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南昌二中高三数学(文)第四次月考


南昌二中 2012-2013 学年度上学期第四次月考

高三数学(文)试卷
命题人:任淑珍 审题人:陶学明
一、选择题(本题共 10 小题;每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 )

1 ? z ?( ) z 1 3 1 3 3 3 3 1 A. ? i B. ? i C.

? i D. ? i 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2.已知集合 M ? {x | <1}, N ? { y | y ? x ? 1} ,则 N ??R M 等于( ) x A.(1,2) B. [0,2] C. ? D. [1,2] 3.若 p :| x ? 1 |? 2, q : x ? 2, 则?p是?q 成立的 ( )
1.复数 z ? 1 ? i, 则 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f (2 ? x) ? f ( x) ,且在 [?3, ?2] 上是减函数,? , ? 是 钝角三角形的两个锐角,则下列结论正确的是 ( ) A. f (sin ? ) ? f (cos ? ) B. f (cos ? ) ? f (cos ? ) C. f (cos ? ) ? f (cos ? ) D. f (sin ? ) ? f (cos ? ) 5.一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为 m),则该棱锥的全面积是( )m2.

正视图 A. 4 ? 2 6 B. 4 ? 6

侧视图 C. 4 ? 2 2

俯视图 D. 4 ?

2 6.一个容量为 10 的样本数据,组成一个公差不为 0 的等差数列 {an }, 若a3 ? 8 ,且 ) a1 , a3 , a7 成等比数列,则此样本的平均数和中位数分别是(
A.13,14
2 2

B.13,12

C.12,13
2

D.13,13 ).

7.双曲线

b ?1 y x 的最小值为( ? 2 ? 1(a ? 1, b ? 1) 的离心率为 2,则 a2 b 3a
B.

A.

4 3 3

3? 3 3

C.2

D.

1? 3 2

8. 列 n}中 a1= an- nan+1= 数 {a , 3, a 1(n= 1,2, …), n表 数 {an}的 n项 积 则 A 示 列 前 之 , A2005= ( ) 1 2 A. - B. C. 3 D. 1 - 2 3

1

9.在 一 面 角 标 中 画 三 函 同 平 直 坐 系 , 出 个 数

? f (x ) ? 2sn 2( x ? ) i 4



? g( x) ? sin(2 x ? ) 3



? 部 图 ( 图 , ( ) h x)? cos( x ? )的 分 象 如 ) 则 ( 6 A. a 为 f ( x), b 为 g( x) , c 为 h( x )

c b

B. a 为 h( x ), b 为 f ( x), c 为 g( x) C. a 为 g( x) , b 为 f ( x), c 为 h( x ) D. a 为 h( x ), b 为 g( x) , c 为 f ( x) 10.已知 | a |? 2 | b |,| b |? 0 ,且关于 x 的函数 f ( x) ? 值,则 a 与 b 的夹角范围为( A. ? 0, ? a

?

?

?

?

?

1 3 1 ? 2 ? ? x ? | a | x ? a ? bx 在 R 上有极 3 2



? ?? ? 6?

B. (

?
3

,? ]

C. (

? 2?
3 , 3

]

D. (

?
6

,? ]

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. ) 11.按如下程序框图运行,则输出结果为_____. 开始

i ?1

S ?0

S ? S ? 2i


i ?i?2

结束

i?9



输出S

12.已知圆 C 过点 A(1,0)和 B(3,0) ,且圆心在直线 y ? x 上,则圆 C 的标准方程 为 。 13.设 F1、F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,P 为椭圆上任一点, 25 16
.

点 M 的坐标为(6,4) ,则|PM|+|PF1|的最大值为

14.在?ABC 中 A ? 3 ? B ?2 5, D 是 , AB边 的 点 上 一 ,CD=2, ?BCD 的 积 4, AC的 为 面 为 则 长 0, C 。 15.下 4个 题 列 命 :

a ① 已知 e是单位向量,? e ? a ? 2e, 则 a在e 方向上的投影为
② 关于 x 的不等式 a ? sin x ?
2

1 ; 2

2 恒成立,则 a 的取值范围是 a ? 2 2 ; sin 2 x ③ 函数 f ( x) ? a log2 | x | ? x ? b 为奇函数的充要条件是 a ? b ? 0 ;
④ 将函数 y ? sin( 2 x ?

?
3

) 图像向右平移

? 个单位,得到函数 y ? sin 2 x 的图像 3

其中正确的命题序号是

(填出所有正确命题的序号) 。

2

三、解答题 π π 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=2sin(ωx- )sin(ωx+ )(其中 ω 为正常数,x∈ R) 6 3 的最小正周期为 π.(1)求 ω 的值; 1 BC (2)在 ABC中 若 △ , A<B, f(A)= 且 f(B)= , 求 的 . 值 2 AB

17. (本小题满分 12 分)如图,正方形 OABC 的边长为 2. (1)在其四边或内部取点 P( x, y ) ,且 x, y ? Z ,求事件:“ OP ? 1 ”的概率; (2)在其内部取点 P( x, y ) ,且 x, y ? R ,求事件“ ?POA, ?PAB, ?PBC, ?PCO 的面积均 y 2 B C 大于 ”的概率.

3

O

A

x

18.(本小题满分 12 分)圆锥 PO 如图 1 所示,图 2 是它的正(主)视图.已知圆 O 的直 径为 AB , C 是圆周上异于 A 、 B 的一点, D 为 AC 的中点. (1) 求该圆锥的侧面积 S ; (2) 求证:平面 PAC ? 平面 POD ;
P (3) 若 ?CAB ? 60 ,
?

求三棱锥 A ? PBC 的体积.

2
2
图2 A
D

O

B C

图1

3

19.(本小题满分 12 分) x3 2 10 已 函 f(x)= 2 图 上 率 3的 条 线 的 离 知 数 象 斜 为 两 切 间 距 为 , a 5 3bx 函 g(x)= 数 f(x)- 2 + 3.(1) 若 数 函 g(x)在 1处 极 , g(x)的 析 ; x= 有 值 求 解 式 a (2)若 数 函 g(x)在 间 1,1]上 增 数 b2- 区 [- 为 函 ,且 mb+ 4≥g(x)在 间 1,1]上 成 , 实 m的 值 区 [- 都 立 求 数 取 范 . 围

20.(本小题满分 13 分) ? 与 已 知 双 曲 线 x2 ? y 2 ? 1 的 左 、 右 顶 点 分 别 为 A1、A2 , 动 直 线 l : y ? k x m 圆
x2 ? y 2 ? 1 相切,且与双曲线左、右两支的交点分别为 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) . 1 (1)求 k 的取值范围,并求 x2 ? x1 的最小值;

(2) 记直线 P1 A1 的斜率为 k1 , 直线 P2 A2 的斜率为 k 2 , 那么 k1 ? k2 是定值吗?证明你的结论.

21.(本小题满分 14 分)

已知点集 L ? {( x, y) | y ? m ? n} , 其中 m ? (2x ? b,1), n ? (1, b ? 1) , 点列 Pn (an , bn ) n ? N? ) ( 在 L 中, P 为 L 与 y 轴的交点,数列 {an } 是公差为 1 的等差数列. 1 (1)求数列 {bn } 的通项公式;

?? ?

??

?

?an , (n为奇数) (2) f (n) ? ? 若 令 Sn ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (n) , 试写出 Sn 关于 n ?bn .(n为偶数) 的表达式; ?an , (n为奇数) (3)若 f (n) ? ? 给定奇数 m(m 为常数, m ? N? ,m ? 2 ).是否存在 k ? N? , bn .(n为偶数) ? 使得 f (k ? m) ? 2 f (m) ,若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

4

班级 __ 考场号 __ 座位号 __ 姓名______________ 装 订 线 内 不 要 答 题 ????????????装???????????????????订?????????????????线◆◆◆◆◆◆◆

南昌二中 2012-2013 学年度上学期第四次月考 高三数学(文) 答题卷
一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 题号 答案 二、填空题(每题 5 分,共 25 分) 11._____________ 12._____________13.______________ 14._____________ 15._____________ 三、解答题 16. (本题 12 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

17. (本题 12 分)

5

18. (本题 12 分)

P

2
O
D

A

B

2
图2

C 图1

19. (本题 12 分)

6

20. (本题 13 分)

7

21. (本题 14 分)

8

南昌二中 2012-2013 学年度上学期第四次月考 高三数学(文)参考答案
一、选择题 题号 答案 1 D 2 B 3 D 4 A 5 A 6 D 7 A 8 C 9 B 10 B

二、填空题
11. 170 12.

( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5

13. 15

14. 2 2 或4

15. ①

三、解答题 π π 16.解:(1)∵ f(x)=2sin(ωx- )sin(ωx+ ) 6 3 π π π =2sin(ωx- )cos[(ωx+ )- ] 6 3 2 π π π =2sin(ωx- )cos(ωx- )=sin(2ωx- ), 6 6 3 而 f(x)的最小正周期为 π,ω 为正常数, 2π ∴ =π,解得 ω=1. 2ω π (2)由(1)得 f(x)=sin(2x- ), 3 若 x 是三角形的内角,则 0<x<π, π π 5π ∴ <2x- < . - 3 3 3 1 π 1 令 f(x)= ,得 sin(2x- )= , 2 3 2 π π π 5π ∴ 2x- = 或 2x- = , 3 6 3 6 π 7π 解得 x= 或 x= . 4 12 1 ∵ A,B 是△ABC 的内角,A<B,且 f(A)=f(B)= , 2 π 7π π ∴ A= ,B= ,∴ C=π-A-B= , 4 12 6 BC sinA 由正弦定理,得 = = AB sinC sin π 4 = π sin 6 2 2 = 2 1 2
9

17. 解: (1) P( x, y ) 共 9 种情形:(0,0),(0,1),(0, 2),(1,0),(1,1),(1, 2),(2,0),(2,1),(2, 2)
2 2 满足 OP ? 1 ,即 x ? y ? 1 ,共有 6 种

因此所求概率为

6 2 ? ………6 分 9 3

2 1 2 ? 2 ? d ? ,即 d ? 3 2 3 2 ? P 到 OA 、 AB 、 BC 、 CO 的距离均大于 3 2 (2 ? 2 ? ) 2 3 ? 1 ………12 分 ? 概率为 2? 2 9
(2)设 P 到 OA 的距离为 d ,则 S ? 18.解: )解:由正(主)视图可知圆锥的高 PO ? (Ⅰ 半径 r ? 1 .∴ 圆锥的母线长 PB ?

2 ,圆 O 的直径为 AB ? 2 ,故
2

PO 2 ? OB 2 ?
3? .

2 ? 12 ? 3 ,

∴ 圆锥的侧面积 S ? ? rl ? ? ? 1 ? 3 ?

(Ⅱ )证明:连接 OC ,∵OA ? OC , D 为 AC 的中点, ∴OD ? AC .∵PO ? 圆O , AC ? 圆O ,∴PO ? AC .又 OD ? PO ? O , ∴ AC ? 平面POD .又 AC ? 平面PAC ,? 平面 PAC ? 平面 POD …8 分

? (Ⅲ ? AB是直径, ?ACB ? 90 ,又 ?CAB ? 60 ,? S ?CAB ? )
?

?

3 3 ,V ? 2 3

3 19.解 ∵f′(x)= 2·2, : x a 3 ∴由 2·2= x= a, 切 坐 为 a), a, a), x 3有 ± 即 点 标 (a, (- - a ∴切 方 为 a= 线 程 y- 3(x- y+ 3(x+ a)或 a= a), 整 得 理 3x- 2a= 3x- 2a= y- 0或 y+ 0, |- 2a- 2a| 2 10 = , 得 ± 解 a= 1, 2 5 3 + 1?2 ?- ∴f(x)= 3, g(x)= 3- x ∴ x 3bx+ 3. 2 (1) ∵g′(x)= - 3x 3b, g(x)在 1处 极 , g′(1)= x= 有 值 ∴ 0, ∴
10

即 12- 3× 3b= 解 b= ∴g(x)= 3- 0, 得 1, x 3x+ 3. (2)∵ 数 函 g(x)在 间 1,1]上 增 数 ∴ 区 [- 为 函 , g′(x)= 2- 3x 3b≥0在 间 1,1]上 成 , b≤0, ∵ 区 [- 恒 立 ∴ 又 2 2 2 b- mb+ 4≥g(x)在 间 1,1]上 成 , b - 区 [- 恒 立 ∴ mb+ 4≥g(1), b - 即 mb+ 4≥4- 3b, ∴ 2 mb≤b + 3b在 (- 0]上 成 , m≥3. b∈ ∞, 恒 立 ∴ 综 , 取 范 是 + 上 m的 值 围 [3, ∞). m ? m2 ? 1 ? k 2 20.解:(Ⅰ ? l 与圆相切,?1 ? ) 2 1? k ? y ? kx ? m 由? 2 , 得 (1 ? k 2 ) x2 ? 2mkx ? (m2 ? 1) ? 0 , x ? y2 ? 1 ?
? ? 1? k2 ? 0 ? ? ? ?? ? 4m2 k 2 ? 4(1 ? k 2 ) (m2 ? 1) ? 4(m2 ? 1 ? k 2 ) ? 8 ? 0 , ? 2 ? x1 ? x2 ? m ? 1 ? 0 ? k2 ?1 ? 2 ? k ? 1, ? ?1 ? k ? 1 ,故 k 的取值范围为 ( ?1,1) .

由于 x1 ? x2 ?
?0 ? k2 ? 1

2mk 2 2 2 2 , ? x2 ? x1 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? ? 2 2 1? k 1? k2 1? k

? 当 k 2 ? 0 时, x2 ? x1 取最小值 2 2 . (Ⅱ )由已知可得 A1 , A2 的坐标分别为 (?1, 0), (1, 0) , y y y1 y2 (kx ? m)(kx2 ? m) ? k1 ? 1 , k2 ? 2 , ? k1 ? k2 ? ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
m2 ? 1 2mk ? mk ? 2 ? m2 k x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m k2 ?1 k ?1 ? ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 ) ? 1 m2 ? 1 2 2 ? ?1 k2 ?1 k2 ?1 m 2 k 2 ? k 2 ? 2m 2 k 2 ? m 2 k 2 ? m 2 k 2 ? m2 ? ? 2 , 2 2 m ?1? 2 2 ? k ?1 m ? k2 ? 2 ? 2 2 ?1 由 m2 ? k 2 ? 1 , ? k1 ? k2 ? ? ?(3 ? 2 2) 为定值. 3? 2 2 21.解 :
2 2

k2 ?

11

?3 2 n 1 * ? 4 n ? 2 ? 4 ,(n ? 2k ? 1, k ? N ) ? 因此 Sn ? ? ? 3 n2 . ( n ? 2 k , k ? N* ) ?4 ?
(Ⅲ )假设存在 k ? N* ,使得 f (k ? m) ? 2 f (m) , 因为 m 为奇数,

…………9 分

(1)若 k 为奇数,则 k ? m 为偶数,于是 f (m) ? m ? 1 , f (m ? k ) ? 2(m ? k ) ? 1 , 由 2(m ? k ) ? 1 ? 2(m ? 1) ,得 k ? ? , 与 k ? N* 矛盾;

1 2

…………11 分

(2)若 k 为偶数,则 k ? m 为奇数,于是 f (m) ? m ? 1 , f (m ? k ) ? (m ? k ) ? 1 , 由 (m ? k ) ? 1 ? 2(m ? 1) ,得 k ? m ? 1 ( m ? 1 是正偶数). 综上,对于给定奇数 m(m 为常数, m ? N , m ? 2 ), 这样的 k 总存在且 k ? m ? 1 .
?

12


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