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3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件(人教版必修4)


? 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正 切公式

? 1.能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余 弦、正切公式并能利用公式进行化简求值.(重点) ? 2.熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特征和 符号规律.(易混点) ? 3.能正用、逆用、变形用公式进行化简求值.(难点)

? 一、两角和的余弦公式 cos αcos β-sin αsin β ? cos(α+β)= C(α+β) ,使用的条件为α,β∈R.

,简记为

? 1.怎样求cos 75°的值? ? 提示:把75°转化成两个特殊角45°与30°的和,即75° =45°+30°,然后利用两角和的余弦公式展开即可.

? 二、两角和与差的正弦公式 名称 两角和 的正弦 两角差 简记符号 公式 sin(α+β)= sin αcos β+cos αsin β sin(α-β)= sin αcos β-cos αsin β 使用条件 α,β∈R

S(α+β)

的正弦

S(α-β)

α,β∈R

? 2.怎样利用诱导公式推出sin(α±β)?
??π ? ?π ? ? 提示:sin(α+β)=cos?2-?α+β??=cos??2-α?-β? ? ? ? ?? ? ?π ? =cos?2-α?cos ? ? ?π ? β+sin?2-α?sin ? ?

β

=sin αcos β+cos αsin β, 用-β 代 β 得 sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sin αcos(-β)+ cos αsin(-β)=sin αcos β-cos αsin β.

? 三、两角和与差的正切公式
名称 公式 tan(α+β)= tan α+tan β 1-tan αtan β T(α+β) 简记符号
α,β,α+β≠ π kπ+2(k∈Z)

使用条件

两角和 的正切

tan(α-β)=

α,β,

两角差
的正切

tan α-tan β 1+tan αtan β

T(α-β)

α-β≠
π kπ+ 2(k∈Z)

? 3.两角和与差的正切公式对任意α、β均成立吗?
提示:不是,在使用两角和或差的正切公式时,须保证 π π 公式有意义,须使 α≠kπ+2(k∈Z),β≠kπ+2(k∈Z),α+ π π β≠kπ+2(k∈Z),α-β≠kπ+2(k∈Z).

? cos(α-β)与cos(α+β)的公式中所用“量”是相同的,只是 运算符号“+”与“-”不同,二者是相对的.

4 4 3π 已知:cos(α+β)=5,cos(α-β)=-5, 2 <α+β π <2π,2<α-β<π,求 cos 2α 与 cos 2β 的值.
? 【思路点拨】本题运用角的转化关系“2α=(α+β)+(α-β), 2β=(α+β)-(α-β)”,及两角和与差的余弦公式求解.

3π 4 解:∵ 2 <α+β<2π,cos(α+β)=5, 3 ∴sin(α+β)=-5. π 4 ∵2<α-β<π,cos(α-β)=-5, 3 ∴sin(α-β)=5. ∴cos 2α=cos[(α+β)+(α-β)]

=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β) 4 ? 4? ? 3? 3 7 ?- ?-?- ?× =- . =5× 5 25 ? ? ? 5? 5 cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)] =cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) 4 ? 4? ? 3? 3 =5×?-5?+?-5?×5=-1. ? ? ? ?

【题后总结】三角变换是三角运算的灵魂与核心,它包 括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其 中角的变换是最基本的变换.常见的有: α=(α+β)-β,α=β-(β-α), α=(2α-β)-(α-β),2α=(α+β)+(α-β) 1 1 α=2[(α+β)+(α-β)],α=2[(β+α)-(β-α)]等.

? 1.若本例条件不变,求sin αsin β的值. 4 解:由 cos(α+β)=5,
4 得 cos αcos β-sin αsin β=5.① 4 4 由 cos(α-β)=-5得 cos αcos β+sin αsin β=-5.② 4 ②~①得 2sin αsin β=-2×5, 4 ∴sin αsin β=-5.

? S(α±β)的正向应用是把α±β的形式转化为单角α、β的三角函 数值计算. ? S(α±β)的逆向应用是在符合公式的特征形式下,把多项式的 三角函数计算转化为一个角(α+β)或(α-β)的三角函数值计 算.

4 3 11 已知 α、 是锐角, sin α= 7 , β 且 cos(α+β)=-14, 求 sin β 的值.
【思路点拨】 由已知求得cos α与sin?α+β? → β=?α+β?-α → sin β=sin?α+β-α?展开 → 代入公式得结果

4 3 解:∵α 是锐角,且 sin α= 7 , ∴cos α= 1-sin α=
2

?4 3? ? ?2 1 1-? = . 7 ? 7 ? ?

11 又∵cos(α+β)=-14,α、β 均为锐角, 5 3 ∴sin(α+β)= 1-cos ?α+β?= 14 ,
2

∴sin β=sin(α+β-α)=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α 5 3 1 ? 11? 4 3 3 ?- ?× = 14 ×7- 14 7 =2. ? ?

? 【题后总结】充分观察和分析问题中已知角与未知角之间 的关系,将未知角用已知角表示出来,从而将未知角的三 角函数值转化为已知角的三角函数值,这是一种角的变换, 在三角求值问题中有着广泛的应用.解题时需注意角的范 围对三角函数值的制约,必要时还需根据三角函数值缩小 角的范围,从而确定角的大小.在开方运算时,要利用角 的范围确定根号前的正负符号.

2. 若

?3π ? ?π ? 3 5 sin? 4 +α?=13, ?4-β?=5, cos 且 ? ? ? ?

π 3π 0<α<4<β< 4 ,

求 cos(α+β)的值.

π 3π 解:∵0<α<4<β< 4 , 3π 3π π π ∴ 4 < 4 +α<π,-2<4-β<0,
?3π ? ?π ? 12 4 cos? 4 +α?=-13,sin?4-β?=-5, ? ? ? ?

?π ? ∴cos(α+β)=sin?2+?α+β?? ? ? ??3π ? ?π ?? =sin?? 4 +α?-?4-β?? ? ? ?? ?? ?3π ? ?π ? ?3π ? ?π ? =sin? 4 +α?cos?4-β?-cos? 4 +α?sin?4-β? ? ? ? ? ? ? ? ?

33 =-65.

(1)公式 T(α±β)的右侧为分式形式, 其中分子为 tan α 与 tan β 的和或差,分母为 1 与 tan αtan β 的差或和. (2)由正切函数的定义可知 α、β、α+β(或 α-β)的终边 π 不能落在 y 轴上,即不为 kπ+2(k∈Z).

π π π π (12 分)已知-2<α<2,-2<β<2,且 tan α,tan β 是方程 x2+6x+7=0 的两根,求 α+β 的值.

? 【思路点拨】tan(α+β)的展开式中含有tan α+tan β,tan αtan β,要善于应用.

【规范解答】由根与系数的关系,
?tan ? 得? ?tan ?

α+tan β=-6<0, ∴tan α<0,tan β<0.4 分 αtan β=7>0,

π π π π 又∵-2<α<2,-2<β<2, π π ∴-2<α<0,-2<β<0, ∴-π<α+β<0. tan α+tan β -6 ∵tan(α+β)= = =1, 1-tan αtan β 1-7 3 ∴α+β=-4π. 12 分 8分

【题后总结】已知三角函数值求角,选择函数时,可按 下列原则进行: (1)已知正切函数值,选择正切函数; (2)已知正、余弦函数值,选择正弦函数或余弦函数;
? π? (3)若角的范围是?0,2?,则可选择正弦函数,也可选择 ? ?

余弦函数;

? π π? (4)若角的范围是?-2,2?,则选择正弦函数比余弦函数 ? ?

更好; (5)若角的范围是(0,π),则选择余弦函数比正弦函数更 好.总之,尽量选择在区间上单调的函数.

5 10 3.若 sin α= 5 ,sin β= 10 ,且 α、β 为锐角,求 α+β 的值. 解:∵α、β 均为锐角,
2 5 3 10 2 ∴cos α= 1-sin α= 5 ,cos β= 1-sin β= 10 ,
2

∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β 2 5 3 10 5 10 2 = 5 × 10 - 5 × 10 = 2 π 又∵α、β 为锐角,∴0<α+β<π,∴α+β=4.

误区:未考虑角的取值范围 3 5 【典例】 在△ABC 中,sin A=5,cos B=13,求 cos C.

5 【错误解答】∵cos B=13, 12 ∴B 为锐角,sin B= 1-cos B=13.
2

3 ∵sin A=5,0<A<π,

4 ∴当 A 为锐角时,cos A= 1-sin A=5,
2

此时,cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B) 16 =sin Asin B-cos Acos B=65; 4 当 A 为钝角时,cos A=- 1-sin A=-5,
2

此时,cos C=-cos(A+B)
? 4 5 3 12? 56 =-?-5×13-5×13?=65. ? ?

16 56 综上,cos C=65或65.

5 【正确解答】∵cos B=13, 12 ∴B 为锐角,sin B= 1-cos B=13,
2

3 ∵sin A=5,0<A<π, ∴当 A 为锐角时, 4 cos A= 1-sin A=5,
2

此时,cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)

16 =sin Asin B-cos Acos B=65; 4 当 A 为钝角时,cos A=- 1-sin A=-5,
2

3 5 ? 4? 12 此时 sin(A+B)=5×13+?-5?×13<0,这与 0<A+B ? ? <π 矛盾,故此种情况不成立. 16 综上,cos C=65.

? 【纠错心得】上述解题的过程中,犯了以下错误:在分类 讨论A的情况后,没有考虑函数值所代表的角的范围,以 及三角形中对角度的限制. ? 在三角形中,一定要重视角的取值范围和题目中隐含的信 息,本题中,已知sin A、cos B,在求出cos A、sin B后,很 容易想到要用sin(A+B)或A、B的范围进行验证和选择.


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