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2.分类判断


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高考数学母题
[母题]Ⅰ(3-02):分类判断(036)

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分类判断 [母题]Ⅰ(3-02):(2000 年全国高考试题)己知 sinα >sinβ ,那么下列命题成立的是(
(A

)若α 、β 是第一象限角,则 cosα >cosβ (C)若α 、β 是第三象限角,则 cosα >cosβ (B)若α 、β 是第二象限角,则 tanα >tanβ (D)若α 、β 是第四象限角,则 tanα >tanβ
?α >

)

[解析]:对于(A):α 、 β 是第一象限角,因 y=sinx 在(0,π /2)内递增,y=cosx 在(0, π /2)内递减;由 sinα >sinβ

β ? cosα <cosβ ,故(A)错;对于(B):α 、β 是第二象限角,因 y=sinx 在(π /2,π )内递减,y=tanx 在(π /2,π )内递增; 由 sinα >sinβ ? α <β ? tanα <tanβ ,故(B)错;对于(C):α 、 β 是第三象限角,因 y=sinx 在(π ,3π /2)内递减,y=cosx 在(π ,3π /2)内递增;由 sinα >sinβ ? α <β ? cosα <cosβ ,故(C)错;对于(D):α 、β 是第四象限角,因 y=sinx 在(3 π /2,2π )内递增,y=tanx 在(3π /2,2π )内递增;由 sinα >sinβ ? α >β ? tanα >tanβ ,故选(D).

[点评]:对于给定的数学对象设计可能情况下的命题,判断命题的正确性,该类问题是高考的重要题型.解答该类问题的
关键是研究给定数学对象性质,然后分类判断各个命题的正确性.

[子题](1): (2010 年福建高考试题)(理)如图,若Ω 是长方体 ABCD-A1B1C1D1
被平面 EFGH 截去几何体 EFGHB1C1 后得到的几何体,其中 E 为线段 A1B1 上异于 B1 的点,F 为线段 BB1 上异于 B1 的点,且 EH∥A1D1,则下列结论中不正确 的是( ) ... (A)EH∥FG (B)四边形 EFGH 是矩形 (C)是棱柱 (D)是棱台

[解析]:由 EH∥A1D1,A1D1∥B1C1 ? EH∥B1C1 ? EH∥平面 BCC1B1 ? EH∥FG ? (A)(B)(C)正确.故选(D).
注:本题为以立体几何为载体的可能情况下的命题判断型试题,该类问题是高考的热点问题,我们将在以后详细研究.

[子题](2): (2013 年广东高考试题)(文)设 a 是已知的平面向量且 a≠0,关于向量 a 的分解,有如下四个命题:①给定
向量 b,总存在向量 c,使 a=b+c;②给定向量 b 和 c,总存在实数λ 和μ ,使 a=λ b+μ c;③给定单位向量 b 和正数μ ,总存在 单位向量 c 和实数λ ,使 a=λ b+μ c;④给定正数λ 和μ ,总存在单位向量 b 和单位向量 c, 使 a=λ b+μ c.上述命题中的向 量 b,c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是( (A)1 (B)2 ) (D)4 (C)3

[解析]:给定向量 a,b,令 c=a-b,则 a=b+c ? ①正确;同理可得:③正确;由 b 和 c 不共线,由平面向量基本定理知,②正确;
当 a=-(λ b+μ c)时,④错误.故选(C). 注:本题以向量的分解为主体,研究可能情况下的命题,其关键是理解向量分解的含义,掌握平面向量基本定理.

[子题](3): (2010 年福建高考试题)(文)设非空集合 S={x|m≤x≤t}满足:当 x∈S 时,有 x2∈S.给出如下三个命题:
①若 m=1,则 S={1};②若 m=(A)0
2

1 1 1 2 ,则 ≤t≤1;③若 t= ,则≤m≤0.其中正确命题的个数是( 2 4 2 2

) (D)3

(B)1
2

(C)2
2 2 2 2

[解析]:因当 x∈S 时,有 x ∈S,即由 m≤x≤t ? m≤x ≤t;因由 m≤x≤t ? x ≤min{m ,t };所以 m≤x ≤t ? t2≤t,且 m≤
m ≤t ? t≤1,-1≤m≤0;①若 m=1,则 1≤t ? t=1 ? S={1}:②若 m=1 2 (m≤0) ? ≤m≤0.综上,①②③均正确.故选(D). 2 2
2

1 1 2 1 1 2 ,则(- ) ≤t≤1 ? ≤t≤1;③若 t= ,则 m ≤ 2 2 4 2

注:给定一个新的数学对象,以此为主体,研究可能情况下的命题是高考创新的一个重要途径,其关键是研究新的数学 对象所具有的性质.

[子题系列]:

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1.(2010 年北京高考试题)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2, 动点 E、F 在棱 A1B1 上,动点 P,Q 分别在棱 AD,CD 上,若 EF=1,A1E =x,DQ=y,DP=z(x,y,z 大于零),则四面体 PEFQ 的体积( (A)与 x,y,z 都有关 (C)与 y 有关,与 x,z 无关 ) (B)与 x 有关,与 y,z 无关 (D)与 z 有关,与 x,y 无关

[母题]Ⅰ(3-02):分类判断(036)

2.(2001 年上海春招试题)关于 x 的函数 f(x)=sin(x+φ )有以下命题:①对意的φ ,f(x)都是非奇非偶函数;②不存在φ , 使 f(x)既是奇函数,又是偶函数;③存在φ ,使 f(x)是奇函数;④对任意的φ ,f(x)都不是偶函数.其中一个假命题的序号 是 .因为当φ = 时,该命题的结论不成立. 3.(2005 年上海春招试题)设函数 f(x)的定义域为 R,有下列三个命题:①若存在常数 M,使得对任意 x∈R,有 f(x)≤M,则 M 是函数 f(x)的最大值;②若存在 x0∈R,使得对任意 x∈R,且 x≠x0,有 f(x)≤f(x0),则 f(x0)是函数 f(x)的最大值;③若存 在 x0∈R,使得对任意 x∈R,有 f(x)≤f(x0),则 f(x0)是函数 f(x)的最大值.这些命题中,真命题的个数是( (A)0 个 (B)1 个
2 2 2

)

(C)2 个

(D)3 个

4.(2006 年湖北高考试题)关于 x 的方程(x -1) -|x -1|+k=0,给出下列四个命题:①存在实数 k,使得方程恰有 2 个不同的 实数根;②存在实数 k,使得方程恰有 4 个不同的实数根;③存在实数 k,使得方程恰有 5 个不同的实数根;④存在实数 k,使 得方程恰有 8 个不同的实数根.其中假命题的个数是( (A)0 (B)1 ) (C)2 (D)3

5.(2004 年北京高考试题)函数 f(x)= ?

? x, x ? P ,其中 P,M 为实数集 R 的两个非空子集,又规定 f(P)={y|y=f(x),x∈P}, ?? x, x ? M

f(M)={y|y=f(x),x∈M}.给出下列四个判断:①若 P∩M= ? ,则 f(P)∩f(M)= ? ;②若 P∩M≠ ? ,则 f(P)∩f(M)≠ ? ;③若 P ∪M=R,则 f(P)∪f(M)=R;④若 P∪M≠R,则 f(P)∪f(M)≠R.其中正确判断有( (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 ) (D)4 个
a (除数 b≠0), b

6.(2008 年福建高考试题)设 P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意 a、b∈P,都有 a+b、a-b、ab、

则称 P 是一个数域.例如有理数集 Q 是数域;数集 F={a+b 2 |a,b∈Q}也是数域,有下列命题:①整数集是数域;②若有理数 集 Q ? M,则数集 M 必为数域;③数域必为无限集;④存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号是 的命题的序号都填上). 7.(2011 年广东高考试题)设 S 是整数集 Z 的非空子集,如果 ? a,b∈S,有 ab∈S,则称 S 关于数的乘法是封闭的.若 T,V 是 Z 的两个不相交的非空子集,T∪V=Z,且 ? a,b,c∈T,有 abc∈T; ? x,y,z∈V,有 xyz∈V,则下列结论恒成立的是( (A)T,V 中至少有一个关于乘法是封闭的 (C)T,V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 (B)T,V 中至多有一个关于乘法是封闭的 (D)T,V 中每一个关于乘法都是封闭的 ) (D)(y,z,w) ? S,(x,y,w) ? S ) (把你认为正确

8.(2013 年广东高考试题)(理)设整数 n≥4,集合 X={1,2,3,…,n}.令集合 S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且三条件 x<y<z,y<z<x, z<x<y 恰有一个成立},若(x,y,z)和(z,w,x)都在 S 中,则下列选项正确的是( (A)(y,z,w)∈S,(x,y,w) ? S (B)(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S (C)(y,z,w) ? S,(x,y,w)∈S

[子题详解]:
1.解:三棱锥 P-EFQ 的体积与点 P 到面 EFQ 的距离和△EFQ 的面积有关 ? 三棱锥的体积只与 x 有关,与 x,y 无关.故选(D). 2.解:其中一个假命题的序号是①,因为当φ =0 时,f(x)是奇函数,该命题的结论不成立. 3.解:由最大值的意义知,①错误,②③正确.故选(C). 4.解:作 y=|x -1|的图像,并设方程两根为 y1,y2,则 y1+y2=1,k=y1y2,由此知①②③④均正确.故选(A). 5.解:由②④正确.故选(B). 6.解:其中正确的命题的序号是③④. 7.解:由 1∈Z=T∪V ? 1∈T∪V;若 1∈T,由 ? a,b,c=1∈T,有 abc∈T ? ab∈T ? T 关于数的乘法是封闭的;取 T={x|x 是奇 数},V={x|x 是偶数},则 T,V 中每一个关于乘法都是封闭的;又取 V={x|x<0,x∈Z},则 V 不是封闭的.故选(A). 8.解:令 x=2,y=3,z=4,w=1,则(y,z,w)=(3,4,1)∈S,(x,y,w)=(2,3,1)∈S ? (A)(C)(D)错误.故选(B).
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