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“数学归纳法”的教学设计


“数学归纳法”的教学设计 一、教材内容解析 由于正整数无法穷尽的特点,有些关于正整数 n 的命题,难以对 n 进行一一的验证,从而需要寻求一 种新的推理方法,以便能通过有限的推理来证明无限的结论.这是数学归纳法产生的根源. 数学归纳法是一种证明与正整数 n 有关的命题的重要方法。 它的独到之处便是运用有限个步骤就能证 明无限多个对象,而实现这一目的的工具就是递推思想。 设 p(n

)表示与正整数 n 有关的命题,证明主要有两个步骤:(1)证明 p(1)为真;(2)证明若 p(k) 为真,则 p(k+1)为真;有了这两步的保证,就可实现以下的无穷动态的递推过程: P(1)真?? P(2)真?? P(3)真??? ?? P(k)真?? P(k+1)真?? ? 因此得到对于任何正整数 n,命题 p(n)都为真. 数学归纳法的两个步骤中,第一步是证明的奠基,第二步是递推的依据,即验证由任意一个整数 n 过 渡到下一个整数 n+1 时命题是否成立.这两个步骤都非常重要,缺一不可.第一步确定了 n=1 时命题成立, n=1 成为后面递推的出发点,没有它递推成了无源之水;第二步确认了一种递推关系,借助它,命题成立 的范围就能从 1 开始,向后面一个数一个数的无限传递到 1 以后的每一个正整数,从而完成证明.因些递推 是实现从有限到无限飞跃的关键,没有它我们就只能停留在对有限情况的把握上. 在应用数学归纳法时,第一步中的起点 1 可以恰当偏移(如取 k=n0),那么由第二步,就可证明命题对 n=n0 以后的每个正整数都成立;而第二步的递推方式也可作灵活的变动,如跳跃式前进等,但必须保证第一 步中必须含有实现第二步递推时的基础. 数学归纳法名为归纳法,实质上与归纳法毫无逻辑联系.按波利亚的说法“这个名字是随便起的”.
[1]

归纳法是一种以特殊化和类比为工具的推理方法,是重要的探索发现的手段,是一种似真结构;而数学归 纳法是一种严格的证明方法,一种演绎法,它的实质是“把无穷的三段论纳入唯一的公式中”(庞加莱), 它得到的结论是真实可靠的.在皮亚诺提出“自然数公理”后,数学归纳法以归纳公理为理论基础,得到了 广泛的确认和应用.而自然数中的“最小数原理”,则从反面进一步说明了数学归纳法证题的可靠性. 数学归纳法虽不是归纳法,但它与归纳法有着一定程度的关联.在数学结论的发现过程中,往往先通 过对大量个别事实的观察,通过归纳形成一般性的结论,最终利用数学归纳法的证明解决问题.因此可以说 论断是以试验性的方式发现的,而论证就像是对归纳的一个数学补充 ,即“观察”+“归纳”+“证明”= “发现”. 二、教学目标 1. 通过对具体问题的解决思路探寻, 了解数学归纳法产生的根源及其无穷递推的本质, 在此基础上归纳 概括出数学归纳法证题的两个步骤. 2. 3. 体会数学归纳法的思想,会用数学归纳法证明一些简单的恒等式. 了解通过“观察”“归纳”“证明”来发现定理的基本思路.
[1]

三、教学问题诊断 认知基础: (1) (2) (3) (4) (5) 对正整数的特点的感性认识; 对“无穷”的概念有一定的认识和兴趣; 在数列的学习中对递推思想有一定的体会; 在生活经验中接触到一些具有递推性质的事实; 在“算法”循环结构的学习中有反复试用“循环体”的体会,虽然算法实现的只能是有限步 的循环;(如下图)

(6)

了解归纳法、演绎法等推理方法以及分析法、综合法等证明方法,具有了一定的逻辑知识的 基础.

难点或疑点: 但数学归纳法作为一种证明的方法,且不论其方法的结构形式,运用技巧,就是对其自身的可靠性, 学生都有一定的疑虑,具体可能会体现在以下一些方面: 1.数学归纳法所要解决的是无穷多个命题 P(1),P(2),P(3),?,P(n),?恒为真的问题,由此造学生在 理解上的两点困难:(1)对“无穷”的模糊认知和神秘感;(2)对于一个关于正整数 n 的命题 P(n),会 难以将其看作是一个随自变量 n 变化的“命题值函数”. 2.为什么要引进数学归纳法?验证为何不可行? 3.数学归纳法的两步骤中,对第二步的认识往往难以到位.将解决由 P(k)到 P(k+1)的传递性问题,误 解为证明 P(k+1)的真实性.由此造成对证明中何以用“假设”的不理解.

4.数学归纳法的第二步中由 k 到 k+1 的递推性应保证 k 从第一个值时的任意一个整数都能成立,由此 只要第一个值成立,就能确保可以一直递推下去. 5.数学归纳法中的递推是一种无穷尽的动态过程, 学生对于不断反复地运用步骤二来进行推理的模式 缺乏清晰的认知. 数学归纳法运用时对起点可作适当的偏移,对第二步的证明有一定的技巧,这些都可以留置下一课进 行深入分析,本课侧重解决对数学归纳法基本原理和两步骤的初步理解. 突破的关键: 由于中学阶段对数学归纳法的教学缺乏理论基础,因此学习的关键是通过对具体问题的解决,提炼出 方法的一般模式。在经历问题的提出、思考的过程,通过具体的事例、直观的模型中加以抽象概括,从而 逐步加深对数学归纳法原理的理解。 (1) 借助递推数列 递推数列通过相邻两项的关系以及首项来确定数列,与数学归纳法的思想有着天然的联系. (2) 构建直观模型

上图既有多米诺骨牌的形象又有数学的形式, 加上命题式的推出符号更易理解若 k 则 k+1 的递推语句, 整体上又具有流程图的程序结构,能较好地反映出数学归纳法的本质,可以使学生的思考有较形象直观的 载体. (2)重视归纳概括 根据递推思想,数学归纳法的证题过程可分解为以下无穷多个步骤: 第一步,P(1)真; 第二步,P(1)真??P(2)真; 第三步,P(2)真??P(3)真; 第四步,P(3)真??P(4)真; ? 用最少的步骤可概括为

第一步,P(1)真; 第二步以后各步都可归纳为一个命题的证明:P(k)真?P(k+1)真;即若 P(k)真,则 P(k+1)真. 同以上两步,就可证得对任意的正整数 n,都有 P(n)为真. 对于这种抽象概括,学生在数列的学习以及算法的学习中是有经验的和能力的. 四、教学支持条件 对于“无穷”与“递推”的描述,仅靠语言及符号是苍白的,借助于一些直观形象的符号可以更有助 于学生的想象与理解. 五、教学过程设计 (一)课前准备 课前播放多米诺骨牌游戏的录像,并将其类比迁移到对提问规则的制定:某个同学回答后,将话话 筒传递给下一位同学回答问题. 设计意图:一方面营造轻松的氛围,另一方面渗透递推思想,让学生有感悟思想的机会.

(二) 方法的形成

问题:已知数列{an}:

,求

,

.

师生活动: 学生进行计算推理后,展示思考结果. 教师追问:

(1)根据递推公式

,可以由

出发,推出

,再由

推出

,由

推出

,

说说你又是如何求得

呢?

预设:由前四项归纳猜想

.

(2)归纳猜想的结果并不可靠,你能否对

给以严格的证明吗?

设计意图:学生通过对

的求解,体会到只需知道某一项,就可求出其下一项的值.通过直观的框图式

结构,可以使学生的思考有较形象直观的载体.针对学生的回答情况,教师可进行追问: 问1 : 利用递推公式,命题中的 n 由 1 可以推出 2,由 2 可以推出 3,由 3 可以推出 4,。。。,

由 99 可以推出 100. 这样要严格证明 n=100 结论成立,需要进行多少个步骤的论证呢?

第一步,



第二步:



(由





第三步,



(由





第四步,



(由





??

第 99 步,



(由





第 100 步,

. (由





问 2: 你能否只用最少的步骤就能证明这个结论呢? 预设:除了第一步论证之外,其余 99 个步骤的证明都可以概括成一个命题的证明,即转化为对以下 命题的证明: 若 n 取某一个值时结论成立,则 n 取其下一个值时结论也成立,即





),则

.

(*)



.)

问 3: 你能进一步说明命题(*)的证明对原命题的证明起到什么作用吗?

问 4: 有了命题(*)的证明,你能肯定

吗?你能肯定

吗?你

能肯定

吗?甚至你能肯定

吗??

问 5:给定

及命题(*),你能推出什么结论呢?

预设:通过步步递推,可以证明对任意的正整数 n,结论

都成立.

问 6:试写出此命题的证明:

已知数列{an}:

,求证:

.

预设:证明:

(1) 当 n=1 时,

,所以结论成立.

(2) 假设当 n=k(k?N )时,结论成立,即
*



则当 n=k+1 时

即当 n=k+1 时,结论也成立.

由(1)(2)可得,对任意的正整数 n 都有

成立.

问 7: 你能否总结出这一证明方法的一般模式?

预设: 一般地,证明一个与正整数 n 有关的命题 P(n),可按下列步骤进行: (1) (2) 证明当 n=1 时命题成立; 假设当 n=k( )时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立.

则 P(1)真?? P(2)真?? P(3)真??P(4)真??P(5)真???? 那么,对任意的正整数 n,命题 P(n)都成立. 设计意图:方法的提炼事实是对一种模式的提炼,通过对多米诺骨牌、课堂提问方式的渗透,以及对 这一数学问题的解决过程的体验,部分学生可能有能力对这一模式的特征进行概括. 问 8:这种解决问题的思想方法在生活中有应用吗?你能举出一些例子说明吗? 预设:多米诺骨牌游戏,课堂提问,传真话,长城烽火台的狼烟传递等等; 设计意图:通过举例子,让学生进一步理解数学归纳法的原理,体会数学与现实生活之间的联系和类比. 增进对数学学习的兴趣. 问 9:对方法中的两个步骤,你是如何理解的? 预设:一是归纳基础,二是归纳递推.两者缺一不可。 数学归纳法实质上将对原问题的证明转化为对两个步骤的证明和判断,由此可进行无限的循环,其结 构如下:

设计意图:通过从不同的角度审视,更有利于学生全面地了解数学归纳法的本质. (三)方法的应用 例1 试一试,猜一猜 证一证

我们都知道 1+2+3+?+n=

(n?N ),那么 1 +2 +3 +?+n =
* 3 3 3 3

?

.

预设: n=1 n=2 n=3 n=4 ??. 猜想 1
3

=1
3

=1

2

1 +2
3

3

=9
3

=3

2

1 +2 +3
3 3

3

=25
3

=5

2

1 +2 +3 +4

3

=100

=10

2

1 +2 +3 +?+n = 证明: (由学生证明,略)

3

3

3

3

设计意图:通过实例,让学生经历归纳、猜想、证明的全过程,进一步体会数学归纳法的思想和步骤. (四) 巩固与深化

例 2 明辨是非 n=n+1? 证明:假设 n=k( k=k+1, 在等式两边各加上 1,得 k+1=(k+1)+1 即当 n=k+1 时,等式也成立. 所以 n=n+1 对任意的正整数 n 都成立. 设计意图:从反面的实例中可进一步加深对数学归纳法的两个步骤的理解. 例 3 (1)如果要证明命题 P(n) 成立,根据数学归纳法的思想,你会如何证明? (2)如果要证明命题 P(n)(n 是正偶数)成立,即证明命题 P(2),P(4),P(6), P(8), P(10),...... 都成立,根据数学归纳法的思想,你会如何证明? 设计意图:方法是死的,思想是活的,通过这两个问题,使学生对数学归纳法的思想有进一步的认识. 同时也可检测学生对数学归纳法的递推本质的理解程度. (五)小结与回顾 (1)数学归纳法能解决哪些问题?(与正整数有关的命题的证明) (2)数学归纳法的证题步骤是什么?(两步骤一结论) (3)它的核心思想是什么?(无穷递推) (4)在学习与思考中你还有哪些疑惑? (5)想飞的蜗牛怎样才能扶着天梯登上云端呢?(生:登上第一级;如果登上一级后,再努力一点, 就能登上下一级.那么蜗牛就能想爬多高就能到多高.) 成立,即证 P(3),P(4),P(5),P(6),P(7),......都 )时结论成立,即

设计意图:通过学生的学后总结与反思,是知识得以内化的必要过程.

【注:在对

的证明过程中,学生也可能有以下的分析过程:

预设 2:(分析法)要证

,只需证

,因为

(1)

要证

, 只需证

,因为

(2)

??

要证

, 只需证

,因为

(99)



=1 显然成立,所以结论成立.

即只要 的核心步骤.】

满足,可能式子(1)(2)?(99)都能成立,就可以得证.由此也可概括出数学归纳法


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