ? AN、AM ? 面AMN ? ?
(3) VS ? AMN ?

AN ? SB

1 ? S ?ANM ? SM .由 SA ? AB ? 2 ,得到 AM ? SM ? 2 ,而 AN ? NM , 3

?AMN 为斜边长为 2 的直角三角形,………………………………10 分
面积最大在 AN ? MN ? 1 时取得………………………………………11 分 所以, VS ? AMN ?

1 1 ?1 2 ? …………..12 分 ? S ?AMN ? hSB ? ? ? ? 1 ? 1? ? 2 ? 3 3 ?2 6 ?

20. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意可得列联表:

不常吃零食

常吃零食

总计

不患龋齿

60

100

160

患龋齿

140

500

640

总计

200

600

800

注:列联表正确是 3 分

因为 k ?
2

800(60 ? 500 ? 100? 140) 2 ? 16.667 ? 10.828。注:此步正确 2 分 160? 640? 200? 600

所以能在犯错率不超过 0.001 的前提下,为该区学生常吃零食与患龋齿有关系。注:此结论正

-7-

确1分

(Ⅱ)设其他工作人员为丙和丁,4 人分组的所有情况有:

收集数据:甲乙;甲丙;甲丁;乙丙;乙丁;丙丁;

处理数据:丙丁;乙丁;乙丙;甲丁;甲丙;甲乙

共有 6 种

??1 分

记事件 A:工作人员甲分到负责收集数据组,工作人员乙分到负责数据处理



???1 分

则满足条件的情况有:甲丙收集数据,乙丁处理数据;甲丁收集数据,乙丙处理数据共计 2

种???1 分 所以 P ? A ? ?

2 1 ? 。 6 3

…… 1 分

21. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意 a ? 2 .所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 . 4 b2

又点 (1,

x2 3 ) 在椭圆上,可得 b ? 1 .所求椭圆方程为 ? y 2 ? 1 . ???4 分 4 2

2 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? 4, b ? 1,所以 c ? 3 ,椭圆右焦点为 ( 3,0) .

则直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 3) . 由?

??..1 分

? ? y ? k ( x ? 3), ? ? x ? 4 y ? 4 ? 0,
2 2

可得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8 3k 2 x ?12k 2 ? 4 ? 0 .

???1 分

由于直线 AB 过椭圆右焦点,可知 ? ? 0 .

??..1 分

-8-

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

8 3k 2 12k 2 ? 4 , , x x ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

y1 y2 ? k 2 ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? k 2 [ x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 3] ?

?k 2 .???2 分 1 ? 4k 2

??? ? ??? ? 12k 2 ? 4 ?k 2 11k 2 ? 4 ?( )? 所以 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? . 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
由 OA ? OB ? 0 ,即

??..1 分

??? ? ??? ?

11k 2 ? 4 4 2 11 ? 0 ,可得 k 2 ? , k ? ? . 2 1 ? 4k 11 11
2 11 ( x ? 3) . 11

???.1 分

所以直线 l 的方程为 y ? ?

………1 分

22. (本题满分 14 分)
解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? ?

1 1 2 1-2x ? 2 ln x ? f 、 ( x)= 2 - = 2 ( x ? 0) x x x x

、 由 f ( x )=

1-2x 1 ? 1? ?1 ? ? 0 ,解得 x ? , 可知 f ? x ? 在 ? 0, ? 上是增函数, 在 ? , ?? ? 上是减函数. 2 x 2 ? 2? ?2 ?
的 极 大 值 为



f ? x?

1 f ( ) ? 2 ln 2 ? 2 2









值.

??????4 分

1 1 1 2ax 2 ? (2 ? a) x ? 1 、 (2) f ( x) ? 2ax ? ? (2 ? a) ln x ? f ( x)=2a ? 2 ? (2 ? a) ? ??? x x x x2
???1 分 .① 当 0 ? a ? 2 时 , f ? x ? 在 ? 0, ? 和 ?

? ?

1? 2?

?1 1? ?1 ? , ?? ? 上 是 增 函 数 , 在 ? , ? 上 是 减 函 ?2 a? ?a ?

数;??????1 分





a?2





f ? x?



? 0, ?? ?









数;

??????1 分

-9-

③ 当 a ? 2 时 , f ? x ? 在 ? 0,

? ?

1? ?1 1? ?1 ? ? 和 ? , ?? ? 上 是 增 函 数 , 在 ? , ? 上 是 减 函 a? ?a 2? ?2 ?



??????1 分

(3)当 2 ? a ? 3 时,由(2)可知 f ? x ? 在 ?1,3? 上是增函数, ∴ f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? f ?3? ? f ?1? ? 4a ? ?2 ? a ? ln 3 ? ???2 分 由 (m ? ln3)a ? 2ln3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 对任意的 a ? ?2.3?, x1 , x2 ? ?1,3?恒成立, ∴ (m ? ln3)a ? 2ln3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) max ???2 分 即 ?m ? ln 3?a ? 2 ln 3 ? 4a ? ?2 ? a ? ln 3 ? ???

2 . 3

???

2 对任意 2 ? a ? 3 恒成立, 3




m ? 4?

2 3a





2?a?3





立, 由于当 2 ? a ? 3 时

??????1 分

38 2 13 ? 4? ? , 9 3a 3 m? 13 3
.



………………1 分

- 10 -


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