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甘肃省河西五市2015年高三5月第二次联考数学理试卷


2015 年甘肃省河西五市部分普通高中高三第二次联合考试

理科数学
命题学校:金川公司第一高级中学
注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的 姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框 涂黑。如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号框。写在本试卷上无效。 3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

命题教师:郭连鹏

金玉银 程媛媛

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。
(1)设集合 A ?

?x y ? lg(3 ? 2x)?,集合 B ? ?y y ?
B. (﹣∞,1] C.

1 ? x ,则 A ? B ? (
D. )

?



A. [ 0, )

3 2

(2) 若命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则以下为真命题的是(

A. p ? q

B. p ? (?q)

C. (?p) ? q

D. ( ? p ) ? ( ? q )

(3) 已知向量 e1 , e2 是两个不共线的向量,若 a ? 2e1

? e2 与 b ? e1 ? ? e2 共线,则 λ 的
1 2

值(

) B. ?
1 x

A. ?1 (4)二项式 (2 x ?

1 2

C. 1 )

D.

) 6 的展开式中常数项为(

A.160

B. ?160

C.60

D. ? 60

?x ? y ? 1 y ? (5)设 x, y 满足约束条件 ? x ? 1 ? 0 ,则目标函数 z ? 的取值范围为 ( x?2 ?x ? y ? 1 ?



理科数学答案

A. ?? 3,3?

B. ?? 2,2?

C. ?? 1,1?

D. ??

? 2 2? , ? 3 3? ?
a 2 ? a3 等 a1

(6) 已知 S n 是公差不为 0 的等差数列 ?an ? 的前 n 项和, 且 S1 , S 2 , S 4 成等比数列, 则 于( ) A.10 B.8 C.6 D. 4

(7)定义:在数列 ?a n ?中,若满足

a n ? 2 a n ?1 ? ? d ( n ? N ? ,d 为常数),称 ?a n ?为“等 a n ?1 an
a2015 ?( a2013
D. 4 ? 20132 )

差比数列”。已知在“等差比数列” ?a n ?中, a1 ? a2 ? 1, a3 ? 3, 则 A. 4 ? 20152 ? 1 B. 4 ? 20142 ? 1 C. 4 ? 20132 ? 1

(8)设随机变量 ? 服从正态分布 N(0,1) , 若 P(? ? 2) ? p, 则P(?2 ? ? ? 0) ? ( A. )

1 ?p 2

B. 1 ? p

C.

1 ?p 2

D. 1 ? 2 p

(9)在 ?ABC 中, A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 b cos C ? 3a cos B ? c cos B ,

??? ? ??? ? BA ? BC ? 2 ,则 ?ABC 的面积为 (
A. 2
2

) C. 2 2 D. 4 2

B.

3 2

(10)已知抛物线 y =2px(p>0)与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)有相同的焦点 F,点 A 是两曲线的一个交点,且 AF⊥x 轴,则双曲线的离心率为( ( ) A. 2+2 B. 5+1 C. 3+1
4

x2 y 2 a b



D. 2+1
3

(11)若某几何体的三视图(单位: cm )如图所示, 则该几何体的体积等于( A. 10cm
3 3

)
正视图

5 侧视图 3 俯视图

B. 20cm C. 30cm

3 3

D. 40cm

(11 题图)

理科数学答案

(12) 已知函数 f ( x ) ? ?

? x ? 1, ? log 2 x ,

x?0 , 若方程 f ( x ) ? a 有四个不同的解 x 1 ,x 2 ,x 3 , x?0

x 4 ,且 x 1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ,则 x 3 ( x 1 ? x 2 ) ?
A. (?1,??) B. ?? 1 ,1?

1 的取值范围是( x x4
2 3



C. (??,1)

D. ?? 1,1?

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做 答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。
(13)若复数 z

? (a 2 ? 4) ? (a ? 2)i 为纯虚数,则
1

a ? i 2015 的值为 1 ? 2i


(14)设 ? ?

?

0

1 ? x 2 dx , tan ? ? 3 ,则 tan ?? ? ? ? ?

(15)当输入的实数 x ? ? 2,30? 时,执行如图所示的程序框图,则输出的 x 不小于 103 的概率是 。

(16)设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线

y=kx(k>0)与 AB 相交于点 D,与椭圆相交于 E、F 两点,若 ED =6 DF ,则 k 的值为_______
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 12 分) 如图,以 Ox 为始边作角 ? 与 ? (0< ? < ? < ? ),它们的终边分别与单位 圆相交于点 P?Q,已知点 P 的坐标为( ? (Ⅰ)求

??

??

sin 2? ? cos 2? ? 1 的值; 1 ? tan ? ??? ? ???? (Ⅱ)若 OP ? OQ ? 0 ,求 sin( ? + ? )的值
(18)(本小题满分 12 分)

3 4 , ). 5 5

第 17 题

理科数学答案

在一个盒子中,放有大小相同的红、白、黄三个小球,现从中任意摸出一球,若是红球记 1 分,白球记 2 分,黄球记 3 分.现从这个盒子中,有放回地先后摸出两球,所得分数分别记 为 x 、 y ,设 O 为坐标原点,点 P 的坐标为 ( x ? 2, x ? y ) ,记 ? ? OP . (Ⅰ)求随机变量 ? 的最大值,并求事件“ ? 取得最大值”的概率; (Ⅱ)求随机变量 ? 的分布列和数学期望. (19)(本小题满分 12 分) 如图,点 C 是以 AB 为直径的圆 O 上不与 A、B 重合的一个动点, S

??? ?2

S 是圆 O 所在平面外一点,且总有 SC⊥平面 ABC,M 是 SB 的中点,AB = SC = 2.
(Ⅰ)求证:OM⊥BC; (Ⅱ)当四面体 S-ABC 的体积最大时,设直线 AM 与平面 ABC 所成的角为 ? ,
tan ? 的值. 二面角 B-SA-C 的大小为 ? ,分别求 tan ? ,

M C O B

A

(20) (本小题满分 12 分) 已知 A, B 是抛物线 W : y ? x2 上的两个点,点 A 的坐标为 (1,1) ,直线 AB 的斜率为

k (k ? 0) .设抛物线 W 的焦点在直线 AB 的下方.
(Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)设 C 为 W 上的一点,且 AB ? AC ,过 B, C 两点分别作 W 的切线,记两切线的 交点为 D .判断四边形 ABDC 是否为梯形,并说明理由. (21)(本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x ) ? x ? a ln x 在 x ? 1 处 的 切 线 l 与 直 线 x ? 2 y ? 0 垂 直 , 函 数

g ( x) ? f ( x) ?

1 2 x ? bx . 2

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x) 存在单调递减区间,求实数 b 的取值范围; (3)设 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 g ( x) 的两个极值点,若 b ?

7 ,求 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 的最小值. 2

请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题 目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多图均按所答第一题评分;多答按

理科数学答案

所答第一题评分。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,在正△ABC 中,点 D,E 分别在边 AC, AB 上,且 AD= 于点 F. (Ⅰ)求证:A,E,F,D 四点共圆;
(Ⅱ)若正△ABC 的边长为 2,求,A,E,F,D 所在圆的半径.

1 2 AC,AE= AB,BD,CE 相交 3 3

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? ? x ? 2cos ? ( ? 为参数), ? ? y ? 3 sin ?

以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为

? =2.
(Ⅰ)分别写出 C1 的普通方程, C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)已知 M ,N 分别为曲线 C1 的上、下顶点,点 P 为曲线 C2 上任意一点,求

PM ? PN 的最大值.
(24)(本小题满分 10 分)选修 4—5: 不等式选讲. (Ⅰ)设函数 f ( x)=| x ?

1 | ? | x ? a | (a ? 0) .证明: f ( x) ? 2 ; a

2 2 2 (Ⅱ)若实数 x, y, z 满足 x ? 4 y ? z ? 3 ,求证: x ? 2 y ? z ? 3 .

理科数学答案

2015 年甘肃省河西五市部分普通高中高三第二次联合考试

理科数学(答案)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,
(1)A (7)C (2)B (8)C (3)B (4)C (5)D (11)B (6)B (12)B

(9)C (10)D

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。
(13)

?i

(14) -2

(15)

9 14

2 ?3? (16) k= 或 k= 3 8

三、解答题:
17 解:(1)由三角函数的定义得 cos? =-

3 4 , sin ? = , 5 5 2 2 sin ? cos? ? 2 cos ? 2 cos? (sin ? ? cos? ) ? 则原式= sin ? sin ? ? cos? 1? cos? cos? 3 18 2 2 =2 cos ? ? 2×(- ) = 5 25
(2)∵ OP ? OQ =0,∴OP⊥OQ ∴ ? ? ? ? ∴ sin ? ? sin(? ?

?

?
2

) ? ? cos ? ?

3 ? 4 , cos ? ? cos( ? ? ) ? sin ? ? . 5 2 5

2

,∴? ?? ?

?
2



∴ sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? = 18 解

4 4 3 3 7 × +(- )× = 5 5 25 5 5

因此,随机变量 ? 的最大值为 5 ?????????3 分
?

有放回摸两球的所有情况有 3 ? 3 ? 9 种? P (? ? 5) ?

2 ???6 分 9

理科数学答案

则随机变量 ? 的分布列为:

?

0
1 9

1
4 9

2
2 9

5
2 9
?????10 分

P

因此,数学期望 E? ? 0 ?

1 4 2 2 ? 1? ? 2 ? ? 5 ? ? 2 ???????12 分 9 9 9 9

19.解(Ⅰ)证:由于 C 是以 AB 为直径的圆上一点,故 AC⊥BC 又 SC⊥平面 ABC,∴SC⊥BC ∵ SC ? AC ? C ,∴BC⊥平面 SAC,BC⊥SA 2分 4分

O、M 分别为 AB、SB 的中点,故 OM 平行于 SA ∴OM⊥BC
1 1 1 2 SC ? S?ABC ? AC ? BC ≤ ( AC 2 ? BC 2 ) ? 3 3 6 3 当且仅当 AC ? BC ? 2 时取得最大值 方法一 取 BC 的中点 N,连接 MN、AN,则 MN 与 SC 平行,MN⊥平面 ABC MN 1 10 ∴ ? ? ?MAN , tan ? ? ? ? AN 5 1 2? 2 作 CH⊥SA 垂足为 H,连接 BH,由(Ⅰ)知 BC⊥SA,∴SA⊥平面 BCH,BH⊥SA AC ? SC 2 BC 6 ? ? 故 ? ? ?BHC ,在 Rt ?SAC 中, CH ? , tan ? ? SA CH 2 3
(Ⅱ)解:四面体 S-ABC 的体积 V ? 分 方法二 ??? ? ??? ? ??? ? 以 CA 、 CB , CS 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系,则

6分

9分

12

C(0,0,0),A( 2 ,0,0),B(0, 2 ,0),S(0,0,2)
???? ? 2 2 1) 进而 M(0, ,1), AM ? (? 2 , , 2 2 ??? ? CS ? (0, 0, 2) 是平面 ABC 的一个法向量, ???? ? ??? ? 14 35 10 CS ?|? ,tan ? ? 故 sin ? ?| cos ? AM , , cos ? ? 7 7 5

9分

理科数学答案

??? ? ?? 2 x ? 2 y ? 0 ?v ? AB ? 0 ? ? ??? ? 设 v = (x,y,z)是平面 SAB 的一个法向量,则 ? ,即 ? ? ? ?v ? AS ? 0 ?? 2 x ? 2 z ? 0 ??? ? 故可取 v ? ( 2, 2,1) ,由(1)知, CB ? (0, 2 ,0) 是平面 SAC 的一个法向量 ? ??? ? 10 15 6 ,sin ? ? , tan ? ? 故 cos ? ?| cos ? v, CB ?|? 5 5 2

12 分

20.解:(1)抛物线 y ? x2 的焦点为 (0, ) .由题意,得直线 AB 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) , 令 x ? 0 ,得 y ? 1 ? k ,即直线 AB 与 y 轴相交于点 (0,1 ? k ) .因为抛物线 W 的焦点在直线

1 4

AB 的下方,所以 1 ? k ?

1 3 3 ,解得 k ? ,因为 k ? 0 ,所以 0 ? k ? ..。。。。。。。。。 4 4 4

5分 (2)结论:四边形 ABDC 不可能为梯形.理由如下:
2 假设四边形 ABDC 为梯形.依题意,设 B( x1 , x12 ) , C ( x2 , x2 ) , D( x3 , y3 ) ,

联立方程 ?

? y ? 1 ? k ( x ? 1), ?y ? x ,
2

2 消去 y,得 x ? kx ? k ? 1 ? 0 ,由韦达定理,得 1 ? x1 ? k ,所以

x1 ? k ? 1 .
同理,得 x2 ? ?

1 ? 1 .对函数 y ? x2 求导,得 y? ? 2 x ,所以抛物线 y ? x2 在点 B 处的切 k 2 ?2 . k

线 BD 的斜率为 2 x1 ? 2k ? 2 ,抛物线 y ? x2 在点 C 处的切线 CD 的斜率为 2 x2 ? ? 由四边形 ABDC 为梯形,得 AB //CD 或 AC //BD .

2 2 若 AB //CD ,则 k ?? ? 2 ,即 k ? 2k ?2 ?0 ,因为方程 k ? 2k ? 2 ? 0 无解,所以 AB

2 k

与 CD 不平行. 若 AC //BD ,则 ?

1 ? 2k ? 2 ,即 2k 2 ? 2 k ?1 ?0 ,因为方程 2k 2 ? 2k ? 1 ? 0 无解,所以 k

AC 与 BD 不平行,所以四边形 ABDC 不是梯形,这与假设矛盾.因此四边形 ABDC 不可
能为梯形.。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 12 分 21 题解

理科数学答案

? ln

x1 1 2 x 1? x x ? 2 ? ? x1 ? x2 ? ? b ? 1?? x1 ? x2 ? ? ln 1 ? ? 1 ? 2 ? ? 0 ? x1 ? x2 ? x2 2 x2 2 ? x2 x1 ?
x1 1 1? ? 0 ? t ? 1? h ? t ? ? ln t ? ? ? t ? ? ? 0 ? t ? 1? x2 2? t ?
2

所以设 t ?

? t ? 1? ? 0 ,所以 h t 在 0,1 单调递减, 1 1? 1? h? ? t ? ? ? ?1 ? 2 ? ? ? ?? ? ? t 2? t ? 2t 2
?x ? x ? 1 25 7 25 2 2 即 ? x1 ? x2 ? ? 1 2 ? t ? ? 2 ? 又b ? ? ? b ? 1? ? x1 ? x2 t 4 2 4
2

1 ? 1 ? 15 ? 0 ? t ? 1,? 4t 2 ? 17t ? 4 ? 0,? 0 ? t ? , h ? t ? ? h ? ? ? ? 2 ln 2 , 4 ?4? 8
故所求的最小值是

15 ? 2 ln 2 8

????12 分

(22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲
解: (1)证明:? AE ?

2 1 AB , ? BE ? AB . 3 3 1 AC ,? AD ? BE ,--------------1 3
理科数学答案

? 在正△ ABC 中, AD ?

又? AB ? BC , ?BAD ? ?CBE ,
? △BAD≌△CBE,? ?ADB ? ?BEC ,-------------------------3

即 ?ADF ? ?AEF ? π ,所以 A , E , F , D 四点共圆.??????????(5 分) (2)解:如图,取 AE 的中点 G ,连结 GD ,则 AG ? GE ?
1 AE . 2

? AE ? ? AD ?

2 1 2 AB ,? AG ? GE ? AB ? , 3 3 3 1 2 AC ? , ?DAE ? 60? , 3 3

? △AGD 为正三角形, ? GD ? AG ? AD ?

2 2 ,即 GA ? GE ? GD ? , 3 3 2 . 3 2 . (10 分) 3

所以点 G 是△AED 外接圆的圆心,且圆 G 的半径为

由于 A , E , F , D 四点共圆,即 A , E , F , D 四点共圆 G ,其半径为

x2 y 2 ? ? 1 ,????????2 分 23.解:(1)曲线 C1 的普通方程为 4 3
曲线 C2 的普通方程为 x ? y ? 4 .
2 2

????????4 分

(2) 法一:由曲线 C2 : x2 ? y 2 ? 4 ,可得其参数方程为 ?

? x ? 2cos ? ,所以 P 点坐标为 ? y ? 2sin ?

(2cos ? , 2sin ? ) ,由题意可知 M (0, 3), N (0, ? 3) .
因此 PM + PN ? (2cos ? ) ? (2sin ? ? 3) ? (2cos ? ) ? (2sin ? ? 3)
2 2 2 2

? 7 ? 4 3 sin ? ? 7 ? 4 3 sin ? ????????6 分

( PM + PN )2 ? 14 ? 2 49 ? 48sin 2 ? .
理科数学答案

2 所以当 sin ? ? 0 时, ( PM + PN ) 有最大值 28,????????8 分

因此 PM + PN 的最大值为 2 7 .

????????10 分

法二:设 P 点坐标为 ( x, y ) ,则 x2 ? y 2 ? 4 ,由题意可知 M (0, 3), N (0, ? 3) . 因此 PM + PN ?

x 2 ? ( y ? 3)2 ? x 2 ? ( y ? 3)2

? 7 ? 2 3 y ? 7 ? 2 3 y ????????6 分 ( PM + PN ) 2 ? 14 ? 2 49 ? 12 y 2 .
所以当 y ? 0 时, ( PM + PN ) 有最大值 28,????????8 分
2

因此 PM + PN 的最大值为 2 7 . 24.(10 分)证明:(Ⅰ)由 a ? 0 , 有 f ( x) =| x ? 所以 f ( x) ? 2
2 2

????????10 分

1 1 1 | ? | x ? a | ? |(x ? ) ? ( x ? a) | ? ? a ? 2 a a a
?????????5 分
2

(Ⅱ)? x ? 4 y ? z ? 3 ,由柯西不等式得:

[ x 2 ? (2 y ) 2 + z 2 ](12 ? 12 ? 12 ) ? ( x ? 2 y ? z ) 2 x 2y z 6 3 (当且仅当 ? ? 即 x ? z ? ,y ? 时取“ ? ”号)整理得: ( x ? 2 y ? z ) 2 ? 9 , 1 1 1 5 5 即 x ? 2 y ? z ? 3 ????????10 分

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