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江苏省徐州市2014届高三上学期期中考试数学试题 Word


江苏省徐州市 2014 届高三上学期期中考试数学试题
一、填空题 1.已知全集 U ? R ,集合 M ? x | y ? 2.复数 z ?

?

x ? 1 ,则 CU M ?


?



1 ? 2i 的虚部是 i
2

3. x ? 1 ”是“ x ? 1 ”的 “

条件(填“充分不必要”“必要不充分” “充要” 、 、 、

“既不充分也不必要” ) 4.已知扇形的半径为 10cm ,圆心角为 120? ,则扇形的面积为 5.如果 log 2 x ? log 2 y ? 1 ,则 x ? 2 y 的最小值是 。



6.设 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a2 ? 3, a6 ? 11 ,则 S 7 ? 7.曲线 y ? e (其中 e ? 2.71828?)在 x ? 1 处的切线方程为
x

。 。 。

8. 方程 sin x ? 3 cos x ? a ? 0 在 (0, 2? ) 内有相异两解 ? , ? , ? ? ? ? 则 9. 已知 ?ABC 中,a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,a ? 的面积 S ?ABC ? 。

2, A ? 45?, B ? 60? , 那么 ?ABC

10.已知函数 f ( x ) ? ? 数 m 的取值范围是
2

?log 2 ( x ? 1) ( x ? 0)
2 ?? x ? 2 x

( x ? 0)


, ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? m 有 3 个零点,则实

11 . 若 不 等 式 (m m ) 2 ? ( ) ? 1 一 切 x ? ( ??, ?1]恒 成 立 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 对
x x

1 2




* *

12.设等比数列 ?an ? 满足公比 q ? N , an ? N ,且 ?an ? 中的任意两项之积也是该数列中的 一项,若 a1 ? 2 ,则 q 的所有可能取值的集合为
11



13. 已知 O 是 ?ABC 的外心,AB ? 6, AC ? 10 , AO ? x ? AB ? y ? AC 且 2 x ? 10 y ? 5 , 若 则 cos?BAC ? D。则 OD⊥AC ∵向量 AO=向量 AD+向量 DO, 即6xcos∠BAC+10y=5 又 2x+10y=5 ∴6xcos∠BAC=2x ∴cos∠BAC=1/3 向量 AO*AC=AD*AC+DO*AC=AD*AC+0=5*10=50 又∵向量 AO=x 向量 AB+y 向量 AC, ∴AO*AC=x*60cos∠BAC+y*100=50 。解:外心是三角形三条垂直平分线的交点,取 AC 中点为

14.定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 满足 f (0) ? 0, f ( x) ? f (1 ? x) ? 1, f ( ) ?

x 5

1 f ( x) ,且当 2

0 ? x1 ? x2 ? 1 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f (
二、解答题

1 )? 2013



15.已知等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26, ?an ? 的前 n 项和为 S n 。 (1)求 an 及 S n ; (2)令 bn ?

1 (n ? N * ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。 a ?1
2 n

16.设向量 a ? (2,sin ? ), b ? (1, cos ? ), ? 为锐角。 (1)若 a ? b ?

?

?

? ?
?

(2)若 a / / b ,求 sin(2? ?

?

13 ,求 sin ? ? cos? 的值; 6

?

3

) 的值。

17.已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x | x ? a | 。 (1)当 a ? 2 时,写出函数 y ? f ( x) 的单调递增区间; (2)当 a ? 2 时,求函数 y ? f ( x) 在区间 [1, 2] 上的最小值; (3)设 a ? 0 ,函数 y ? f ( x) 在 (m, n) 上既有最大值又有最小值,请分别求出 m, n 的 取值范围(用 a 表示) 。

18 . 如 图 , 某 生 态 园 欲 把 一 块 四 边 形 地 BCED 辟 为 水 果 园 , 其 中

?C ? ?D ? 90?, BC ? BD ? 3 ,CE ? DE ? 1 。若经过 DB 上一点 P 和 EC 上一点

Q 铺 设 一 条 道 路 PQ , 且 PQ 将 四 边 形 BCED 分 成 面 积 相 等 的 两 部 分 , 设

DP ? x, EQ ? y 。
(1)求 x, y 的关系式; (2)如果 PQ 是灌溉水管的位置,为了省钱,希望它最短,求 PQ 的长的最小值; (3)如果 PQ 是参观路线,希望它最长,那么 P、Q 的位置在哪里?

19.已知等比数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? ? ? an ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

1 an?1 ? 1(n ? N * ) 。 2

(2)在 an 与 an ?1 之间插入 n ? 1 个数组成一个公差为 d n 的等差数列。 ①设 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ; dn

②在数列 ?d n ? 中是否存在三项 d m , d k , d p(其中 m, k , p 成等差数列) 成等比数列? 求出这样的三项;若不存在,说明理由。

20.已知函数 f ( x) ? a ln x ? x 。
2

(1)当 a ? 2 时,求函数 y ? f ( x) 在 [ , 2] 上的最大值; (2)令 g ( x) ? f ( x) ? ax ,若 y ? g ( x) 在区让 (0,3) 上不单调,求 a 的取值范围;

1 2

(3)当 a ? 2 时,函数 h( x) ? f ( x) ? mx 的图象与 x 轴交于两点 A( x1 ,0), B( x2 ,0) ,且

0 ? x1 ? x2 ,又 y ? h?( x) 是 y ? h( x) 的导函数。若正常数 ? , ? 满足条件 ? ? ? ? 1, ? ? ? 。
证明 h?(? x1 ? ? x2 ) ? 0 。

2013~2014 学年度第一学期期中考试 高三数学参考答案与评分标准
一、填空题 1. ?x | x ? 1? 7. y ? ex 2.—1 8. 3.充分不必要 9. 4.

100? cm2 3

5.4

6.49

7? ? , 3 3

12.{2, 2 3 , 2 9 , 2 27 , 2 81 } 二、解答题

3? 3 10. (0,1) 4 1 1 13. 14. 3 32

11. ? 2 ? m ? 3

15. 解: (1)设等差数列 {a n } 的首项为 a1 ,公差为 d , 由 a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26 ,解得 a1 ? 3, d ? 2 . 由于 an ? a1 ? (n ? 1)d , S n ?

??1 分 ??5 分

n(a1 ? an ) ,所以 a n ? 2n ? 1, S n ? n 2 ? 2n . ??7 分 2 1 1 1 1 2 (2)因为 a n ? 2n ? 1 ,所以 an ? 1 ? 4n(n ? 1) ,因此 bn ? ? ( ? ) .?9 4n(n ? 1) 4 n n ? 1 分 1 1 1 1 1 1 1 1 n 故 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? (1 ? ? ? ? ? ? ? , ? 13 ) ? (1 ? )? 4 2 2 3 n n ?1 4 n ? 1 4(n ? 1) 分 n 所以数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ? . ??14 分 4( n ? 1)
13 1 16. 解: (1)因为 a· =2 + sinθcosθ = 6 , 所以 sinθcosθ = 6 , b ??2 分

3 2 3 所以(sinθ +cosθ)2 = 1+2sinθcosθ = 4 .又因为 θ 为锐角,所以 sinθ + cosθ = 3 ?6 分 (2)因为 a∥b,所以 tanθ = 2, 2sinθcosθ 2tanθ 4 所以 sin2θ = 2sinθcosθ = sin2θ+cos2θ = tan2θ+1 = 5 , ??8 分 ??10 分

cos2θ-sin2θ cos2θ = cos θ-sin θ = sin2θ+cos2θ
2 2

1-tan2θ = tan2θ+1

3 = — 5 .

??12 分 ??14 分 ??2 分 ??4 分

π 1 3 1 4 3 3 4-3 3 所以 sin(2θ+ 3 ) = 2 sin2θ + 2 cos2θ = 2 ×5+ 2 ×(-5) = 10 .

? x( x ? 2), x ? 2 17. 解: (1)当 a ? 2 时, f ( x) ? x | x ? 2 |? ? , ? x(2 ? x), x ? 2
由图象可知, y ? f (x) 的单调递增区间为 (??,1],[2,??) .

a a2 (2)因为 a ? 2, x ? [1,2] ,所以 f ( x) ? x(a ? x) ? ? x 2 ? ax ? ?( x ? ) 2 ? .??6 分 2 4 a 3 当 1 ? ? ,即 2 ? a ? 3 时, f ( x) min ? f (2) ? 2a ? 4 ; ??7 分 2 2 a 3 当 ? ,即 a ? 3 时, f ( x) min ? f (1) ? a ? 1 . ??8 分 2 2
?2a ? 4,2 ? a ? 3 . ? f ( x) min ? ? ? a ? 1, a ? 3 ? x( x ? a), x ? a (3) f ( x) ? ? , ? x(a ? x), x ? a
①当 a ? 0 时,图象如图 1 所示.
2 ? ( 2 ? 1)a a ? y?a 由? 得x? .? 0 ? m ? , a ? n ? 4 2 2 ? y ? x( x ? a) ?

??9 分

??10 分

2 ?1 a. 2

??12 分

图1 ②当 a ? 0 时,图象如图 2 所示.

图2

2 ? 1? 2 2 ?1 a ?y ? ? a , 由? 得x? a. ? a ? m ? a, ? n ? 0 . 4 2 2 2 ? y ? x(a ? x), ?

??14 分

18. 解: (1)延长 BD、CE 交于点 A,则 AD ? 3, AE ? 2 ,则 S ?ADE ? S ?BDE ? S ?BCE ?

3 . 2

A

D E P Q

B

C

1 ? S ?APQ ? 3,? ( x ? 3 )( y ? 2) ? 3,? ( x ? 3 )( y ? 2) ? 4 3 . 4
(2) PQ 2 ? AP 2 ? AQ 2 ? 2 AP ? AQ cos 30 0

??4 分

? (x ? 3) 2 ? (

4 3 x? 3

)2 ? 2 ? 4 3 ?

3 2

??6 分

? 2 ? 4 3 ? 12 ? 8 3 ? 12
当 (x ? 3) 2 ? (

4 3 x? 3

) 2 ,即 x ? 24 3 ? 3 时,

PQmin ? 8 3 ? 12 ? 2 2 3 ? 3 .
(3)令 t ? ( x ? 3 ) 2 ,? x ?[ 则 PQ 2 ? f (t ) ? t ?

??8 分

3 16 , 3 ],? t ?[ ,12] , ??10 分 3 3

48 ? 12 , t
??12 分

? f ' (t ) ? 1 ?

48 48 ,令 f ' (t ) ? 1 ? 2 ? 0 得, t ? 4 3 , 2 t t

? f (t ) 在 (0,4 3 ) 上是减函数,在 (4 3 ,??) 上是增函数,

16 ? f (t ) max ? max{ f ( ), f (12)} ? f (12) ? 4 ,PQmax = 2, 3
此时 t ? ( x ? 3 ) 2 ? 12, x ? 3 , y ? 0 ,P 点在 B 处,Q 点在 E 处。 19. 解: (1)由已知, S n ? 两式相减得, a n ?1 ? 又 a1 ?

??14 分 ??16 分

1 1 a n?1 ? 1(n ? N * ) ,所以 S n?1 ? a n? 2 ? 1 , 2 2
??3 分 ??5 分

1 (qan ?1 ? a n?1 ) ,解得 q ? 3 , 2

1 ? q ? a1 ? 1 ,解得 a1 ? 2 , 2

故 a n ? 2 ? 3 n?1. (2)由(1) ,知 an ? 2 ? 3n?1 , a n?1 ? 2 ? 3n. ? a n?1 ? an ? nd n ,? d n ? ① Tn ?

??6 分

4 ? 3n?1 . n

??7 分 ??8 分

1 1 1 1 1 2 3 n , ? ? ??? ? ? ? ??? 0 1 2 d1 d 2 d 3 dn 4 ? 3 4?3 4?3 4 ? 3n?1

1 1 2 3 n , Tn ? ? ? ??? 1 2 3 3 4?3 4?3 4?3 4 ? 3n

1 1? n 2 1 1 1 1 n 1 3 ? n ? Tn ? ? ? ??? ? ? ? 0 1 2 n ?1 n 1 3 4 4?3 4?3 4?3 4?3 4?3 4 ? 3n 1? 3 9 9 3n 1 故 Tn ? ?( ? ) n 16 16 8 3

??10 分

??11 分

②假设在数列 {d n } 中存在三项 d m , d k , d p (其中 m, k , p 成等差数列)成等比数列,
2 则 d k ? d m ? d p ,即 (

4 ? 3 k ?1 2 4 ? 3 m ?1 4 ? 3 p ?1 . ) ? ? k m p

??13 分

因为 m, k , p 成等差数列,所以 m ? p ? 2k , (*)代入上式得: k 2 ? mp , (**) 由(*)(**) , ,得 m ? p ? k ,这与题设矛盾. ??15 分

所以,在数列 {d n } 中不存在三项 d m , d k , d p (其中 m, k , p 成等差数列)成等比数列.?16 分 20. 解: (1) ? f ' ( x) ? 函数 y ? f (x) 在[

2 2 ? 2x 2 ? 2x ? , x x

??2 分

1 ,1]是增函数,在[1,2]是减函数, 2
??4 分

所以 f ( x) max ? f (1) ? 2 ln 1 ? 12 ? ?1 . (2)因为 g ( x) ? a ln x ? x 2 ? ax ,所以 g ?( x) ?

a ??5 分 ? 2x ? a , x 因为 g (x) 在区间 (0,3) 上不单调,所以 g ?( x) ? 0 在(0,3)上有实数解,且无重根, 1 9 2x 2 = 2( x ? 1 ? ( ) ? 4 ? (0, ) , x ? (0,3) ) x ?1 x ?1 2 又当 a ? ?8 时, g ?( x) ? 0 有重根 x ? ?2 ,
由 g ?( x) ? 0 ,有 a ? ??6 分 ??7 分 ??8 分

9 综上 a ? (0, ) 2
(3)∵ h ' ( x) ?

2 ? 2 x ? m ,又 f ( x) ? mx ? 0 有两个实根 x1 , x 2 , x

? 2 ln x1 ? x12 ? mx1 ? 0 2 2 ∴? ,两式相减,得 2(ln x1 ? ln x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? m( x1 ? x2 ) , 2 ?2 ln x 2 ? x 2 ? mx2 ? 0

∴m?

2(ln x1 ? ln x 2 ) ? ( x1 ? x 2 ) , x1 ? x 2 2(ln x1 ? ln x2 ) 2 ? 2(?x1 ? ?x2 ) ? ? ( x1 ? x2 ) ?x1 ? ?x2 x1 ? x2

??10 分

于是 h ' (?x1 ? ?x2 ) ?

?

2(ln x1 ? ln x2 ) 2 ? ? (2? ? 1)( x2 ? x1 ) . ?x1 ? ?x2 x1 ? x2

??11 分

? ? ? ? ,? 2? ? 1,?(2? ? 1)( x2 ? x1 ) ? 0 .
要证: h ' (?x1 ? ?x2 ) ? 0 ,只需证:

2(ln x1 ? ln x2 ) 2 ? ?0 ?x1 ? ?x2 x1 ? x2
??12 分

只需证:

x1 ? x 2 x ? ln 1 ? 0 .(*) ?x1 ? ?x 2 x2



x1 1? t 1? t ? ln t ? 0 ,只证 u (t ) ? ln t ? ? 0 即可.??13 分 ? t ? (0,1) ,∴(*)化为 ?t ? ? x2 ?t ? ?

1 ? (?t ? ? ) ? (1 ? t )? 1 1 (?t ? ? ) 2 ? t u ' (t ) ? ? ? ? ? ? t t (?t ? ? ) 2 (?t ? ? ) 2 t (?t ? ? ) 2
?

? 2 (t ? 1)(t ?

t (?t ? ? ) 2

?2 ) ?2

, ?14 分

?2 ? 1,0 ? t ? 1,?t ? 1 ? 0,?u ' (t ) ? 0,?u (t ) 在 ( 0, 1) 上 单 调 递 增 , ?2

??15 分

u (t ) ? u (1) ? 0,? ln t ?

x ? x2 x 1? t ? 0 ,即 1 ? ln 1 ? 0 .∴ h ' (?x1 ? ?x2 ) ? 0 .??16 分 ?t ? ? ?t ? ? x2


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