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高二数学平面向量概念


平面向量的概念
高一数学

阅读提纲:
1)向量的定义 2)向量的表示方法

3)向量的有关概念
A、向量的模(向量的长度) B、零向量 C、单位向量

D、平行向量 E、相等向量 F、共线向量
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一、向量的定义:
向量是既有大小,又有方向的量.

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二、向量的表示方法:
1)有向线段:
记作:AB
A(起点) B(终点)

注意字母的顺序是:起点在前,终点在后. 有向线段AB的长度:|AB| 有向线段的三要素:起点、方向、长度.
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2)向量的表示法:
①几何表示法:用有向线段表示向量 有向线段的方向表示向量的方向

y

B a

有向线段的长度表示向量的大小.

0

A

x

3)向量的大小: 就是向量的长度(或称模) 用有向线段的长度表示, 如:|AB|
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②字母表示: Ⅰ、用有向线段的起点和终点的大写字母加箭 头表示,如 AB ? Ⅱ、手写时写成带箭头的小写字母,如:a Ⅲ、印刷时用黑体小写字母表示,如:a

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4)向量与有向线段的区别: 由有向线段的三要素:“起点、方向、 长度”可知,有向线段的起点是确定的。 而由向量的定义可知,对于一个向量, 只要不改变它的大小和方向,是可以任 意平行移动的,与起点无关.

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三、有关定义:
问题1: 长度为0的向量应该叫做什么向量? 如何表示?它有方向吗?它与实数0的 意义相同吗? 答:应该叫做零向量,表示为 0.它方向是不 确定的,它与实数0的意义不同. 问题2: 长度等于1个单位长度的向量应该叫 做什么向量? 答:应该叫做单位向量.
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问题3: 如图,这组方向相同或相反的非零 向量之间,存在着什么关系? a
答:平行关系.

b

c

平行向量: 方向相同或相反的非零向量. 记作:a // b // c 因为零向量的方向不确定,所以规定零向量与 任一向量平行.
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例1:在梯形中找到平行向量.
D C

F

E B

A

AB、 DC、 EF 是一组平行向量。
练习
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问题4:

AB 与 BA 这两个向量的长度相等吗?

想 这两个向量平行吗? 一 想 这两个向量相等吗? ?
答:相等; 平行; 不相等.
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相等向量:长度相等且方向相同的向量。
若向量 a 与 b 相等,记作:a = b。
规定:零向量与零向量相等。 注:两个向量相等与它们的位置无关。

问:单位向量是相等向量吗?它们大小相等吗?
答:不一定;相等。
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三、相关概念

??? ? ??? ? ()向量 1 AB大小称为向量的长度(也叫模),记为 AB ? (2)长度为0的向量叫零向量,记为0 ,它的方向是任意的。

(3)长度为 1的向量叫单位向量。
思考:把所有单位向量的 起点集中于一点o,问它 们终点的轨迹是什么?
答:如图:轨迹是以o为圆 心,半径为1的圆。

o

我们知道:对于一个向量,只要不改 变它的大小和方向,是可以任意平行移动 的,与起点无关。这就是常说的:自由向 量。
例子

任一组平行向量都可以移到同一直线上, 因此,平行向量也叫共线向量。
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例2:如图设o是正六边形ABCDEF的中心,分别 OA、 OB 写出图中与向量 (1)相等的向量; (2)共线的向量

解:
(1)OA ? CB

B

A

? DO

C

OB ? DC ? EO
D (2)

O
E

F

OA、 CB、 DO、 EF 为一组共线向量,
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OB、 DC、 EO、 AF 为一组共线向量,

练习:已知D、E、F分别是 △ABC各边的终点,分别写出图 中与 相等的向量和共线的向量。

答:

DE、 EF、 FD
F

A E C

与DE 相等的向量: BF、 FA 与FD 相等的向量: AE

与EF 相等的向量: DB

B

D

与DE 共线的向量: BF、 FA 与FD共线的向量: AE、 CE 与EF 共线的向量:DB、 DC
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回顾与总结
一、向量的定义 既有大小又有方向的量叫做向量 二、向量的表示

1.几何表示:用有向线段表示 2.用小写字母表示 注意:印刷体与手写的区别 3.用表示向量的有向线段的起点和终点字母 表示

(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量 叫做平行向量. 规定:零向量与任一向量平行。 平行向量也叫共线向量
(5)相等向量:长度相等,方向相同的两个向量。

四、例题
例1:思考下列问题:

1、下列命题正确的是
(1)共线向量都相等 (2)单位向量都相等 (3)平行向量不一定是共线向量 (4)零向量与任一向量平行

练习:
1.下列说法正确的是 ( B ) A) 方向相同或相反的向量是平行向量 . ? B) 零向量是0 . C)长度相等的向量叫做相等向量. D) 共线向量是在一条直线上的向量.

小结:

1.向量的概念: 既有大小又有方向的量 1.有向线段 2.字母 2.向量的表示: 3.有向线段起点和终点字母 3.零向量: 长度为零的向量 4.单位向量: 长度为1个单位的向量 1.方向相同或相反的非零向量 5.平行向量: 2.零向量与任一向量平行 6.相等向量: 长度相等且方向相同的向量 7.共线向量: 平行向量就是共线向量

例3:在4 ? 5达到方格中有一个向量 AB,以图中 的格点为起点和终点作 向量,其中与AB相等的

向量有多少个?与 AB长度相等的共线向量有 多少个?

B
相等的有 7个

A

长度相等 的有15个

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