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一元一次不等式组及应用


第 11 讲

一元一次不等式组及应用

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考 点 知 识 精 讲 中 考 典 例 精 析

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考 点 知 识 精 讲 中 考点一 一元一次不等式组的有关概念 考 1.定义:类似于方程组,把几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来,就组成了一 典 个一元一次不等式组. 例 2.解集:几个不等式的解集的公共部分叫做由它们所组成的不等式组的解集. 精 析

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考点二 一元一次不等式组的解法 1. 解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集, 再求出它们的公共部分(一 般方法是在数轴上把每个不等式的解集表示出来,由图形得出公共部分),就得到不等式组的 解集. 2.两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集一般情况可见下表(其中 a<b):

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考点三 一元一次不等式组的特殊解 一元一次不等式组的特殊解主要是指整数解、非负整数解、负整数解等. 不等式组的特殊解,包含在它的解集中.因此,解决此类问题的关键是先求出不等式组 的解集,然后求其特殊解.

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考点四 一元一次不等式组的应用 利用列不等式组解决问题的方法步骤与列一元一次方程组解应用题的步骤类似,不同的 是后者寻求的是等量关系,列出的是等式,前者寻求的是不等量关系,列方的是不等式,解 不等式组所得的结果通常为解集,根据题意需从解集中找出符合条件的答案. 在列不等式时, “不超过”“不多于”等用“≤”连接, “至少”“不少于”等用“≥” 连接.

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?2x+ 1≤3 (1)(2010· 东阳 )不等式组? 的解集在数轴上表示正确的是( ?x>-3

)

?x+a≥0 (2)(2009· 荆门)若不等式组? 有解,则 a 的取值范围是( ?1-2x>x-2
A.a>-1 B.a≥-1 C.a≤1 D.a<1

)

举 一 反 三

【点拨】不等式组的每个不等式解集的公共部分即为不等式组的解集,在数轴上表示解 集时,注意“●”表示包括这个点,“ ○”表示不包括这个点.(1)依据口诀“大小小大中间 ? ?x≥- a 找”得解集为- 3<x≤1;(2)解不等式组得 ? ,因为“大小小大中间找”,满足有解的 ? ?x<1 考 条件,所以- a<1,解得 a>- 1.
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【解答】(1)A (2)A

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1-2? x-1?≤ 5 ? ? (1)(2010· 毕节 )解不等式组?3x- 2 ,并把解集在数轴上表示出来. 1 <x+ ? 2 ? 2

?2x+5>1 ① (2)(2010· 芜湖 )求满足不等式组? 的整数解. ?3x-8≤10 ②
【点拨】求不等式组的特殊解时,首先应先求出每个不等式的解集,再确定出不等式组 的解集,然后再寻找出符合条件的特殊解.

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1-2? x-1?≤ 5 ① ? ? 【解答】(1) ?3x- 2 1 <x + ② ? 2 ? 2 解不等式①,得 x≥- 1.解不等式②,得 x<3. 在同一数轴上表示不等式①②的解集如下:

∴原不等式组的解集为-1≤x<3. (2)解不等式①,得 x>-2.解不等式②,得 x≤6. 在同一数轴上表示不等式①②的解集如下:

举 一 反 三

∴原不等式组的解集为-2<x≤6. ∴原不等式组的整数解为 x=- 1,0,1,2,3,4,5,6.

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(2010· 莱芜)为打造“书香校园”,某学校计划用不超过 1 900 本科技类书籍和 1 620 本人文类书籍,组建中、小型两类图书角共 30 个.已知组建一个中型图书角需科技类书 籍 80 本,人文类书籍 50 本;组建一个小型图书角需科技类书籍 30 本,人文类书籍 60 本. (1)问符合题意的组建方案有几种?请你帮学校设计出来; (2)若组建一个中型图书角的费用是 860 元,组建一个小型图书角的费用是 570 元,试说 明在(1)中哪种方案费用最低?最低费用是多少元?

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【点拨】本题考查一元一次不等式组的应用. 【解答】(1)设组建中型图书角 x 个,则组建小型图书角为(30- x)个. ?80x+30?30-x?≤1 900. 由题意,得 ? ?50x+60?30-x?≤1 620. 解这个不等式组得 18≤x≤20. 由于 x 只能取整数,∴x 的取值是 18,19,20. 当 x= 18 时, 30- x= 12;当 x=19 时, 30-x= 11;当 x=20 时,30- x=10. 故有三种组建方案:方案一,组建中型图书角 18 个,小型图书角 12 个;方案二,组建 中型图书角 19 个,小型图书角 11 个;方案三,组建中型图书角 20 个,小型图书角 10 个. (2)方法一:由于组建一个中型图书角的费用大于组建一个小型图书角的费用,因此组建 中型图书角的数量越少,费用就越低,故方案一费用最低.最低费用是 860× 18+570× 12= 22 320(元). 方法二:①方案一的费用是: 860× 18+ 570× 12=22 320(元); ②方案二的费用是: 860× 19+570×11=22 610(元); ③方案三的费用是: 860× 20+570×10=22 900(元); 故方案一费用最低,最低费用是 22 320 元.
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?2x-1<3 1.不等式组 ? 的解集是( C ) x ≥- 1 ? A.x<2 B.x≥-1 C.- 1≤x<2

D.无解

?5-3x≥0 2.若不等式组 ? 有实数解,则实数 m 的取值范围是( A ) ?x-m≥0
A.m≤ 5 3 B. m< 5 3 C.m> 5 3 D.m≥ 5 3

3.一个一元一次不等式组的解集在数轴上表示如下图,则该不等式组的解集是(

A )

举 一 反 三

A.- 1≤x<3 C.x≥-1

B.- 1<x≤ 3 D.x<3

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x-3? x-2?≤ 4 ? ? 4.解不等式组 ?1+2x ,并把解集在数轴上表示出来. >x - 1 ? ? 3 1≤x<4

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2x-1>1 ? ? 5.解不等式组 ? x-1 ,并求出不等式组的整数解. x - 2 ≤ ? 2 ? 原不等式组的解集为 1<x≤3 ∴整数解为 x=2,3.

6.某校初三年级春游,现有 36 座和 42 座两种客车供选择租用,若只租用 36 座客车若 中 考 干辆,则正好坐满;若只租用 42 座客车,则能少租一辆,且有一辆车没有坐满,但超过 30 典 人;已知 36 座客车每辆租金 400 元, 42 座客车每辆租金 440 元. 例 (1)该校初三年级共有多少人参加春游? 精 (2)请你帮该校设计一种最省钱 的租车方案. 析 ...
答案:(1)共有 288 人参加春游 (2) 租 42 座车 6 辆和 36 座车 1 辆最省钱
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考点训练 11

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一元一次不等式组及应用 一元一次不等式组及应用 ?训练时间:60分钟 分值:100分 ?训练时间:60分钟 分值:100分?

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一、选择题(每小题 4 分,共 32 分)
1 ? ?3x+1>0 1.(2010· 广州 )不等式组? 的解集是( ? ?2-x≥0 1 A.- <x≤2 3 C.x≥2 B.-3<x≤2 D.x<-3

)

举 一 反 三 3<x≤2.

1 ? ?3x+1>0 ?x>-3 【解析】 ? ,解不等式组得 ? 根据 “ 大小小大中间找 ” 得解集为- x ≤ 2 , ? ? ?2-x≥0

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【答案】B

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2.(2010· 济南 )解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是(

)

?x>-3 A.? ?x≥2 ?x<-3 C.? ?x≥2

?x>-3 B.? ?x≤2 ?x<-3 D.? ?x≤2

【解析】数轴上表示的解集为-3<x≤2. 【答案】B

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1 ? ?1- 2x≥0 3.(2010· 陕西 )不等式组? 的解集是( ? ?3x+2>-1 A.- 1<x≤ 2 C.x<-1 或 x≥2 B.-2≤x<1 D.2≤x<-1

)

1 ? ?1- 2x≥0 ① 【解析】? 解不等式 ①得 x≤2,解不等式 ②得 x>-1,∴解集为- ? ②, ?3x+2>-1 1<x≤2.

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【答案】A

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x-4≤ 8-2x ? ? 4.(2009 中考变式题)不等式组 ? 的最小整数解为( 2 x>- ? 3 ? A.- 1 B.0 C.1 D. 4

)

x-4≤8- 2x① ? ? 2 2 【解析】 由 ①得 x≤4, 由 ②得 x>- , 所以不等式组的解集是- <x≤ 4, ? 2 3 3 x>- ②, ? 3 ? ∴最小整数解为 x= 0.

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【答案】B

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?x+2y=4m 5.(2011 中考预测题 )已知? ,且- 1<x- y<0,则 m 的取值范围是( 2x + y = 2m + 1 ? 1 1 A.- 1<m<- B.0<m< 2 2 1 C.0<m<1 D. <m<1 2

)

① ?x+2y=4m 【解析】 ? ②- ①得, x- y= 1- 2m,由- 1<x- y<0 得- 1<1 2x + y = 2m + 1 ② , ? 1 -2m<0,解得 <m<1. 2

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【答案】D

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考 6.(2009 中考变式题 )已知三角形的两边长分别为 3 cm 和 8 cm,则此三角形的第三边的 点 ) 知 长可能是( 识 A.4 cm B.5 cm C.6 cm D .13 cm 精 讲

【解析】设第三边长度为 a cm,则 8-3<a<8+3,即 5<a<11,故选 C. 【答案】C

中 考 典 例 精 析

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7.(2009 中考变式题 )如果点 P(m,1-2m)在第四象限,那么 m 的取值范围是( 1 1 A.0<m< B.- <m<0 2 2 1 C.m<0 D.m> 2 ?m>0 ? 1 【解析】? ,解得 m> . 2 ? ?1-2m<0

)

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【答案】D

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考 8.(2009 中考变式题 )2008 年奥运会期间重庆球迷一行 56 人从旅馆乘出租车到球场为中 点 国队加油,现有 A、B 两个出租车队,A 队比 B 队少 3 辆车,若全部安排乘 A 队的车,每辆 知 识 坐 5 人,车不够,每辆坐 6 人,有的车未坐满;若全部安排 B 队的车,每辆坐 4 人,车不够, ) 精 每辆坐 5 人,有的车未坐满,则 A 队有出租车( 讲 A.11 辆 B. 10 辆 C. 9 辆 D. 8 辆 中 考 ?5x<56 ? ?4?x+3?<56 典 ? 【解析】 设 A 队有车 x 辆, 则 B 队有车(x+3)辆, 由题意得, , 且? , ? 例 ?6x>56 ?5?x+3?>56 精 析 解不等式组取正整数得 x= 10.

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【答案】B

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二、填空题(每小题 4 分,共 24 分)

?x+1>0 9.(2010· 德州 )不等式组? 的解集为________. ?x+2>4x-1
① ②, 解不等式①得 x>-1,解不等式 ②得 x≤1,∴原不等

中 ?x+1>0 考 【解析】? ?x+2≥4x-1 典 例 式组的解集为- 1<x≤1. 精 析

【答案】-1<x≤1
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?x>2 ? 10. (2010· 宁夏)若关于 x 的不等式组? 的解集是 x>2, 则 m 的取值范围是________. ?x>m ?

【解析】根据大大取大,得 m≤2. 【答案】m≤2
11.(2010· 温州)某班级从文化用品市场购买了签字笔和圆珠笔共 15 支,所付金额大于 26 元, 但小于 27 元. 已知签字笔每支 2 元, 圆珠笔每支 1.5 元, 则其中签字笔购买了________ 支.

举 【解析】设签字笔购买了 x 支,则圆珠笔购买了(15-x)支,由题意得 26<2x+1.5(15- 一 反 x)<27,解得 7<x<9,∵x 取正整数,∴x=8. 三

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【答案】8

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?x-a>0 考 12 . (2011 中考预测题 ) 已知不等式组 ? 的解集是- 1<x<1 ,则 (a + b)2 点 ?b-2x>0 知 识 ________. 精 x>a a=- 1 ? ? x - a>0 ? ? ? ?a=-1 讲 2 011
中 考 + 2)2 011= 1. 典 例 精 【答案】1 析

011



【解析】解 ? 得? b 由题意得?b x< . =1 ?b-2x>0, ? ? ? 2 ?2

即? ?b=2

,∴(a+ b)

= (- 1

举 一 ________. 反 三

? ?x+8<4x-1 13.(2009 中考变式题 ) 若不等式组? 的解集为 x>3,则 m 的取值范围是 ?x>m ?

考 点 训 练

?x>3 ? ?x+8<4x-1 【解析】解? 得? 根据“大大取大 ”得 m≤3. ? x>m. x>m , ? ?

【答案】m≤3

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考 14.(2011 中考预测题)已知一个等腰三角形的底边长为 5,这个等腰三角形的腰长为 a, 点 知 则 a 的取值范围是________. 识 精 ? 讲 ?a>0 5 【解析】由题意得? ,解得 a> . 2 ?a+a>5 ? 中 考 典 例 5 【答案】 a> 精 2 析

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考 点 知 识 精 讲 中 考 典 例 精 析

三、解答题(共 44 分)
15.(15 分 )解不等式组: x-3≤ 0 ? ? (1)(2010· 昆明 )解不等式组?x-1 2x- 1 ; - >1 ? 3 ? 2 x+1 ? ?1- ≥0 3 (2)(2010· 黄冈 )求不等式组? 的整数解; ? ?3-4? x-1? <1 x-1>2 ? ? (3)(2011 中考预测题 )解不等式组? ,并把解集在数轴上表示出来. 1 x-3≤ 2+ x ? 2 ?

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考 x-3≤0 点 ? ? 知 解:(1)?x-1 2x-1 识 - >1 ? 2 3 ? 精 讲 式组的解集为 x<-7.

① ② ,解不等式①得 x≤3,解不等式②得 x<-7,∴原不等

?1- ≥0 ① 中 3 (2) ? 考 ? 典 ②, ?3-4?x-1?<1 例 3 精 集为 <x≤2.∴整数解为 x=2. 2 析
举 一 反 集为 3<x≤10. 三

?

x+1

3 解不等式①得 x≤2,解不等式②得 x> ,原不等式组的解 2

x-1>2 ? ? (3)? 1 x - 3 ≤ 2 + x ? 2 ?





,解不等式①得 x>3,解不等式②得 x≤10.∴原不等式组的解

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考 点 知 识 精 讲

x x+1 ? ?2+ 3 >0 16. (7 分)(2010· 荆门)试确定实数 a 的取值范围, 使不等式组 ? 5a+4 4 x + ? ? 3 >3?x+1?+a



中 考 有两个整数解. 典 例 5a+4 4 x x+1 2 精 解:由 + >0 两边同乘以 6 得 3x+2(x+ 1)>0,解得 x>- ,由 x+ > (x+1)+ 2 3 5 3 3 析

a 两边同乘以 3 得 3x+5a+4>4(x+1)+3a,解得 x<2a.又∵原不等式恰有 2 个整数解,∴原 2 1 不等式组的解为- <x<2a ,∴ x = 0 、 1. ∴ 1<2a ≤ 2 ,∴ <a≤1. 举 5 2
一 反 三

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考 点 知 识 精 讲

17.(10 分 )(2010· 山西 )某服装店欲购甲、乙两种新款运动服,甲款每套进价 350 元,乙 款每套进价 200 元,该店计划用不低于 7 600 元且不高于 8 000 元的资金订购 30 套甲、乙两 款运动服. (1)该店订购这两款运动服,共有哪几种方案? (2)若该店以甲款每套 400 元,乙款每套 300 元的价格全部出售,哪种方案获利最大?

解 : (1) 设 该 店 订 购 甲 款 运 动 服 x 套 , 则 订 购 乙 款 运 动 服 (30 - x) 套 , 由 题 意 得 中 350x+ 200? 30- x?≤8 000 ? 32 40 考 ? 解不等式组,得 ≤x≤ ,∵x 为整数,∴x=11 或 12 或 13, 3 3 典 ?350x+ 200? 30- x?≥7 600
例 ∴30-x=19 或 18 或 17. 精 析 答:该店订购这两款运动服,共有 3 种方案: 举 一 反 三

方案一:甲款 11 套,乙款 19 套; 方案二:甲款 12 套,乙款 18 套; 方案三:甲款 13 套,乙款 17 套.
(2)三种方案分别获利为: 方案一:(400- 350)×11+(300-200)× 19=2 450(元) 方案二:(400- 350)×12+(300-200)×18=2 400(元) 方案三:(400- 350)×13+(300-200)×17=2 350(元) ∵2 450>2 400>2 350 ∴方案一即甲款 11 套,乙款 19 套,获利最大.
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考 18.(12 分 )(2010· 哈尔滨)君实机械厂为青扬公司生产 A、B 两种产品,该机械厂由甲车 点 间生产 A 种产品,乙车间生产 B 种产品,两车间同时生产.甲车间每天生产的 A 种产品比 知 识 乙车间每天生产的 B 种产品多 2 件,甲车间 3 天生产的 A 种产品与乙车间 4 天生产的 B 种 精 产品数量相同. 讲 (1)求甲车间每天生产多少件 A 种产品?乙车间每天生产多少件 B 种产品? 中 考 元.现青扬公司需一次性购买 A、B 两种产品共 80 件,君实机械厂甲、乙两车间在没有库存 典 的情况下只生产 8 天,若青扬公司按出厂价购买 A、B 两种产品的费用超过 15 000 元而不超 例 过 15 080 元,请你通过计算为青扬公司设计购买方案. 精 析

(2)君实机械厂生产的 A 种产品的出厂价为每件 200 元,B 种产品的出厂价为每件 180

举 一 反 三

解:(1)设乙车间每天生产 x 件 B 种产品,则甲车间每天生产(x+2)件 A 种产品,根据题 意 3(x+2)=4x,解得 x=6,∴x+2= 8. 答:甲车间每天生产 8 件 A 种产品,乙车间每天生产 6 件 B 种产品. (2)设青扬公司购买 B 种产品 m 件,则购买 A 种产品(80-m)件,15 000<200(80-m)+ 180m≤15 080,46≤m<50,∵m 为整数,∴ m 为 46 或 47 或 48 或 49,又∵乙车间 8 天生产 48 件,∴m 为 46 或 47 或 48,∴有三种购买方案:购买 A 种产品 32 件,B 种产品 48 件; 购买 A 种产品 33 件,B 种产品 47 件;购买 A 种产品 34 件, B 种产品 46 件.

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安顺)不等式组 A. B. 的解集在数轴上表示为( C. D. ) 考点: 分析: 解答: 解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集. 本题应该先对不等式组进行...
一元一次不等式组及应用
有解,则 a 取值范围是( ?1-2x>x-2 ? ) A.a>-1 B.a≥-1 C.a≤1 D.a<1 1-2?x-1?≤5 ? ? 解不等式组?3x-2 ,并把解集在数轴上表示...
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